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江西省抚州市临川第二中学2024-2025学年 下学期 九年级第
二次模拟考试数学学科试题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是
（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4． （深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤
其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如： 是其开发的一个强大的混合专
家语言模型，含2360亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来
人员．把数据2360亿用科学记数法表示应是（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别
为m， ．若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点
A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
7．计算： ．
8．在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
9．正八边形的一个内角的度数是 度．
10．如果一个四边形的对角线相等，那么以这个四边形的四边中点为顶点的图形一定是
．
11．已知关于x的一元二次方程 的两个实数根之积为正数，则实数m的取
值范围是 ．
试卷第2页，共3页12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝
60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．
三、解答题
13．（1）计算： ；
（2）如图：已知 ，且 ，求证： ．
14．先化简： ，然后在 ， ，0，3中选择一个你喜欢的数代入x
中求值．
15．江西省将于2024年整体实施高考综合改革．其中，考试科目将不再分文理科，改为
“3+1+2”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物
理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生
物4门科目中自主选择2门；
(1)选择历史的概率是________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求恰好选择思想政治和地理的概率．
16．如图，已知正方形 与 ，点E在 上，且为 的中点，点 在线段
的反向延长线上．请利用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图的痕迹）．
试卷第3页，共3页（1）在图1中，画出 的中点 ；
（2）在图2中，画出 的垂直平分线．
17．如图，点A反比例函数 的图象上，点C在x轴上， 轴，垂足为B，
， ， ， 交反比例函数的图象于点D．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点D的坐标．
18．某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜
110元，餐桌零售价270元/张，餐椅零售价70元/张．已知用600元购进的餐桌数量与用
160元购进的餐椅数量相同．
（1）求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超
过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，售价
500元/套，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？
最大利润是多少？
19．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，
其示意图如图2．已知 ， ， ， ，
．（结果精确到0.1 ，参考数据： ， ，
， ， ， ）
试卷第4页，共3页(1)连结 ，求线段 的长．
(2)求点A，B之间的距离．
20．如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ， 为
上一点．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， ， ，求 的长．
21．某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测
得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)
试卷第5页，共3页统计量供应 平均 中位 众
商 数 数 数
甲 80 80
乙 76
则 __________， __________， __________．
(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大
小更为整齐．（填“甲”或“乙”）
(3)超市规定直径 （含 ）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果
2000个，其中，大果约有多少个？
22．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线 为抛物线 的
“衍生直线”．如图1，抛物线 与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在
x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点 ．
(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标；
(2)如图2，抛物线 的“衍生直线”与y轴交于点 ，依次作正方形 ，
正方形 ，…，正方形 （n为正整数），使得点 ， ， ，…，
在“衍生直线”上，点 ， ， ，…， 在x轴负半轴上．
试卷第6页，共3页①直接写出下列点的坐标： ______， ______， ______， ______；
②试判断点 ， ，…， 是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若
不是，请说明理由．
23．【课本再现】北师大版九年级上册数学课本第21页有这样一道题：
（1）如图1，在正方形 中，E为 边上一点，F为 延长线上一点，且 ．
与 之间有怎样的关系？请说明理由．
【类比探究】
（2）如图2，在矩形 中， ，点E在 边上，连接 ，F为 延长线上
一点，连接 ， ，且 的延长线垂直于 ，垂足为点H．
①求 的值；
②求 的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段 ，使它经过 的中点H，交 于点M，
交 于点N，连接 ，若 ， ，请你求出 的长．
试卷第7页，共3页《江西省抚州市临川第二中学 2024-2025 学年下学期九年级
第二次模拟考试数学学科试题卷》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6
D A C A B B
7.3 8. 9. 135 10.菱形 11. 12 .3或3 或3
选择题、填空题解法提示
6．B
如图所示：
则点D的个数是4，
故选：B．
10．菱形
如图，已知四边形 ， 的中点依次是E、F、G、H， ，
点E是 的中点，点F是 的中点，
，
同理可得 ， ， ，
，
答案第1页，共2页，
四边形 是菱形，
故答案为：菱形．
12．3或3 或3 ．
当 时，如图1，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当 时，如图2，
，
，
，
在直角三角形 中，
；
答案第2页，共2页， ，如图3，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为3或 或 ．
解答题参考答案
13．解：（1）
；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
则 ，
∵ ，
答案第3页，共2页则 ，
故 ，
∵ ，
∴ ．
14．解：
当 ，0， 时，原分式没有意义，
∴ ，
当 时，原式 ．
15．（1）解： 考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，
选择历史的概率是 ；
故答案为： ；
（2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择思想政治和地理有：①②，②①，共2种，
恰好选择思想政治和地理的概率为 ．
16．解：（1）如图1，点P即为所求；
答案第4页，共2页（2）如图2，直线MN即为所求．
17．（1）解：∵ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
代入 得： ，
∴ ；
（2）设直线 的解析式为 ，将点 代入得：
，
答案第5页，共2页解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立两个函数 ，
解得： 或 ，
∴点D的坐标为 ．
18．解：（1）设每张餐桌的价格为a元，则每张餐椅的价格为（a-110）元，
由题意得 ，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解 ，
此时a﹣110=40，
答：该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20 200，
解得：x 30 ⩽
W=12x·（⩽500−150−4×40）+12x·（270−150）+（5x+20−12x⋅4）·（70−40）=245x+600
∵k=245>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
此时a﹣110=40，
答：购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
19．（1）解：如图2，过点C作 于点F，
答案第6页，共2页∵ ，
∴ ， 平分 ．
∴ ，
∴ (cm)，
∴ ．
（2）解：如图3，连结 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C．
∴ ， ，
∴AB∥DE．
过点D作 于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴ ，
∵ ，BE⊥CE，
答案第7页，共2页∴ ，
∴ (cm)，
∴ ．
20．（1）证明：如图，连接 ，
是 的直径，
，
，
,
，
，
,
，即 ，
点 在 上，
为 的切线；
（2）解：如图，连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
的长
答案第8页，共2页21．（1）解：由题意得： ；
把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数
；
甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数 ．
故答案为：80， ， ．
（2）解：甲的方差为：
；
乙的方差为：
，
因为 ，
所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．
故答案为：甲．
（3）解： （个）．
答：大果约有600个．
22．（1）解： 抛物线为 ，
，
“衍生直线”的表达式为 ．
“衍生直线” 与x轴交于点B，
点B的坐标为 ．
抛物线 与x轴交于点 ， ，
抛物线的表达式为 ．
答案第9页，共2页令 ，解得 或 ，
把 代入 ，得 ，
点A的坐标为 ；
（2）解：①对于 ，令 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ．
∵点 ， ， ，…， 在“衍生直线”上，即在直线 上，
∴ ，
∴ ．
同理可求出 ，…， ．
故答案为： ， ， ， ；
②点 ， ，…， 在同一条直线上．
令 ， ，
∴ ，
∴ ，
这条直线的表达式为 ．
23．解：（1） ， ，
答案第10页，共2页理由如下：
延长 交 于G，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（2）解：①∵ ，
∴ ．
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
答案第11页，共2页②∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
（3）由平移的性质可得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点H为 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴可设 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
答案第12页，共2页
