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2025年山东省青岛市青岛经济技术开发区第四中学中考三模数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．9的相反数是（ ）
A． B． C．9 D．
2．实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上
海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算
原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．
“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之
一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的
时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( )
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取
走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
试卷第1页，共3页A．① B．② C．③ D．④
7．如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，点 在 上，点 在 上，连接
， ， ， 交 于点 ．下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
9．同一条公路连接 ， ， 三地， 地在 ， 两地之间．甲、乙两车分别从 地、
地同时出发前往 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图
表示甲、乙两车之间的距离 （ ）与时间 （ ）的函数关系．下列结论正确的是
（ ）
试卷第2页，共3页A．甲车行驶 与乙车相遇 B． ， 两地相距
C．甲车的速度是 D．乙车中途休息 分钟
二、填空题
10．若分式 的值为0，则 的值是 ．
11．如图，已知 ， 是等腰直角三角形， ，顶点 分别在 上，
当 时， ．
12．小明在纸上描绘了一幅熊猫图，他想知道这幅图案的面积，采取了以下方法：用一个
长为 ，宽为 的矩形将图案框起来并采取随机在矩形内投点的方式， 通过大量实
验发现点落在图案内的频率稳定在0.85，由此可以估计熊猫图的面积大约为 ．
13．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论： ； 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根；
当 时， 的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图
试卷第3页，共3页象上，则 ； 满足 的 的取值范围是 或 ．其中正确
结论的序号为 ．
14．如图，扇形 的圆心角为 ， ，点C在弧 上，以 ， 为邻边构造
平行四边形 ，边 交 于点E， 平分 ，若 ，则图中阴影部分的
面积为 ．（结果保留π）
15．如图，在矩形纸片 中， ， 为边 的中点，点 在边 上，
连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为 ，连接 ．若 ，则
．
三、解答题
16．一块直角三角形的木板余料，要在上面裁出一块正方形木板，要求：正方形的一个顶
点在 点，有两条边在木板的直角边上，且面积最大．
试卷第4页，共3页17．（1）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
18．小希和小辰做转盘游戏，规则如下：如图，有甲、乙两个标有数字的转盘，同时转动
甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为正数时，小希胜；否则
小辰胜（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）．请用画树状
图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
19．为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练
活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2
至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．
整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．
2月份测试成绩统计表
个
数
人
数
表1
本学期测试成绩统计表
试卷第5页，共3页平均 众 中位 合格
1
数/个 数/个 数/个 率
2月
3月
4
月
5月
6月
表2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
(2)从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
(3)若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生
训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
20．根据收集的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
太阳能热水器是利用绿色能源造福
素 人类的一项发明．某品牌热水器主
材 要部件太阳能板需要安装在每天都
一 可以有太阳光照射到的地方，才能
保证使用效果，否则不予安装．
素 某市位于北半球，太阳光线与水平 ， ，
材 线的夹角为α，冬至日时，
二
；夏至日时，
， ，
试卷第6页，共3页， ，
．
， ，
如图，该市甲楼位于乙楼正南方
向，两楼东西两侧都无法获得太阳
光照射．现准备在乙楼南面墙上安
素 装该品牌太阳能板．已知两楼间距
材
为54米，甲楼 共11层，乙楼
三
共15层，一层从地面起，每层
楼高皆为3.3米， 为某时刻的太
阳光线．
问题解决
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能
任
板，应选择________日（填冬至或夏至）
务 确定使用数据
时，α为________（填 ， ， ，
一
中的一个）进行计算．
任 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙
务 探究安装范围 楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水
二 器．
21．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，
， 是 的中线， ，垂足为 ．像 这样的三角形均为“中垂三角
形”．设 ， ， ．
特例探索：
（1）①如图1，当 ， 时， _________， ________；
②如图2，当 ， 时，求 和 的值．
归纳证明：
试卷第7页，共3页（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3
证明你发现的关系式．
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形 中， 为对角线 ，
的交点， 分别为线段 ， 的中点，连接 ， 并延长交于点 ， ，
分别交 于点 ， ，如图4所示，求 的值．
22．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A
种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏
车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种
光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额
为多少万元？
23．如图，四边形 是菱形，对角线 、 交于点O，点D、B是对角线 所在
直线上两点，且 ，连接 、 、 、 ， ．
(1)证明： ；
(2)四边形 是怎样的特殊四边形？请说明理由．
24．2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛中以
击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个
有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她
和同学小华一起进行了实践探究．
经实地测量可知，排球场地长为 ，球网在场地中央且高度为 ．建立如图所示的
平面直角坐标系， 为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为 （单位： ），
距击球点的水平距离为 （单位： ）．
试卷第8页，共3页小华第一次发球时，测得 与 的几组数据如下表：
水平距
0 4 6 8 11 12
离
竖直高
2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00
度
(1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度 与距击球点的水平距离 近似满
足的函数关系式．
(2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由．
(3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点
处上方击球，既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高
度 （单位： ）的取值范围是多少？
25．已知，如图①，在 中， ， ， ， 沿AC的方
向匀速平移得到 ，速度为 ；同时，点Q从点C出发，沿 方向匀速移动，速
度为 ，当 停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为 （
），连接 ，解答下列问题．
(1)当t为何值时， ；
(2)设四边形 的面积为 ，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使 ，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
试卷第9页，共3页《2025 年山东省青岛市青岛经济技术开发区第四中学中考
三模数学试题》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D B B C C A A D A
10.1 11. 12. 13. 14. 15.
选择题、填空题解法提示
6．A
A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题
意；
B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不
符合题意；
C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不
符合题意；
D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不
符合题意；
答案第1页，共2页故选：A．
9．A
根据函数图象可得 两地之间的距离为 （ ）
两车行驶了 小时，同时到达 地，
如图所示，在 小时时，两车同向运动，在第2小时，即点 时，两车距离发生改变，
此时乙车休息，
点的意义是两车相遇， 点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确，
设甲车的速度为 ，乙车的速度为 ，
根据题意，乙车休息后两车同时到达 地，则甲车的速度比乙车的速度慢，
∵
即
在 时，乙车不动，则甲车的速度是 ，
∴乙车休息前速度为 ，故C不正确，
∴ 的距离为 千米，故B不正确，
设 小时两辆车相遇，依题意得，
解得： 即 小时时，两车相遇，故A正确
故选：A．
13．
把 ， ， 代入 得，
，
答案第2页，共2页解得 ，
∴ ，故 正确；
∵ ， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，故 正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
又∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，当 时，函
数取最大值 ，
∵ 与 时函数值相等，等于 ，
∴当 时， 的取值范围为 ，故 错误；
∵ ，
∴点 ， 关于对称轴 对称，
∴ ，故 正确；
由 得 ，
即 ，
画函数 和 图象如下：
答案第3页，共2页由 ，解得 ， ，
∴ ， ，
由图形可得，当 或 时， ，即 ，故 错
误；
综上，正确的结论为 ，
故答案为： ．
14．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵扇形 的圆心角为 ， 平分 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
如图，过 作 于 ，
答案第4页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ；
15．
如图：连接 ，延长 交 的延长线于H，
∵矩形 中 ， 为边 的中点，，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折，点 的对应点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答案第5页，共2页∴ ，即 ，
∴ 为直角三角形，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
解答题参考答案
16．解：如下图：
（1）作 的角平分线，交 于 点；
（2）过 作 于 ，作 于 ；
（3）四边形 即为所求的正方形．
17．解：（1）由①得， ，
由②得， ，
∴原不等式组的解集为： ，
∴整数解为： ；
（2）
答案第6页，共2页，
当 时，原式 ．
18．解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的结果有7种，两个指
针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种，
∴小希胜的概率 ，小辰胜的概率 ，
∴小希胜的概率 小辰胜的概率，
∴这个游戏对双方不公平．
19．（1）解： 月测试成绩中，引体向上 个的人数为
答案第7页，共2页根据表2可得，
；
（2）解：本次引体向上训练活动的效果明显，
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大，（答案不唯一，合理即可）
（3）解： （人）
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为 人
20．解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需 为冬
至日时的最小角度，即 ，
故答案为：冬至， ；
任务二：过E作 于F，则 ， 米， ，
在 中， ，
∴ （米），
∵ （米），
∴ （米），
（层），
答案第8页，共2页答：乙楼中7层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
21．解：如图1、2、3、4，连接 ，则 是 的中位线，
则 ， ， ，
①，
（1）如图1，在直角三角形能ABP中， ，
∴ ，
；
②在图2中，在直角三角形能ABP中， ， ,
∴
则 ， ；
（2）关系为： ，
证明：如图3，由①得： ， ，
则 ；
（3）在菱形 中, 分别为线段 ， 的中点
， ，
，则 ，
答案第9页，共2页同理 ， ，
，
， ，
， ，
同理： ，
则 ．
22．（1）解：设修建一个 种光伏车棚需投资 万元，修建一个 种光伏车棚需投资 万
元，根据题意，得 ，
解得
答：修建一个 种光伏车棚需投资3万元，修建一个 种光伏车棚需投资2万元．
（2）解：设修建 种光伏车棚 个，则修建 种光伏车棚 个，修建 种和 种光
伏车棚共投资 万元，根据题意，得 ，
解得 ，
，
，
答案第10页，共2页随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，此时 （万元），
答：修建 种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
23．（1）解：∵菱形 的对角线 和 交于点O，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是正方形．理由如下，
∵四边形 是平行四边形，且 ，
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
24．（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为 ；
设 与 之间的函数关系式为 ．
将 代入，得 ，
解得 ，
经检验，表格中其他数据 也满足上述关系．
排球运动过程中距地面的竖直高度 与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：
；
答案第11页，共2页（2）能，理由如下：
当 时， ．
，
小华这次发球能过网；
（3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为： ．
把 ， 代入 ，
解得 ．
．
把 代入 ，
解得 ．
把 ， 代入 ，
解得 ．
．
把 代入 ，
解得 ．
小华的击球点高度 的取值范围是 ．
25．（1）解：如图所示，
∴在 中，根据勾股定理得 ，
若 ，则有 ，
∵ ，
答案第12页，共2页∴ ，
即 ，
解得 ，
当 时， ；
（2）如图所示，过点 作 于点 ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∵
∴
∵
∴ （ ）
（3）存在时刻 ，使 ，理由如下：如图所示，过点 作 的延长线
于点 ，
答案第13页，共2页∵
∴
∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，即
∵ ， ，
在 中，根据勾股定理得： ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ 或 （舍去）
∴当 时，
答案第14页，共2页
