文档内容
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
考点 学习目标 核心素养
理解平面向量基本定理及其意
平面向量基本定理 数学抽象
义，了解向量基底的含义
掌握平面向量基本定理，会用
平面向量基本定理的应用 数学抽象、数学运算
基底表示平面向量
问题导学
预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
1．基底中两个向量可以共线吗？
2．平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理
条件 e，e 是同一平面内的两个不共线向量
1 2
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ，
1
结论
λ，使 a ＝ λ e ＋ λe
2 1 1 2 2
若e，e 不共线，把{e，e}叫做表示这一平面内所有向
1 2 1 2
基底
量的一个基底
■名师点拨
(1)e ，e 是同一平面内的两个不共线的向量，{e ，e}的选取不唯一，即一个平面可以
1 2 1 2
有多个基底．
(2)基底{e，e}确定后，实数λ，λ 是唯一确定的．
1 2 1 2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量．( )
(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
(3)若a，b不共线，且λa＋μb＝λa＋μb，则λ＝λ，μ＝μ. ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底
唯一表示．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
设e ，e 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(
1 2
)
A．2e，3e B．e＋e，3e＋3e
1 2 1 2 1 2C．e，5e D．e，e＋e
1 2 1 1 2
答案：B
若AD是△ABC的中线，已知AB＝a，AC＝b，则以{a，b}为基底表示AD＝( )
A.(a－b) B.(a＋b)
C.(b－a) D.b＋a
解析：选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而BD＝DC，即
AD－AB＝AC－AD，从而AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)．
平面向量基本定理的理解
设e，e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
1 2
①e 与e＋e；②e－2e 与e－2e；③e－2e 与4e－2e；④e＋e 与e－e.
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
【解析】 ①设e＋e＝λe，则无解，
1 2 1
所以e＋e 与e 不共线，即e 与e＋e 能作为一组基底．
1 2 1 1 1 2
②设e－2e＝λ(e－2e)，则(1＋2λ)e－(2＋λ)e＝0，
1 2 2 1 1 2
则无解，所以e－2e 与e－2e 不共线，即e－2e 与e－2e 能作为一组基底．
1 2 2 1 1 2 2 1
③因为e－2e＝－(4e－2e)，
1 2 2 1
所以e－2e 与4e－2e 共线，
1 2 2 1
即e－2e 与4e－2e 不能作为一组基底．
1 2 2 1
④设e ＋e ＝λ(e －e)，则(1－λ)e ＋(1＋λ)e ＝0，则无解，所以e ＋e 与e －e 不共线，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
即e＋e 与e－e 能作为一组基底．
1 2 1 2
【答案】 ③
对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基
底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表
示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若xa＋yb＝xa＋yb，则
1 1 2 2
[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
1．设点O是 ▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平
面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B.寻找不共线的向量组即可，在 ▱ABCD中，AD与AB不共线，CA与DC不共
线；而DA∥BC，OD∥OB，故①③可作为基底．
2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A.OA，BC B.OA，CD
C.AB，CF D.AB，DE
解析：选B.由题图可知，OA与BC，AB与CF，AB与DE共线，不能作为基底向量，OA
与CD不共线，可作为基底向量．
用基底表示平面向量
如图所示，在 ▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交
于点G，若AB＝a，AD＝b，试用基底{a，b}表示向量DE，BF.
【解】 DE＝DA＋AB＋BE
＝－AD＋AB＋BC
＝－AD＋AB＋AD＝a－b.
BF＝BA＋AD＋DF
＝－AB＋AD＋AB＝b－a.
1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG.
解：由平面几何知识知BG＝BF，
故AG＝AB＋BG＝AB＋BF
＝a＋
＝a＋b－a＝a＋b.
2．[变条件]若将本例中的向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CE＝a，CF＝b，
试用基底{a，b}表示向量DE，BF.
解：DE＝DC＋CE＝2FC＋CE＝－2CF＋CE＝－2b＋a.
BF＝BC＋CF＝2EC＋CF＝－2CE＋CF＝－2a＋b.
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
1．在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝b，则CD为( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选B.因为BD＝DA，CB＝a，CA＝b，所以CD＝a＋BD＝a＋BA＝a＋(b－a)＝a
＋b.
2．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC
＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以{a，b}为基底表示EF，DF.
解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝BC，
所以AD＝BC＝b，所以AE＝AD＝b.
因为BF＝BC，所以BF＝b，所以FA＝BA－BF＝a－b.
所以EF＝EA＋AF＝－AE－FA＝－b－＝b－a，
DF＝DA＋AF＝－(AD＋FA)＝－＝b－a.
平面向量基本定理的应用
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与
BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
【解】 设BM＝e，CN＝e，
1 2
则AM＝AC＋CM＝－3e－e，BN＝BC＋CN＝2e＋e.
2 1 1 2
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe－3λe，
1 2
BP＝μBN＝2μe＋μe.
1 2
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e＋(3λ＋μ)e.
1 2
而BA＝BC＋CA＝2e＋3e，由平面向量基本定理，
1 2得
解得
所以AP＝AM，BP＝BN，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
1．[变问法]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP.
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP＝NB，
CP＝CN＋NP＝CN＋NB＝b＋(CB－CN)
＝b＋a－b＝b＋a.
2．[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.
解：如图，设BM＝e，CN＝e，
1 2
则AM＝AC＋CM＝－2e－e，BN＝BC＋CN＝2e＋e.
2 1 1 2
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe－2λe，
1 2
BP＝μBN＝2μe＋μe.
1 2
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e＋(2λ＋μ)e.
1 2
而BA＝BC＋CA＝2e＋2e，由平面向量基本定理，
1 2
得
解得
所以AP＝AM，BP＝BN，
所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元
关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两
个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组
即得．
1．设{e ，e}是平面内的一个基底，且a＝e ＋2e ，b＝－e ＋e ，则e ＋e ＝______a
1 2 1 2 1 2 1 2
＋______b.
解析：由，解得
故e＋e＝＋＝a＋b.
1 2
答案： －
2．在△ABC中，D为AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝______．解析：因为AD＝2DB，
所以AD＝AB＝(CB－CA)．
因为在△ACD中，CD＝CA＋AD＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，
所以λ＝.
答案：
1．如图在矩形ABCD中，若BC＝5e，DC＝3e，则OC＝( )
1 2
A.(5e＋3e) B.(5e－3e)
1 2 1 2
C.(3e－5e) D.(5e－3e)
2 1 2 1
解析：选A.OC＝AC＝(BC＋AB)
＝(BC＋DC)＝(5e＋3e)．
1 2
2．已知非零向量OA，OB不共线，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则x，y
满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A.由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB.又2OP＝
xOA＋yOB，所以消去λ得x＋y＝2.
3.如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，试用基底{a，
b}表示AB，BC.
解：法一：设AC，BD交于点O，则有AO＝OC＝AC＝a，BO＝OD
＝BD＝b.
所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝a－b，
BC＝BO＋OC＝a＋b.
法二：设AB＝x，BC＝y，则AD＝BC＝y，
又
所以解得x＝a－b，y＝a＋b，
即AB＝a－b，BC＝a＋b.
[A 基础达标]
1．若e，e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
1 2
①λe＋μe(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
1 2
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe＋μe 的实数λ，μ有无数多对；
1 2③若λ ，μ ，λ ，μ 均为实数，且向量λe ＋μe 与λe ＋μe 共线，则有且只有一个实
1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
数λ，使λe＋μe＝λ(λe＋μe)；
1 1 1 2 2 1 2 2
④若存在实数λ，μ使λe＋μe＝0，则λ＝μ＝0.
1 2
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ
1
＝λ＝μ＝μ＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
2 1 2
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e，DC＝e，则OC＝( )
1 2
A.(e＋e) B.(e－e)
1 2 1 2
C.(2e－e) D.(e－e)
2 1 2 1
解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e ，DC＝e ，所以OC＝(BC＋
1 2
DC)＝(e＋e)，故选A.
1 2
3．已知{e ，e}为基底，向量AB＝e －ke ，CB＝2e －e ，CD＝3e －3e ，若A，B，D
1 2 1 2 1 2 1 2
三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3
C．－2 D．3
解析：选A.DB＝CB－CD＝－e ＋2e ＝－(e －2e)．又A，B，D三点共线，则DB和
1 2 1 2
AB是共线向量，所以k＝2.
4．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3 DC，则AD可表示为( )
A.AD＝AB＋AC B.AD＝AB＋AC
C.AD＝－2AB＋3 AC D.AD＝AB＋AC
解析：选B.由BD＝3 DC，得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为CD＝4DB＝rAB＋sAC，
所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，
所以r＝，s＝－.
所以3r＋s＝－＝.
6．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的
值为________．
解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，若OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，则OC＝________．
解析：AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，因为2AC＋CB＝0，所以2(OC－OA)＋(OB－
OC)＝0，所以OC＝2OA－OB＝2a－b.
答案：2a－b
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线
段AO的中点，若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
解析：因为BE＝BO＋OE＝BD＋EA＝BD＋EB＋BA，所以BE＝
BA＋BD，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
9．设e，e 是不共线的非零向量，且a＝e－2e，b＝e＋3e.
1 2 1 2 1 2
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e－e.
1 2
解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e－2e＝λ(e＋3e)．
1 2 1 2
由e，e 不共线，得
1 2
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e－e＝m(e－2e)＋n(e＋3e)＝(m＋n)e＋(－2m＋3n)e.
1 2 1 2 1 2 1 2
所以解得
所以c＝2a＋b.
10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN
＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出
来．
解：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，
MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－b－(a－b)＝－a＋b，
PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．
[B 能力提升]
11．若{e，e}是平面内所有向量的一个基底，且a＝3e－4e，b＝6e＋ke 不能构成一
1 2 1 2 1 2
个基底，则k的值为______．
解析：当a∥b时，a，b不能构成一个基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e－4e＝λ(6e
1 2 1
＋ke)，
2
所以6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
12．已知平行四边形 ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，
y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝________．解析：因为PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝
λ(CE－CB)＝ λ＝－AB＋λAD，
所以则＝.
答案：
13.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB
上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM交于点P，用向量a，b表示OP，
则OP＝______．
解析：因为OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，
设MP＝mMB，NP＝nNA，
则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)
＝(1－m)a＋mb，
OP＝ON＋nNA＝(1－n)b＋na.
因为a与b不共线，所以⇒n＝.
所以OP＝a＋b.
答案：a＋b
14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线
段 OD 上有点 M 满足DO＝3DM，线段 CO 上有点 N 满足OC＝
λON(λ>0)，设AB＝a，AD＝b，已知MN＝μa－b，试求实数λ，μ的
值．
解：依题意得BD＝b－a，AC＝a＋b，
且DM＝DB＝(a－b)＝a－b，
AN＝AO＋ON＝AC＝(a＋b)，
所以AM＝AD＋DM＝b＋＝a＋b，
AN＝AM＋MN＝a＋b＋＝a＋b，
即AN＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
[C 拓展探究]
15．如图所示，在 ▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，BM＝BC，AN＝AB.
(1)试用向量a，b来表示DN，AM；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
解：(1)因为AN＝AB，所以AN＝AB＝a，所以DN＝AN－AD＝a－b.因为BM＝BC，所
以BM＝BC＝AD＝b，所以AM＝AB＋BM＝a＋b.(2)因为A，O，M三点共线，所以AO∥AM，设AO＝λAM，则DO＝AO－AD＝λ AM－
AD＝λ－b＝λa＋b.因为D，O，N三点共线，所以DO∥DN，存在实数μ使DO＝μDN，则
λa＋b＝μ.由于向量a，b不共线，则解得所以AO＝AM，OM＝AM，所以AO∶OM＝3∶11.
