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8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课后篇巩固提升
基础巩固
1.长方体的三个面的面积分别是❑√2,❑√3,❑√6,则长方体的体积是( )
A.3❑√2 B.2❑√3 C.❑√6 D.6
答案C
{ab=❑√6,
解析设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,∵长方体的三个面的面积分别是❑√2,❑√3,❑√6,∴ac=❑√3,
bc=❑√2,
解得a=❑√3,b=❑√2,c=1.∴长方体的体积V=abc=❑√3×❑√2×1=❑√6.
2.如图所示,正方体ABCD-A BC D 的棱长为1,则三棱锥D-ACD 的体积是( )
1 1 1 1 1
1
A.
6
1
B.
3
1
C.
2
D.1
答案A
解析三棱锥D-ACD 的体积等于三棱锥D-ACD的体积,三棱锥D-ACD的底面ACD是直角边长为1
1 1 1
1 1 1
的等腰直角三角形,高D 1 D=1,∴三棱锥D-ACD 1 的体积为V= × ×1×1×1= .
3 2 6
3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为❑√3,则该正四棱锥的全面积为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
答案B1
解析由题意得侧面三角形底边上的高为❑√(❑√3)2+12=2,所以该四棱锥的全面积为22+4×
2
×2×2=12.
4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
4 3
A.3π B. C. π D.1
3 2
答案B
解析如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为
1 2
正方形,且边长为 ❑√2 ,故底面积为(❑√2 )2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为 ×2×1= .则几何体的
3 3
2 4
体积为2× = .
3 3
5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为( )
4❑√2 2❑√2 ❑√2
A. B.❑√2 C. D.
3 3 3
答案D
解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱
1 1 ❑√2
长均为❑√2,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为 × ×❑√2×❑√2×❑√2= .
3 2 3
6.设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .
答案28❑√3
❑√3 ❑√3 1 1
解析上底面积S 1 =6× ×22=6❑√3,下底面积S 2 =6× ×42=24❑√3,∴体积V= (S 1 +S 2 +❑√S S )·h=
4 4 3 1 2 3
(6❑√3+24❑√3+❑√6❑√3·24❑√3)×2=28❑√3.
7.正四棱柱的一条对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有 个.
答案2
{ 2a2+h2=81,
解析设底面边长为a,高为h,由题意得
2a2+4ah=144.
这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.
8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长宽高分别
为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是 ,
表面积是 .答案90 138
1 1
解析该几何体的体积V=4×6×3+ ×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+ ×4×3×2+
2 2
❑√32+42×3+3×4=138.
9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2❑√3,则该棱锥的体积为 .
32
答案
3
解析∵侧棱SA=2❑√3,高SO=2,
∴AO=❑√SA2-SO2=2❑√2,因此,底面正方形的边长AB=❑√2AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体
1 1 32
积为V= AB2·SO= ×16×2= .
3 3 3
10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,求它
的深度为 cm.
答案75
1
解析设油槽的上、下底面积分别为S',S.由V= (S+❑√SS'+S')h,得h=
3
3V 3×190 000
=
S+❑√SS'+S' 3 600+2 400+1 600
=75(cm).
能力提升
1.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如
图②,这时水面
恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是 .
3
答案 a
2解析设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S h.又题图②中水组成了一个直四棱
△ABC
3 3
柱,其底面积为 S ,高度为2a,则V= S ·2a,
△ABC △ABC
4 4
3
S ·2a
∴h=4 △ABC 3a.
=
S 2
△ABC
2.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱ABC -A BC 的顶点A,B,C 分别在三
1 1 1 0 0 0 1 1 1
条棱上,A,B,C 分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?
0 0 0
解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,则PO为三棱锥的高,设A,B,C 所在的底面与PO交于O 点,则
1 1 1 1
A B PO h
1 1= 1,令AB=x,而PO=h,则PO= x,
1 1 1
AB PO a
h ( x)
于是OO =h-PO =h- x=h 1- .
1 1
a a
( x) 3h 3h a2 ( a) 2 a
所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h 1- = (a-x)x= - x- .当x= 时,S有最大
a a a 4 2 2
3
值为 ah,此时O 为PO的中点.
1
4
