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[A 基础达标]
1．若e，e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
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①λe＋μe(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
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②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe＋μe 的实数λ，μ有无数多对；
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③若λ ，μ ，λ ，μ 均为实数，且向量λe ＋μe 与λe ＋μe 共线，则有且只有一个实
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数λ，使λe＋μe＝λ(λe＋μe)；
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④若存在实数λ，μ使λe＋μe＝0，则λ＝μ＝0.
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A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ
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＝λ＝μ＝μ＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
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2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e，DC＝e，则OC＝( )
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A.(e＋e) B.(e－e)
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C.(2e－e) D.(e－e)
2 1 2 1
解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e ，DC＝e ，所以OC＝(BC＋
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DC)＝(e＋e)，故选A.
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3．已知{e ，e}为基底，向量AB＝e －ke ，CB＝2e －e ，CD＝3e －3e ，若A，B，D
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三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3
C．－2 D．3
解析：选A.DB＝CB－CD＝－e ＋2e ＝－(e －2e)．又A，B，D三点共线，则DB和
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AB是共线向量，所以k＝2.
4．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3 DC，则AD可表示为( )
A.AD＝AB＋AC B.AD＝AB＋AC
C.AD＝－2AB＋3 AC D.AD＝AB＋AC
解析：选B.由BD＝3 DC，得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为CD＝4DB＝rAB＋sAC，
所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，
所以r＝，s＝－.
所以3r＋s＝－＝.
6．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的
值为________．解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案：3
7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，若OA
＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，则OC＝________．
解析：AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，因为2AC＋CB＝0，所以2(OC－OA)＋(OB－
OC)＝0，所以OC＝2OA－OB＝2a－b.
答案：2a－b
8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线
段AO的中点，若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．
解析：因为BE＝BO＋OE＝BD＋EA＝BD＋EB＋BA，所以BE＝
BA＋BD，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
答案：
9．设e，e 是不共线的非零向量，且a＝e－2e，b＝e＋3e.
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(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e－e.
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解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e－2e＝λ(e＋3e)．
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由e，e 不共线，得
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所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e－e＝m(e－2e)＋n(e＋3e)＝(m＋n)e＋(－2m＋3n)e.
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所以解得
所以c＝2a＋b.
10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN
＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出
来．
解：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，
MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－b－(a－b)＝－a＋b，
PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．
[B 能力提升]
11．若{e，e}是平面内所有向量的一个基底，且a＝3e－4e，b＝6e＋ke 不能构成一
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个基底，则k的值为______．
解析：当a∥b时，a，b不能构成一个基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e－4e＝λ(6e
1 2 1＋ke)，
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所以6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
12．已知平行四边形 ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，
y∈R，且均不为0.若PQ∥BE，则＝________．
解析：因为PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝
λ(CE－CB)＝ λ＝－AB＋λAD，
所以则＝.
答案：
13.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB
上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM交于点P，用向量a，b表示OP，
则OP＝______．
解析：因为OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，
设MP＝mMB，NP＝nNA，
则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)
＝(1－m)a＋mb，
OP＝ON＋nNA＝(1－n)b＋na.
因为a与b不共线，所以⇒n＝.
所以OP＝a＋b.
答案：a＋b
14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线
段 OD 上有点 M 满足DO＝3DM，线段 CO 上有点 N 满足OC＝
λON(λ>0)，设AB＝a，AD＝b，已知MN＝μa－b，试求实数λ，μ的
值．
解：依题意得BD＝b－a，AC＝a＋b，
且DM＝DB＝(a－b)＝a－b，
AN＝AO＋ON＝AC＝(a＋b)，
所以AM＝AD＋DM＝b＋＝a＋b，
AN＝AM＋MN＝a＋b＋＝a＋b，
即AN＝(a＋b)＝a＋b，
由平面向量基本定理，得
解得
[C 拓展探究]
15．如图所示，在 ▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，BM＝BC，AN＝AB.(1)试用向量a，b来表示DN，AM；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
解：(1)因为AN＝AB，所以AN＝AB＝a，所以DN＝AN－AD＝a－b.因为BM＝BC，所
以BM＝BC＝AD＝b，所以AM＝AB＋BM＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以AO∥AM，设AO＝λAM，则DO＝AO－AD＝λ AM－
AD＝λ－b＝λa＋b.因为D，O，N三点共线，所以DO∥DN，存在实数μ使DO＝μDN，则
λa＋b＝μ.由于向量a，b不共线，则解得所以AO＝AM，OM＝AM，所以AO∶OM＝3∶11.
