文档内容
太原市 2025 年初中学业水平模拟考试（二）数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 通达桥位于汾河之上，主桥面中心标志高于基准面 米，主墩桩基础低于基准面 米．若高于基
准面 米记作 米，则低于基准面 米记作（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案
既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第1页/共27页4. 今年以来，水利部聚焦国家水网建设，第一季度新开工的重大项目，总投资规模达 亿元．数据
亿用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 2025年1月15日，中国邮政发行《中国核工业创建七十周年》纪念邮票1套3枚，邮票图案名称分别为
“核铸利器”“核能先锋”“核惠民生”．将3枚邮票背面朝上放置桌面（邮票背面完全相同），从中随
机抽取 1枚，不放回，再随机抽取 1枚，则两次抽到的邮票中恰好有 1枚是“核铸利器”的概率为
（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线 射向光伏玻璃，在玻璃表
面点B处发生反射和折射现象，反射光线为 ，折射光线 在太阳能电池板表面的点D处发生反射现
象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线 ．已知 ， ，若
， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
第2页/共27页A. B. C. 4 D. 16
8. 如图， 中， ，将 沿 的方向平移得到 ，其中 ， ， 的对应
点分别是点 ， ， ．若点 是 的中点， ， ，则点 与点 之间的距离为
（ ）
.
A B. C. D. 4
9. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5
尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？这个问题可用方程 来解决，
则方程中的x表示（ ）
A. 长木的长 B. 长木一半的长 C. 绳子的长 D. 绳子对折后的长
10. 如图，线段 是 的直径，点C是 上一点，连接 ，以点C为圆心，线段 长为半
径所作的弧恰好经过点B．若 的半径为2，则图中阴影部分的周长为（ ）
第3页/共27页.
A B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案写在答题卡相应的位置．
11. 计算 的结果等于_______．
12. 2025年4月在北京亦庄，全球首场人形机器人半程马拉松震撼上演．如图是本次马拉松的宣传 ，
将其放在平面直角坐标系中，若B，C两点的坐标分别为 ， ，则点A的坐标为______．
13. 中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆
放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则 的度数为
______°．
14. 如图，在平面直角坐标系中， 的斜边 经过原点 ， 平行于 轴，点 是 的中点，
反比例函数 的图象经过点 和点 ．若点 的坐标为 ，则 的面积为_____．
第4页/共27页15. 如图，在 中， ， ，点D为 边上一点且 ，连接 ，作
的垂直平分线，分别交线段 ， ， 于点E，F，G．则线段 的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算
步骤）
16. 计算或化简：
（1） ；
（2） ．
17. 如图1，是一张矩形纸片 ，沿过点A的直线折叠该纸片，使点B的对应点落在 边上的点F
处，展开后折痕交边 于点E，连接 ．
第5页/共27页（1）判断四边形 的形状，并证明你的结论；
的
（2）在图1中，作 平分线交 于点G，得到图2．若 ，则线段 的长为
_____．
18. 2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全·青春挺膺”主题演讲比赛，引
导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初
赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息：
信息 1： 名选手初赛成绩的频数直方图如下（数据分成 组： ， ，
， ， ）：
信息2：初赛成绩在第三组（ ）的选手成绩如下： ．
信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如下表：
得分
选
平均数 方差
手 评 评 评 评 评
委1 委2 委3 委4 委5
甲 93 90 92 93 92 92 ________
乙 91 92 92 92 92 91.8 0.16
.
丙 90 94 90 94 92 ________ 32
第6页/共27页根据上述信息回答下列问题：
（1）初赛 名选手成绩的中位数为_____分；
（2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛
时，组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为 分，小颖的成绩为 分．直接写出他们两人是否能
进入决赛；
（3）决赛的排名规则是：计算 位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数
相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明
理由．
19. “太空育种”是种子被宇航员带入太空，经历一段太空环境后，再返回地球进行培育的育种方法，是
将辐射、宇航、育种和遗传等学科综合的高新技术．经太空育种后的鲜花花期更长、花朵更鲜艳、价格也
较高.我国培育成功的太空育种鲜花“延丹 号”山丹丹单价为 元 盆，“太空玫瑰”单价为 元 盆．
（1）为美化环境，公园计划购买这两种太空育种鲜花共 盆，若购买这两种鲜花的总价为 元，请
计算购买“延丹 号”山丹丹和“太空玫瑰”的盆数；
（2）若公园购买这两种太空育种鲜花的预算资金只有 元，所需购买两种鲜花的总数仍为 盆，则
最多可购买“太空玫瑰”多少盆？
20. 综合与实践
随着学校对高效、智能、绿色的教学环境构建需求的日益增长，LED显示屏逐渐以其独特的优势点亮校园
的多个角落．在学校改造升级工程中，运动场新安装了一块大型LED显示屏．如图，线段 的长表示
LED显示屏的宽， 表示水平地面， 于点 ，兴趣小组的同学利用所学知识测量显示屏的
宽 ，测量方案及相关数据如下：
第7页/共27页第一步：在操场地面上的点 处，用测角仪测得LED显示屏的底部点 的仰角 ；
第二步：沿 方向走到点 处，用测角仪测得显示屏的顶部点 的仰角 ；
第三步：用皮尺测得 米，点 到 正下方点 之间的距离即 米．（图中各点均在同一
竖直平面内）
根据上述测量方案和数据计算 LED 显示屏的宽 （结果精确到 米．参考数据 ，
， ， ， ， ）．
21. 阅读与思考
请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务．
点和直线的等距圆
在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这
条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆．
概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点， 经过点B，且与直线l相切于点A，
则 为点B和直线l关于点A 的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础
上连接 ， ， ，得到图2．
∵ 为点B和直线l关于点A的等距圆，
第8页/共27页∴ 与直线l相切于点A，
∴①________，
∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上．
∵ 与直线l相切于点A，且经过点B，
∴ ，
∴点O在线段 的垂直平分线上．（依据：②________）
任务：
（1）分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________；
（2）问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距
圆 （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E， 于点F、 ．
①求作 和直线l上一点M，使 是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且 的半
径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②若 是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且 的半径为 ，则
两点之间的距离用含d的式子表示为______．
22. 综合与实践
问题背景：小吊瓜又叫礼品瓜，采用“吊挂”“嫁接”等技术，瓜蔓向上生长，结出的瓜都吊在空中，因
其玲珑的外观，甜美的口感成为水果市场新宠．研学小组的同学走进某种植基地，对同时上市的 A，B两
个品种小吊瓜前15天的销售情况进行调查．
第9页/共27页数据收集：信息1：A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x的函数关系可近似地用如下坐标系中的抛
物线刻画，该抛物线经过点 ，且顶点坐标为 ，其中 且x为整数．
信息2：B品种小吊瓜每千克的销售成本为2元．
信息3：B品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表：
第1 第2 第3 第4 第5
上市时间 …… 第x天
天 天 天 天 天
销售单价
30 28 26 24 22 ……
（元/千克）
销售量（千
70 80 90 100 110 …… ________
克）
（注：其中 且x为整数）．
建立模型：
（1）求A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式；
（2）按照信息3表格呈现的规律，B品种小吊瓜第x天的销售量用含x的代数式表示为______千克；B品
种小吊瓜第x天的销售利润z（元）与x之间的函数关系式为_______；
问题解决：
（3）①求上市第几天时，A、B两种小吊瓜当天的销售总利润最大？最大利润是多少？
②当A、B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时，请直接写出相应的上市时间（第x天）的范
围．
第10页/共27页23. 综合与探究
问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系
提出问题并解决问题.如图1，已知四边形 是菱形， ， ，点 是射线 上
的一个动点，连接 ，以 为边作等边三角形 （点 在 的右侧），连接 ．
数学思考：
（1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中 与 之间的数量关系，并说明理由．请你解答；
深入探究：
（2）老师在图1的基础上过点 作 的平行线与 的延长线交于点 ．请你解决同学们提出的新问
题：
①“善思小组”提出问题：如图2，若点 在线段 上，判断线段 ， 与 之间的数量关系，
并证明你的结论；
②“创新小组”提出问题：若点 在射线 上运动，连接 ，当 时，请直接写出线段
的长．
第11页/共27页太原市 2025 年初中学业水平模拟考试（二）数学
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A C D A D C B C D
11. 12. 13. 36 14. 48 15.
选择题、填空题解法提示
10. 解：由题意知，扇形 中 的长为 周长的一半，即 ，
∵线段 是 的直径，点C是 上一点， 的半径为2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第12页/共27页∴ ，
∴扇形 中 的长为 ，
∴图中阴影部分的周长为 ．
故选：D．
14. 解：∵反比例函数与直线 均关于原点对称， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，点 是 的中点，
∴ ，
如图所示，设 与 轴交于点 ，由 轴垂直 轴， 轴得到 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
第13页/共27页解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 解：解法一：过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
， ，
平分 ，
即 ，
中， ，
，
又 ，
， ， ，
中， ，
， ，
，
第14页/共27页，
， ，
，
， 且平分 ，
， ，
，
，
，
；
解法二：在 中， ， ，过点 作 ，
则 ，
，
第15页/共27页，
， ，
，
，
垂直平分 ，
．
建立坐标系：设点 ，则 ， ， ， ，
为 的中点，则点 ，即 ，
设 ，作 轴于点 ， 于点 ，
垂直平分 ，
，
，
整理得： ①，
，
，
，即 ，
整理得： ②，
第16页/共27页联立①②得 ，
．
以 为斜边构建直角三角形，过点 作垂直 轴的直线，过点 作平行 轴的直线，故此三角形的一直
角边长为： ，另一直角边长为： ，
根据勾股定理可得： ．
故答案为： ．
解答题参考答案
16.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17. （1）解：四边形 是正方形，证明如下：
∵四边形 是矩形，
第17页/共27页∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形；
（2）解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18. （1）解：初赛 名选手成绩中第一组有3人，第二组有4人
初赛成绩在第三组（ ）的选手成绩从小到大排列为： ， ， ， ， ， ， ，
．
第 和 个数据是第三组的第3个和第4个数据，即 ，
∴初赛 名选手成绩的中位数为
（2）因为初赛 名选手成绩的中位数为 ，
第18页/共27页组委会对其加试一题．加试前，小文的成绩为 分，而 分的同学有 名， 则小文不一定进入决赛，
小颖的成绩为 分，大于中位数，则一定能进入决赛．
∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛
（3）甲的方差为
丙的平均数为
甲的方差为 ，丙的平均数为
甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，
∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．
19. （1）解：设购买“延丹 号”山丹丹 盆，购买“太空玫瑰” 盆，
由题意，得 ，
解得 ，
答：购买“延丹 号”山丹丹 盆，购买“太空玫瑰” 盆；
（2）解：设购买“太空玫瑰” 盆，
由题意，得 ，
解得 ，
因为 为正整数，
所以 的最大值为 ，
答：最多可购买“太空玫瑰” 盆．
20. 解:由题意得： 米， 米， ，
第19页/共27页在 中， , ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （米），
答：显示屏的宽 约为 米．
21. （1）解：∵ 为点B和直线l关于点A的等距圆，
∴ 与直线l相切于点A，
第20页/共27页∴ ，
∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上．
∵ 与直线l相切于点A，且经过点B，
∴ ，
∴点O在线段 的垂直平分线上．（依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上）
故答案为： ；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
（2）解：如图所示，
由作图可得， ，点 在 的垂直平分线上，
与直线 相切， ，
经过直线 外一点 ，
为点 和直线 关于点 的等距圆，
点D和直线m关于点C的等距圆 即为所求．
（3）解：①如图所示，
由作图可得， ，
第21页/共27页又 ，
四边形 是正方形，
，
与直线 相切，
为点 和直线 关于点 的等距圆，
和直线l上一点M即为所求．
②如图，作 于点 ，则 ，
是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，且 的半径为 ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
第22页/共27页，
，
由①中的结论得， ，
．
故答案为： ．
22. 解：（1） 抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
该抛物线经过点 ，
，
解得： ，
抛物线解析式为 ，
即y与x之间的函数关系式为 ；
（2）由信息3表格可知，B品种小吊瓜的销售量每天增加10千克，且第1天的销售量为70千克，
第x天的销售量用含x的代数式表示为 千克，
销售利润 ；
（3）① A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式为 ，
B品种小吊瓜第x天的销售利润z（元）与x之间的函数关系式为
总利润 ，
，
当 时有最大值为 ，
第23页/共27页即上市第7天时，两种小吊瓜当天销售总利润最大，最大利润 是4470元；
② ，
A种小吊瓜日销售利润 随天数x的增大而增大的上市时间范围为 ，
，
B种小吊瓜日销售利润 随天数x的增大而增大的上市时间范围为 ，
x为整数，
当A、B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时，请直接写出相应的上市时间（第x天）的范
围为 且x为整数．
23. 解：（1） ，理由如下：
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
即 ，
是等边三角形，
， ，即 ，
，
在 和 中，
，
第24页/共27页，
；
（2）① ，证明 如 下 ：
四边形 是菱形，
， ， ，
，
由（1）知 ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）知 ，
，
，
；
②过点 作 于点 ，
， ，
， ，
如图2，当点 在线段 上时，
设 ，则 ， ，
第25页/共27页，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
即 ；
如图3，当点 在线段 的延长线上时，
设 ，则 ， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
即 ；
综上所述，线段 的长为 或 ．
第26页/共27页第27页/共27页
