文档内容
6．1 平面向量的概念
考点 学习目标 核心素养
了解平面向量的实际背景，理解平面
平面向量的相关概念 数学抽象
向量的相关概念
掌握向量的表示方法，理解向量的模
平面向量的几何表示 数学抽象
的概念
理解两个向量相等的含义以及共线向
相等向量与共线向量 数学抽象、逻辑推理
量的概念
问题导学
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向
线段记作AB．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作 | AB |.
(3)向量的表示■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，
点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量AB的大小，称为向量AB的长度(或称模)，记作 | AB |．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位长度 的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，
记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有 0 ∥ a ．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．( )
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( )
(3)向量的模是一个正实数．( )
(4)向量就是有向线段．( )
(5)向量AB与向量BA是相等向量．( )
(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
(7)零向量是最小的向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×
已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用MN表示 B．方向是由M指向N
C．起点是M D．终点是M
答案：D
已知点O固定，且|OA|＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
答案：C如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有________．
答案：AB，DC
向量的相关概念
给出下列命题：
①若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在 ▱ABCD中，一定有AB＝DC；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
【解析】 AB＝DC，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在
▱ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，故②正确；a＝b，则|a|＝|
b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方
向相同，故a＝c，故③正确．
【答案】 ②③
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
1．下列说法中正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大
小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数
量，可以比较大小．故D正确．
2．下列说法正确的是( )
A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：选C.向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故
A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可
以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
向量的表示
在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)OA，使|OA|＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)AB，使|AB|＝4，点B在点A正东方向上；
(3)BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解】 (1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小
方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方
格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格
数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点
C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出
向量BC，如图所示．
用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B
地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km 到
达D地．
(1)作出向量AB，BC，CD，DA；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
解：(1)由题意，作出向量AB，BC，CD，DA，如图所示．
(2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD
＝1 000，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 000 km，∠CAD＝45°，所以D地在
A地的东南方向，距A地1 000 km.
共线向量与相等向量
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，在每两点所确
定的向量中．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.
(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.
1．[变条件、变问法]本例中若OC＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的
向量．
解：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向
量有FO，ED，AB.
2．[变问法]本例条件不变，与AD共线的向量有哪些？解：与AD共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，OA.
共线向量与相等向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推
出a∥c.
[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
1．已知向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为( )
A．向量AC与向量AB一定同向
B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线
C．向量AC与向量BC一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故
选B.
2．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：
(1)写出与BC相等的向量；
(2)写出与BC共线的向量．
解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝
DE，所以BC＝AD＝DE.故与BC相等的向量为AD，DE.
(2)与BC共线的向量共有7个，分别是AD，DE，DA，ED，AE，EA，CB.
1.如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平
行的向量的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.图中与AE平行的向量为BE，FD，FC共3个．
2．下列结论中正确的是( )
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A．①③ B．②③
C．③④ D．②④
解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③
正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为
起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与BC相等的向量；
(2)与OB长度相等的向量；
(3)与DA共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD，
所以与BC相等的向量为AD.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与OB长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO.
(3)与DA共线的向量为AD，BC，CB.
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a
共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，
两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，
不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.AB＝OC B.AB∥DE
C．|AD|＝|BE| D.AD＝FC
解析：选D.由题图可知，|AD|＝|FC|，但AD、FC的方向不同，故AD≠FC，故选D.
4．设O是△ABC的外心，则AO，BO，CO是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C
的距离相等，所以AO，BO，CO是模相等的向量．
5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|
＝±1；⑤＝b，其中正确的有( )
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定
有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝
1，故④不正确；⑤是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|OA|＝________．
解析：因为正方形的对角线长为2，所以|OA|＝.
答案：
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边
BC上运动)，则向量AD长度的最小值为________．
解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，
有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，
则m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，
所以AB与BC不共线．
又m与AB，BC都共线，所以m＝0.
答案：0
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，
如图．
(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC共线的向量；
(2)求证：BE＝FD.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC共线的向量有：CF，BC，CB，BF，FB，
ED，DE，AE，EA，AD，DA.
(2)证明：在 ▱ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，
所以ED綊BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE綊FD，
所以BE＝FD.
10．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，求AD与BC分别满足什么条件时，四边形
ABCD满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)|AD|＝|BC|，且AD与BC不平行．
因为AB∥CD，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，
则|AD|＝|BC|，同时两向量不平行．
(2)AD＝BC(或AD∥BC)．
若AD＝BC，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
[B 能力提升]
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是 ( )
A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)
B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)
C．BD的模恰为DA模的倍
D．CB与DA不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或
相反．D中CB，DA所在直线平行，向量方向相同，故共线．
12.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F
分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.AD＝BC B.AC＝BD
C.PE＝PF D.EP＝PF
解析：选D.由平面几何知识知，AD与BC方向不同，故AD≠BC；AC与BD方向不同，故AC≠BD；PE与PF的模相等而方向相反，故PE≠PF；EP与PF的模相等且方向相同，所
以EP＝PF.
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC的模为2，BC的模为
3，AD的模为1，则DB的模为________．
解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点
E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以|AC|＝|AE|.
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，故|DB|＝.
答案：
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达
C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量AB，BC，CD；
(2)求向量AD的模．
解：(1)作出向量AB，BC，CD，
如图所示．
(2)由题意得，
△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．
△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．
所以|AD|＝5.
[C 拓展探究]
15．如图，A ，A ，…，A 是⊙O上的八个等分点，则在以A ，A ，…，A 及圆心O
1 2 8 1 2 8
九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍
的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA(i＝1，2，…，8)，共8个；另一类是
i
AiO(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A ，A ，…，A 中四点为顶点的
1 2 8
⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形AAAA ，另一个是正方形AAAA.在题中所述
1 3 5 7 2 4 6 8
的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的
倍，故模为半径的倍的向量共有4×2×2＝16(个)．
