文档内容
山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期二模考试九年级数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
2．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功
发射，在近月轨道时飞行 大约需要 ．数据0.0000893用科学记数法表示为（
）
A． B． C． D．
3．下列几何体的俯视图是圆的是（ ）
A． 圆柱 B． 三棱柱 C． 正方体 D． 圆锥
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（3b2）2＝3b4 C．（a4）2＝a8 D．a6÷a2＝a3
5．“致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运
用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，
既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的
锻炼时间（单位：分钟）：55，57，65，55，65，70，65，78，68，70．对这组数据判断
正确的是（ ）
A．方差为3 B．平均数为65 C．众数为65 D．中位数为67.5
试卷第1页，共3页7．化简 得（ ）
A． B． C． D．
8．如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪
刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中，点E，F分别是边 的中点，连接 ．点G，H分
别是 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．知二次函数 图象的对称轴为直线 ，部分图象如图所示，下
列结论中：① ；② ；③ ；④若 为任意实数，则有
；⑤当图象经过点 时，方程 的两根为 ， ，
则 ，其中正确的结论有（ ）
试卷第2页，共3页A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤
二、填空题
11．分解因式： ．
12．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ．
13．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如
图所示则形成的么 度．
14．如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，且 轴，点 、 在 轴
上，若四边形 为矩形，则它的面积为
试卷第3页，共3页15．已知菱形 中， ， ，E为边 的中点，F为边 上一点，
将F点沿过C点的直线翻折，翻折后的对应点G恰好落在直线 上，则 的最
小值为 ．
三、解答题
16．计算：
17．解不等式组 ，并写出满足条件的正整数解．
18．如图，在平行四边形 中， 、 分别垂直于对角线 的延长线，垂足分别
为E、F．求证： ．
试卷第4页，共3页19．植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内
容的节日．按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节．提倡通过这
种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性．1928年，国民政府为纪念孙中
山逝世三周年，将植树节改为3月12日．新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第
五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节．某学校在植树节到来
之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信
息如下：
组别 成绩m/分 频数
A 2
B a
C 14
D b
E 10
完成下面问题：
(1) ________， ________；
(2)在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数为________；
(3)补全条形统计图；
(4)八年级一共有480人，请根据以上数据估计八年级中分数在80分到90分的人数．
20．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在
水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 ， 都与地面 平行，车轮半径为 ，
，坐垫 与点 的距离 为 ．
试卷第5页，共3页(1)求坐垫 到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫 到 的距离调整为人体腿长的 倍时，坐骑比较舒适，小明的腿
长约为 ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置 ，请直接写出 的长．（结果精
确到 ．参考数据∶ ）
21．如图，在 中；点 为 边上一点， 经过 两点，交 于点 ，交
于点 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
22．某中学组织师生共 人去参观博物院，阅读下列对话：
李老师：“客运公司有 座和 座两种型号的客车可供租用，且租用 辆 座客车和 辆
座客车到河南省博物院，一天的租金共计 元．”
小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 辆 座和 辆 座的客车到河
南省博物院，一天的租金共计 元．”
(1)客运公司 座和 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，共有哪几
种租车方式？其中最省钱的租车方式，租车费用为多少元？
23．如图，在平面直角坐标中，点 是坐标原点，一次函数 与反比例函数
的图象交于 、 两点．
试卷第6页，共3页(1)求一次函数 与反比例函数 的解析式；
(2)根据图象回答，当 时， 的取值范围为______；
(3) 轴上有一点 ，当以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积为 时，求点 的坐标．
24．二次函数 的图象与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作 轴，交x轴于点D，四
边形 的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标；
(3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点
，连接 ，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得 ，
若存在，请求出点H的坐标．
25．如图 ，已知 为 中位线， ，现将 绕顶点 旋转．
试卷第7页，共3页(1)若 ， 旋转至如图 中 位置，求证： ；
(2)若 ， ．
①将 绕 旋转至如图 中 位置，求 的值；
②直接写出 的值；
③如图 ， 为平面内一点，现将 平移至 的位置，此时 、 、 共线，
、 、 共线， 为等边三角形，然后将 绕 旋转 （ ）至
，连接 ， 为 关于 的中心对称点，在旋转过程中， 是否存在
最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由．
试卷第8页，共3页《山东省济南市莱芜区 2024-2025 学年下学期二模考试九年
级数学试题》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A C D C B B D D
11. 12. 13. 132 14.8 15. 6
选择题、填空题解法提示
9．D
连接 并延长交 于 ，连接 ，
四边形 是矩形，
， ，
， 分别是边 ， 的中点， ， ，
， ，
，
在 与 中，
，
， ，
，
答案第1页，共2页，
点 是 的中点， 是 的中点，
，
故选：D．
10．D
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
即 ，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵物线与x轴有2个交点，
∴ ，所以②正确；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b=2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，所以③正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ （t为任意实数），
即 ，所以④正确；
∵图象经过点 时，方程 的两根为x，x（x＜x），
1 2 1 2
答案第2页，共2页∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为 ，
即x= ，x= ，
1 2
∴ ，所以⑤正确．
综上所述，正确的是：②③④⑤，
故选：D．
15．6
如图，设折痕为 ，连接 ，由题意得， ， ．
∵菱形 中， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵当E，G，G共线时， 的值最小，
∴此时 值最小， ，
∴ ．
∵E为边 的中点，
∴ 是 的中位线， 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
答案第3页，共2页∴ ，即 的最小值为6．
故答案为：6．
解答题参考答案
16．解：原式 ，
．
17．解：由 ，得 ，
由 ，得 ，
∴此不等式组的解集是 ，
∴此不等式组所有正整数解是1，2．
18．证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（1）解：班级总人数为： ，
， ，
故答案为：4；20；
（2）解：依题意， ，
答案第4页，共2页∴A组对应的圆心角的度数为 ，
故答案为： ；
（3）解：补全条形统计图如下：
（4）解：依题意， （人），
∴估计八年级中分数在80分到90分的人数为 人．
20．解：（1）如图1，过点E作 于点 ，
由题意知 、 ，
∴ ，
则单车车座 到地面的高度为 ；
（2）如图2所示，过点 作 于点 ，
答案第5页，共2页由题意知 ，
则 ，
∴ ．
21．（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
，
为 直径，
，即 ，
∴ ，
为半径，
为 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则
由（1）得 ，
， ，
，
在 中， ，
，
答案第6页，共2页解得 ，
∴ 的半径为 ．
22．（1）解：设客运公司 座的客车每辆每天的租金是 元， 座的客车每辆每天的租
金是 元，
由题意得：
解得： ，
答：客运公司 座的客车每辆每天的租金是 元， 座的客车每辆每天的租金是
元；
（2）解：设 座的客车租用 辆， 座的客车租用 辆，
由题意得： ，
整理得： ，
、 均为非负整数，
或 或 ，
有 种租车方式：① 座的客车租用 辆，费用为： (元)；
② 座的客车租用 辆， 座的客车租用 辆，费用为： (元)；
③ 座的客车租用 辆， 座的客车租用 辆，费用为： (元)；
，
最省钱的租车费用为 元；
故共有三种租车方式；最省钱的租车方式，租车费用为 元
23．（1）解：把 代入 得 ，
∴ ，
∴反比例函数 的解析式为 ，
把 代入 得， ，
答案第7页，共2页∴ ，
把 ， 代入 得， ，
∴ ，
∴一次函数 的解析式为 ；
（2）解：由图象得，当 时，即 时， 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）解：设 ，
由 得，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
当 时，
，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
当 时，
答案第8页，共2页，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
综上可知：点 的坐标 或 ．
24．（1）解：∵二次函数 经过点 ， ，
将 ， 代入表达式，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
答案第9页，共2页∴当 时，四边形 面积最大，最大值为 ；
此时E点坐标为 ；
（3）解：∵ ，
∴其顶点P为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
①当H在P点上方时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当H在P点下方时，过点N作l垂直于x轴，过点H作 ，交l于点M，
由题意得四边形 为矩形，
答案第10页，共2页∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
综上，点H的坐标为 或 ．
25．（1）解： ， 为 中位线，
∴ ，
∴ ，
∵旋转，
答案第11页，共2页∴ ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
（2）解：①∵ ， ， 为 中位线，
∴ ，
由旋转性质可得： ， ，
， ，
∴ ，
，
；
②作 ，交 的延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③存在，连接 并延长至点 使 ，连接 ， ，
答案第12页，共2页∵ 为 关于 的中心对称点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵平移，
∴ ， ，
由中位线定理，得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵旋转，
∴ ，
答案第13页，共2页∴ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
答案第14页，共2页
