文档内容
第4课时 三角形中的几何计算
考点 学习目标 核心素养
掌握三角形的面积公式的简单推导
有关三角形面积的计算 逻辑推理、数学运算
和应用
能够运用正、余弦定理解决三角形
三角形的综合问题 数学运算
中的一些综合问题
问题导学
预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题：
如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
三角形的面积公式
(1)S＝a·h＝b·h＝c·h(h，h，h 分别表示边a，b，c上的高)．
a b c a b c
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．
■名师点拨
三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝
bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( )
(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( )
(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S 的值为( )
△ABC
A. B.
C. D．2
解析：选B.S ＝AB·ACsin A＝×1×2×＝.
△ABC
已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A＝( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析：选D.由S ＝bcsin A＝，
△ABC
得sin A＝，sin A＝，
由0°0，所以cos B＝－.又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由S ＝acsin B＝，得ac＝4.
△ABC
又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.
所以a＋c＝2，所以△ABC的周长为4＋2.
[变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC的面积为”，求
(1)△ABC周长的取值范围；
(2)△ABC面积的最大值．
解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2＋ac.
又b＝4，
所以16＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－.
所以(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤.
即40，所以S ＝AB·ACsin A＝10k2＝10，所以k＝1，
△ABC
AB＝8，AC＝5，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以BC＝7，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝时，求a的值；(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
解：(1)因为cos B＝>0，所以B∈，
所以sin B＝.
由正弦定理＝，
得＝，解得a＝.
(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，
所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40，
所以a＋c＝2.
10．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝
bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得
sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S ＝a.
△ABC
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
