文档内容
保师附校适应性训练
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，考试时间120分钟．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷
上无效．
3．考试结束后，试卷自行保留，答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知线段 ，点C是直线 上一点， ，若M是 的中点，N是 的中点，
则线段 的长度是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
3. 小明总结了以下结论：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)
＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的
4. 下列说法正确 是（ ）
A. 函数 的图象是过原点的射线 B. 直线 经过第一､二､三象限
C. 函数 ，y随x增大而增大 D. 函数 ，y随x增大而减小
5. 下列运算正确的是（ ）
第1页/共23页A. －3－2＝－1 B. C. D.
6. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行
方向为（ ）
A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50°
7. 已知实数 满足方程组 ，则 值为（ ）
的
.
A B. 1 C. 3 D.
8. 已知在同一直角坐标系中二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象可能是（ ）
第2页/共23页A. B. C. D.
9. 如图，在 中， ，E为 中点，连接 ， ，若 ，则
的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三
人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，
当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（ ）
A. 是公平的 B. 有利于姐姐 C. 有利于哥哥 D. 有利于妹妹
11. 二次函数 的图象如图所示，有如下结论：① ；② ；③ ；
④ （m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第3页/共23页12. 如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交
于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
的
13. 某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品” 调
查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填序号）_________________．
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的菜品；④.整理所收集的
数据．
14. 已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则 ______．
15. 如图，在正方形网格中，格点 绕某点顺时针旋转角 得到格点 ，点
与点 ，点 与点 ，点 与点 是对应点，则 _____度．
16. 如图，平面直角坐标系的第二象限内有一正六边形 ，点 ，点 ．我们将正
第4页/共23页六边形 内部或边上横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，反比例函数 的图象记
为l．若l两侧“好点”的个数相同，则k的取值范围为__________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个
面积分别为 ， 和 的正方形木板A，B，C．
（1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________ ，B的边长为___________ ，C的边长为
___________ ；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为 的正方形木板，请你
判断能否截出，并说明理由．
18. 先化简，再求值： ，其中 是方程 的解．
19. 在体育活动课中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行某体育项目的测试，并对成绩
第5页/共23页进行统计分析，绘制了频数分布表，请你根据表中的信息完成下列问题：
分 组 频数 频率
第一组（不及格） 3
第二组（中） b
第三组（良） 7
第四组（优） 6 a
（1）频数分布表中 ， ；
（2）如果该校九年级共有学生900人，估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有多少人？
（3）已知第一组中有两个甲班学生，第二组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生
对体育活动课提出建议，则所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率是多少？
20. 如图， 是 的直径，点 、 是 上的点，且 ， 分别与 、 相交于点
、 ．
（1）求证：点 为 的中点；
（2）若 ， ，求 的长；
21. 综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 分别在 轴与 轴上，已知
．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段
的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为 秒．
第6页/共23页（1）当点 经过点 时，求直线 的函数解析式；
（2）①求 的面积S关于 的函数解析式；
②把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
（3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
22. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面
示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上 点
测得屋顶 的仰角为 ，此时地面上 点、屋檐上 点、屋顶上 点三点恰好共线，继续向房屋方向走
到达点 时，又测得屋檐 点的仰角为 ，房屋的顶层横梁 ， ， 交 于
点 （点 ， ， 在同一水平线上）．（参考数据： ， ， ，
）
（1）求屋顶到横梁的距离 ；
（2）求房屋的高 （结果精确到 ）．
23. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐
第7页/共23页标系，抛物线可以用y= x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离
为 m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那
么两排灯的水平距离最小是多少米？
24. （1）证明推断：如图（1），在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上， 于点
，点 ， 分别在边 ， 上， ．
①求证： ；
②推断： 的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形 中， （ 为常数）．将矩形 沿 折叠，使
点 落在 边上的点 处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究
与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2） 的条件下，连接 ，当 时，若 ， ，求 的
第8页/共23页长．
第9页/共23页保师附校适应性训练
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C C D A A B A A D A
13.②④①③ 14. 15. 16.
选择题、填空题解法提示
12.A
如图，过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，
∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，
∵DG⊥BC，
∴四边形ABGD为矩形，
∴AD=BG，AB=DG=8，
在Rt△DGC中，CD=10，
∴ ，
∵AD=DE，BC=CE，CD=10，
∴CD= DE+CE = AD+BC =10，
第10页/共23页∴AD+BG +GC=10，
∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，
∵OA=OB，
∴△HAO≌△BCO，
∴AH=BC=8，
∵AD=2，
∴HD=AH+AD=10；
在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△DHF∽△BCF，
∴ ，
∴ ，
解得， ．
故选A．
16.
连接 ，作 于 ，如图所示：
第11页/共23页多边形 是正六边形，
，其内角和为 ，
，
， ， ，
， ，
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
利用水平平移可得 ， ，
利用 到 的平移方式和 到 的平移方式相同，都是水平向左平移 个单位长度，竖直向下平移 个
单位长度，
则 ，
∴正六边形 内部或边上共有10个“好点”，如图所示．
第12页/共23页从图中，可以看出反比例函数图象 通过两点 和 ，
反比例函数图象 通过两点 和 ，
当反比例函数图象在 和 之间时，两侧各有5个“好点”．
故k的范围为： ．
故答案为： ．
解答题参考答案
17.解：（1）2， ，
∵正方形木板A的面积为 ，正方形木板B的面积为 ，正方形木板C的面积为 ，
∴正方形木板A的边长为 ，正方形木板B的边长为 ，正方形木板C的边长为
.
（2）∵正方形木板A的边长为 ，正方形木板B的边长为 ，正方形木板C的边长为 ，
∴长方形木板①的长为 ，宽为 ，
∴阴影部分面积为 ；
(3)不能截出.
理由： ， ，
∴两个正方形木板放在一起的宽为 ，长为 ．
由（2）可得长方形木板的长为 ，宽为 ．
第13页/共23页∵ ，但 ，
∴不能截出．
18.解：
，
∵ 是方程 的解，
解得 ，
∵ ，
故 ，
故 ，
当 时，原式 ．
19.解（1） ，4
（2） （人），
答：估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有585人.
(3)画树状图如下：
第14页/共23页由树状图可知共有12种等可能结果，其中所选两人正好是甲班和乙班各一人的有5种，
所以所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率为 ．
20.(1)证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即点 为 的中点；
(2)解：∵
∴ ，
又
∴
∵
∴
∴
第15页/共23页21.解：（1） .
(2)①当点P在线段 上时， ，高为6， ，
即 时， ；
当点P在线段 上时， ，高为 ，
∴ ；
②设 ，则 ，如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
则此时点P的坐标是 ；
(3)存在，理由为：
若 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当 ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
第16页/共23页∴ ，即 ；
②当 时，过点 作 于点F，
∴ ，
∴ ，
此时 ；
③当 时，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，
∴ ，即 ，
综上，满足题意的P坐标为 或 或 ．
22. 解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形， 所在直线是对称轴， ，
第17页/共23页∴ ， ， ．
在 中， ， ，
∵ ， ， ．
∴ （米）
答：屋顶到横梁的距离 约是4.2米．
（2）过点 作 于点 ，设 ，
在 中， ， ，
∵ ，∴ ，
在 中， ， ，
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
解得 ．
∴ （米）
答：房屋的高 约是14米．
第18页/共23页23.解：（1）由题知点 在抛物线上
所以 ，
解得 ，
∴ ，
∴当 时，
∴抛物线解析式为 ，拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
当x=2或x=10时， ，
所以可以通过；
（3）令 ，即 ，可得 ，解得
答：两排灯的水平距离最小是
24.（1）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
第19页/共23页∴ ．
∴ ．
∴ ≌ ，
∴ ．
②解：结论： ．
理由：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为1．
（2）解：结论： ．
理由：如图2中，作 于 ．
第20页/共23页∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图2﹣1中，作 交 的延长线于 ．
第21页/共23页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴可以假设 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或﹣1（舍弃），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
第22页/共23页∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
第23页/共23页
