文档内容
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )
1 ❑√3 3
A.1 B. C. D.
2 2 4
答案D
解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,
1
V ∶V =πR2h∶ πr2h=3∶4,故选D.
柱 锥
3
2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( )
A.4❑√2 B.8 C.8❑√2 D.8❑√3
答案B
解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S
球
=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴❑√3x=2R=2,
2 ( 2 ) 2
∴x= ,∴S =6x2=6× =8.
正
❑√3 ❑√3
3.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )
❑√6π ❑√π
A. B.
6 2
❑√2π 3❑√π
C. D.
2 2π
答案A
解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4πR2得
a √2π V a3 3 (√2π) 3 ❑√6π
=❑ , 1= = ❑ =
.
R 3 V 4 4π 3 6
2 πR3
3
4.
(2015全国Ⅰ高考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依
垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛
米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛
C.36斛 D.66斛
答案B
解析设底面圆半径为R,米堆高为h.
1 16
∵米堆底部弧长为8尺,∴ ·2πR=8,∴R= .
4 π
1 1 1 (16) 2
∴体积V= × ·πR2h= ×π× ×5.
4 3 12 π
320
∵π≈3,∴V≈ (尺3).
9
320
∴堆放的米约为 ≈22(斛).
9×1.62
5.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为❑√2,则此球的体积为( )
A.❑√6π B.4❑√3π C.4❑√6π D.6❑√3π
答案B
解析如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,
则OO'=❑√2,O'M=1,
4
∴OM=❑√(❑√2)2+1=❑√3 ,即球的半径为 ❑√3 ,∴V= π(❑√3 )3=4❑√3 π.
3
6.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( )
A.18❑√5π B.9(1+2❑√5)π
C.9❑√5π D.9(1+❑√5)π
答案D
解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,
∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,
1 2πr3
即 πr2h= =18π,解得r=3.
3 3
∴h=6,母线长为l=❑√h2+r2=❑√62+32=3❑√5,
则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3❑√5+π×32=9(1+❑√5)π.
7.已知正三棱柱ABC -ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为( )
1 1 1
A.21π B.42π C.84π D.84
答案C解析如图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.∵正三棱柱ABC -ABC
1 1 1
2
的所有棱长都是6,AM= ❑√62-32=2❑√3 ,OM=3,球半径R=OA=❑√(2❑√3)2+32=❑√21 ,该棱柱外接球
3
的表面积为S=4π×(❑√21)2=84π.
8.
圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹
没最上面的球(如图),则球的半径是 .
答案4
解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积
4
为8πr2,3个球的体积和为3× πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.
3
9.
如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台
的体积为 .
259π
答案
3
π
解析作经过球心的截面(如图),O
1
A=3,O
2
B=4,OA=OB=5,则OO
1
=4,OO
2
=3,O
1
O
2
=7,V= (32+❑√32×42
3
259π
+42)×7= .
3S
10.已知一个圆柱的轴截面为正方形,其侧面积为S,与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S,则 2的
1 2
S
1
值为 .
❑√5
答案
4
解析设圆柱的底面圆的半径为r,则高为2r,则圆锥母线长为❑√r2+4r2=❑√5r,所以
S ❑√5
S=2πr×2r=4πr2,S=π×r×❑√5r=❑√5πr2,所以 2= .
1 2
S 4
1
3 ❑√3
11.圆柱的体积为 π,底面半径为 ,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体
4 2
积为 .
4π
答案
3
3 ❑√3 (❑√3) 2 3
解析设圆柱的高为h,∵圆柱体积为 π,底面半径为 ,∴π× ×h= π,解得h=1,
4 2 2 4
4 4
设球半径为R,则(2R)2=(❑√3 )2+12,即4R2=4,解得R=1,∴球的体积为 πR3= π.
3 3
12.一个球内切于底面半径为❑√3,高为3的圆锥内,则内切球半径是 ;内切球与该圆锥的体
积之比为 .
4
答案1
9
1 1
解析设球的半径为r,则对圆锥轴截面运用等面积法可得 ×2❑√3×3= (2❑√3+2❑√3×2)r,∴r=1,内切球
2 2
4
π×13
与该圆锥的体积之比为 3 4.
=
1 9
π×3×3
3
13.如图,一个几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成,且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱
与圆锥的侧面积相等,则圆锥与圆柱的高之比为 .
答案❑√3
解析设圆柱和圆锥的底面半径为R,则圆柱的高h=R,圆锥的母线长为l,因为圆柱与圆锥的侧面积相
1
❑√3R
等,所以2πR×R=πR×l,解得l=2R,得圆锥的高为h
2
=❑√3R,所以圆锥与圆柱的高之比为 =❑√3.
R14.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为❑√2的正方形,侧棱长均为❑√5.若圆柱的一个底面的圆
周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .
π
答案
4
解析由底面边长为❑√2,可得OC=1.
1 1
设M为VC的中点,OM= OC= ,
1
2 2
1
OO= VO,
1
2
VO=❑√V C2-OC2=2,∴O
1
O=1.
1 π
V =π·OM2·OO=π× 2×1= .
柱 1 1
2 4
15.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该
组合体的表面积和体积.
4 4
解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V= πr3+πr2l=
3 3
13π
π×13+π×12×3= .
3
16.
如图所示,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为❑√3的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.
1
解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h=❑√42-22=2❑√3.又h'=❑√3,∴h'= h,∴
2
r h-h' 1
= = ,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=❑√3 π,S 表 =2S 底 +S 侧 =2πr2+2πrh'=2π+2π×❑√3 =(2+2❑√3
2 h 2
)π.能力提升
1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的
天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则
平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)( )
A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸
答案A
解析作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.
即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,
14+6
∴GE= =10(寸).
2
1
即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为 π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆
3
口的面积为142π=196π(平方寸),
588π
∴平均降雨量是 =3(寸),即平均降雨量是3寸.
196π
2.
如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一
个几何体,则该几何体的表面积为 ,体积为 .
11+❑√3 5
答案 πR2 πR3
2 6
解析如图所示,过C作CO⊥AB于O,在半圆中可得∠BCA=90°,
1 1
又∠BAC=30°,AB=2R,❑√3 ❑√3 3 ❑√3 ❑√3
∴AC=❑√3R,BC=R,CO
1
=
2
R,∴S
圆锥AO 1 侧
=π×
2
R×❑√3R=
2
πR2,S
圆锥BO 1 侧
=π×
2
R×R=
2
π
R2,
11+❑√3
∴S 几何体表 =S 球 +S +S = πR2,
圆锥AO 1 侧 圆锥BO 1 侧 2
11+❑√3
∴旋转所得到的几何体的表面积为 πR2.
2
4
又V = πR3,
球
3
∴V =V -(V +V )= 4 πR3- 1 ×AB×π×CO2= 4 πR3- 2πR × (❑√3 R ) 2 = 5 πR3.
几何体 球 圆锥AO 1 圆锥BO 1 3 3 1 3 3 2 6
3.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3❑√2的正方形,且各侧棱长均为2❑√3.求该四棱锥外
接球的表面积.
解取正方形ABCD的中心O,连接SO 并延长交球面于点E.
1 1
连接CO,CE,如图.
1
则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.
∵AB=3❑√2,∴OC=3.
1
在Rt△SOC中,SC=2❑√3,
1
∴SO=❑√3.
1
SC2 (2❑√3)2
在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SOC,∴SC2=SO ·SE,∴SE= = =4❑√3.∴球半径R=2
1 1
SO ❑√3
1
❑√3.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2❑√3)2=48π.
