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章末综合检测(六)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所
以θ＝.
2．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于( )
A．135° B．90°
C．45° D．30°
解析：选C.由正弦定理＝⇒＝，则sin A＝sin B＝.因为ac，
cos B＝，则＝( )A．2 B.
C．3 D.
解析：选A.因为sin2B＝2sin Asin C，所以由正弦定理，得b2＝2ac.又a>c，cos B＝，所
以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac×＝2ac，即2×－5×＋2＝0，解得＝2或(舍去)，故选
A.
8．若四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：选C.由AB＋CD＝0，即AB＝DC，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB－
AD)·AC＝0，即DB·AC＝0，可得DB⊥AC，所以四边形一定是菱形，故选C.
9．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则AB·AC＝( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选C.AB·AC＝(AD＋DB)·(AD＋DC)＝(AD＋DB)·(AD－DB)＝AD2－DB2＝4－
6＝－2.
10．在△ABC中，若|AB|＝1，|AC|＝，|AB＋AC|＝|BC|，则＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|AB＋AC|＝|BC|时，∠A＝90°.又|AB|＝
1，|AC|＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，|BC|＝2，所以＝＝－.
11．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的
面积等于( )
A．16 B．
C．18 D．32
解析：选A.设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则，解得或
所以cos∠BAD＝＝，所以sin∠BAD＝，S＝4×5×＝16.
12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知
△ABC的面积S＝bcsin A＝10，b＝4，则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由3acos C＝4csin A得＝，又由正弦定理＝，得＝⇒tan C＝，由S＝bcsin A
＝10，b＝4 csin A＝5，由tan C＝⇒sin C＝，又根据正弦定理，得a＝＝＝.故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
⇒
13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λa＋b与a＋2b平行，
所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋2tb，又向量a，b不平行，所以所以
答案：
14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin
B，则角C＝________．
解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，
cos C＝＝－，
又00)．
因为CD＝100米，∠BCD＝80°＋40°＝120°，BD2＝BC2＋CD2－
2BC·CDcos∠BCD，
所以3x2＝x2＋1002－2×100×x×，
所以2x2－100x－10 000＝0.
所以x2－50x－5 000＝0.所以x＝100或x＝－50(舍去)．
答案：100
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋
kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；
(2)c⊥d.
解：由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
(1)当c∥d时，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k＝.
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0.
所以15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，
所以k＝－.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为4，求b，c的值．
解：(1)因为cos B＝，所以sin B＝.
因为a＝2，b＝4，所以sin A＝＝＝.
(2)因为S ＝4＝×2c×，所以c＝5，
△ABC
所以b＝＝.
19．(本小题满分12分)已知e ，e 是平面内两个不共线的非零向量，AB＝2e ＋e ，BE
1 2 1 2
＝－e＋λe，EC＝－2e＋e，且A，E，C三点共线．
1 2 1 2
(1)求实数λ的值；
(2)若e＝(2，1)，e＝(2，－2)，求BC的坐标；
1 2
(3)已知点D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边
形，求点A的坐标．
解：(1)AE＝AB＋BE＝(2e＋e)＋(－e＋λe)＝e＋(1＋λ)e.
1 2 1 2 1 2
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE＝kEC，即e ＋(1＋λ)e ＝k(－2e ＋
1 2 1
e)，得(1＋2k)e＝(k－1－λ)e.
2 1 2
因为e，e 是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－.
1 2
(2)BC＝BE＋EC＝－3e－e＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．
1 2
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD＝BC.设A(x，y)，则
AD＝(3－x，5－y)．因为BC＝(－7，－2)，所以解得即点A的坐标为(10，7)．
20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，
C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解：(1)因为c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，得＝＝＝＝＝，
所以＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即
4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
因为a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．
所以S ＝absin C＝×4×＝.
△ABC
21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)
＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，故
sin B＝4(1－cos B)．上式两边平方，整理得
17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.
(2)由cos B＝得sin B＝，故S ＝acsin B＝ac.又S ＝2，则ac＝.
△ABC △ABC
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
22．(本小题满分 12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联
考)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知c＝4，b＝2，2ccos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD
＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
解：(1)因为c＝4，b＝2，2ccos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
所以a＝4，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD＝6，
所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2，
所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.
所以S ＝S －S ＝×DC×AC×sin C－EC×AC×sin C＝×DE×AC×sin C
△ADE △ACD △ACE
＝.
