文档内容
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a
共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，
两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，
不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.AB＝OC B.AB∥DE
C．|AD|＝|BE| D.AD＝FC
解析：选D.由题图可知，|AD|＝|FC|，但AD、FC的方向不同，故AD≠FC，故选D.
4．设O是△ABC的外心，则AO，BO，CO是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C
的距离相等，所以AO，BO，CO是模相等的向量．
5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|
＝±1；⑤＝b，其中正确的有( )
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定
有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝
1，故④不正确；⑤是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|OA|＝________．
解析：因为正方形的对角线长为2，所以|OA|＝.
答案：
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边
BC上运动)，则向量AD长度的最小值为________．
解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，
有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，
则m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，
所以AB与BC不共线．
又m与AB，BC都共线，
所以m＝0.
答案：0
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，
如图．
(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC共线的向量；
(2)求证：BE＝FD.
解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC共线的向量有：CF，BC，CB，BF，FB，
ED，DE，AE，EA，AD，DA.
(2)证明：在 ▱ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，
所以ED綊BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE綊FD，
所以BE＝FD.
10．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，求AD与BC分别满足什么条件时，四边形
ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)|AD|＝|BC|，且AD与BC不平行．
因为AB∥CD，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，
则|AD|＝|BC|，同时两向量不平行．
(2)AD＝BC(或AD∥BC)．
若AD＝BC，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
[B 能力提升]
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是 ( )
A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)
B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)
C．BD的模恰为DA模的倍
D．CB与DA不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或
相反．D中CB，DA所在直线平行，向量方向相同，故共线．
12.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F
分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.AD＝BC B.AC＝BD
C.PE＝PF D.EP＝PF
解析：选D.由平面几何知识知，AD与BC方向不同，故AD≠BC；AC与BD方向不同，
故AC≠BD；PE与PF的模相等而方向相反，故PE≠PF；EP与PF的模相等且方向相同，所
以EP＝PF.
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC的模为2，BC的模为
3，AD的模为1，则DB的模为________．
解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点
E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以|AC|＝|AE|.
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，故|DB|＝.
答案：
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达
C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB，BC，CD；
(2)求向量AD的模．
解：(1)作出向量AB，BC，CD，
如图所示．
(2)由题意得，
△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．
△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)．
所以|AD|＝5.
[C 拓展探究]
15．如图，A ，A ，…，A 是⊙O上的八个等分点，则在以A ，A ，…，A 及圆心O
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九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的倍
的向量有多少个？
解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA(i＝1，2，…，8)，共8个；另一类是
i
AiO(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A ，A ，…，A 中四点为顶点的
1 2 8
⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形AAAA ，另一个是正方形AAAA.在题中所述
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的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的
倍，故模为半径的倍的向量共有4×2×2＝16(个)．
