文档内容
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
考点 学习目标 核心素养
平面向量数量积 掌握平面向量数量积的坐标表示，
数学运算
的坐标表示 会用向量的坐标形式求数量积
平面向量的模与 能根据向量的坐标计算向量的模、
数学运算、逻辑推理
夹角的坐标表示 夹角及判定两个向量垂直
问题导学
预习教材P34－P35的内容，思考以下问题：
1．平面向量数量积的坐标表示是什么？
2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？
1．平面向量数量积的坐标表示
已知a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx ＋ yy．
1 1 2 2 1 2 1 2
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
■名师点拨
公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝xx ＋yy 都是用来求两向量的数量积的，没有本质
1 2 1 2
区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
2．两个公式、一个充要条件
(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝．
(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，θ是a与b的夹
1 1 2 2
角，则cos θ＝＝．
(3)两个向量垂直的充要条件
设非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a⊥b xx ＋ yy ＝ 0．
1 1 2 2 1 2 1 2
■名师点拨
⇔
若A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)，
1 1 2 2 2 1 2 1
|AB|＝，即A，B两点间的距离为.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)|AB|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( )
答案：(1)× (2)√
已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7 C．－23 D．－7答案：D
已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝( )
A．1 B．2
C．4 D．－4
答案：C
已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.
答案：120°
数量积的坐标运算
已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，
所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
【答案】 C
数量积坐标运算的两个途径
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原
式展开，再依据已知计算．
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
解析：选C.依题意可知，
a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF＝2FD，则
BE·CF＝________．
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，
D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为AF＝2FD，所以F(，2)．
所以BE＝(2，1)，CF＝(，2)－(2，0)＝(－，2)，
所以BE·CF＝(2，1)·(－，2)
＝2×(－)＋1×2＝.
答案：平面向量的模
(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|等于( )
A. B.
C. D.
(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
【解】 (1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
(2)设a＝(x，y)，
则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.①
由a⊥b，解得2x－3y＝0.②
联立①②，解得或
所以 a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．
所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，
所以|a＋b|＝.
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .
已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量AC＝(4，－1)，则|BC|＝________．
解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量AC＝(4，－1)，所以AC＝(x，y－1)＝(4，－
1)，所以解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，
所以BC＝(3，2)，|BC|＝＝.
答案：
平面向量的夹角(垂直)
已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【解】 (1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.利用数量积求两向量夹角的步骤
1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝( )
A．2 B.
C．0 D．－
解析：选B.因为a＝(1，)，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m，
又a，b的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m＝，解得m＝.
2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A.由题设知AB＝(8，－4)，AC＝(2，4)，BC＝(－6，8)，所以AB·AC＝2×8
＋(－4)×4＝0，即AB⊥AC.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
1．已知向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝2 B．a∥b
C．b⊥(a＋b) D．|a|＝|b|
解析：选C.因为向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，设b＝(x，y)，则解得所以b＝(－1，
－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD
＝(2，1)，则AD·AC＝________．
解析：由四边形ABCD为平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(3，－1)，故AD·AC＝(2，
1)·(3，－1)＝5.
答案：5
3．已知a＝(1，)，b＝(2，m)．
(1)当3a－2b与a垂直时，求m的值；
(2)当a与b的夹角为120°时，求m的值．
解：(1)由题意得3a－2b＝(－1，3－2m)，
由3a－2b与a垂直，得－1＋9－2m＝0，所以m＝.
(2)由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，
化简得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0(舍去)．
所以m＝－2.
[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－
k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．0 B．1
C．－2 D．2
解析：选D.2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所
以n2＝3，所以|a|＝2.
3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4 B．2
C．8 D．8
解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所
以|c|＝＝8.
4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则
a－b与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0，
4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°.
5．已知O为坐标原点，向量OA＝(2，2)，OB＝(4，1)，在x轴上有一点P使得AP·BP
有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)．
AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，AP·BP有最小值1.
此时点P的坐标为(3，0)．
6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．
解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，
a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，
因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，
即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，
所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.
答案：－2
7．(2019·陕西咸阳检测)已知向量 a＝(－2，1)，b＝(λ，)，且|λa＋b|＝，则 λ＝
________．
解析：由已知易得λa＋b＝，则(－λ)2＋＝，解得λ＝1或λ＝－.
答案：1或－
8．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为______．
解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，
|2a－b|＝
＝＝，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.
答案：2＋
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)．
(1)求a－b及|a－b|；
(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．
解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝＝4.
(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，
因为ka＋b与a－b垂直，
所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，
解得k＝3.
10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其
中a＝(1，－1)．
(1)若|c|＝3，且c∥a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝3，c∥a可得
所以或
故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．
(2)因为|a|＝，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cosθ＝＝，所以θ＝.
[B 能力提升]
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为
( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.设a与c的夹角为θ，依题意，得
a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.
设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，
所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，
所以cos θ＝＝＝＝－，
所以a与c的夹角为120°.
12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则
EM·EC的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设 E(x，0)，0≤x≤1.因为 M，C(1，1)，所以EM＝，EC＝(1－x，
1)，所以EM·EC＝·(1－x，1)＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1
－x)2＋≤，即EM·EC的取值范围是.
13．已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC
＋BC·CA＋CA·AB的值为________．
解析：法一：(定义法)如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B
＝，cos A＝，cos C＝，
所以AB·BC＋BC·CA＋CA·AB
＝BC·CA＋CA·AB
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．
所以AB＝(－3，0)，BC＝(0，4)，CA＝(3，－4)．
所以AB·BC＝－3×0＋0×4＝0，
BC·CA＝0×3＋4×(－4)＝－16，
CA·AB＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.所以AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0－16－9＝－25.
法三：(转化法)因为|AB|＝3，|BC|＝4，|AC|＝5，
所以AB⊥BC，所以AB·BC＝0，
所以AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝CA·(AB＋BC)
＝CA·AC＝－|AC|2＝－25.
答案：－25
14．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，
所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，
12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2 ]．
[C 拓展探究]
15．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角
的余弦值．
解：(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以AB＝(1，1)，AD＝(－3，3)．
AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以AB⊥AD，所以AB⊥AD.
(2)因为AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，
所以AB＝DC.
设点C的坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)．
又因为AB＝(1，1)，所以解得所以点C的坐标为(0，5)．所以AC＝(－2，4)．
又BD＝(－4，2)，
所以|AC|＝2，|BD|＝2，
AC·BD＝8＋8＝16.
设AC与BD的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
