文档内容
郑州市二七区 2024－2025 学年九年级下学期联考试卷
数 学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A. 0 B. 2025 C. D.
2. 据《大河报》报道，郑州2024年五一假期接待游客量接近1077.6万人次．1077.6万这个数字用科学记
数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线 ，直线AC分别交l， l，l;于点A， B， C;直线DF分别交l，l，l;于点D，
1 2 3 l 2 3
E，F; AC与DF相交于点H，且AH=4， HB=2， BC=10， 则 = ( )
第1页/共23页A. B. 2 C. D.
5. 如图，在 中， 为直径， 为弦， 为切线，连接 ．若 ，则 的度
数为（ ）
.
A B. C. D.
6. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7. 2023年杭州亚运会吉祥物为“江南忆”组合，它们分别命名为“琮琮”、“宸宸”和“莲莲”．如图，
现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有“琮
琮”图案，一张正面印有“宸宸”图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽
出的两张都是“琮琮”卡片的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 若抛物线 的开口方向向下，交 轴于正半轴，则抛物线的顶点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，
DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）
第2页/共23页A. B. C. D.
10. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角
正弦值与折射角正弦值之比，即折射率 （i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横
截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直 边的方向射出，已知 ， ，
，则 长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 将代数式 去括号，得_________________________．
12. 不等式组 的解是___________．
13. 郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为
米，现要做一个不锈钢的扶手 及两根与 垂直且长为1米的不锈钢架杆 和 （杆子的底端分
别为 ， ），且 ．则所用不锈钢材料的总长度（即 ，结果精确到
第3页/共23页米）为_____________米．（参考数据 ， ， ）
14. 如图， 是平行四边形， 是 的直径，点 在 上， ，则图中阴影部分的
面积为_____________________．
的
15. 如图，在矩形 中， ， ， 是线段 上一动点，以 为直角顶点在 右
侧作等腰直角三角形 （点 在矩形 内部，不含边界），连接 ，则
______， 的最小值为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算： ．
（2）解方程：
17. 某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，
小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过
程．
第4页/共23页甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（分） 35 39 37 40
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
根据上述信息，完成下列问题：
（1） 的值是______；
（2）根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
（3）如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为38分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差
______．（填“变大”“变小”或“不变”）
18. 如图，在 的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段 与 的端点都在网格小正方形
的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：
为
（1）以线段 一边画正方形 ，再以线段 为斜边画等腰直角三角形 ，其中顶点 在
正方形 外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形
和 面积之和，其它顶点也在格点上．
.
19 某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元，购进
A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的进价分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件．如果该经销商将购进的农产品按照A
种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
20. 如图，在 中， ， 为线段 上一点，以点O为圆心， 的长为半径的圆与
相切于点B．
第5页/共23页（1）求 的度数．
（2）请用圆规和无刻度的直尺作 的平分线，交 于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（3）连接 ，判断 是否为等边三角形．如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
21. （1）先求解下列两题：
①如图（1），点 ， 在射线 上，点 ， 在射线 上，且 ，已知
，求 的度数；
②如图（2），在直角坐标系中，点 在 轴正半轴上， 轴，点 ， 的横坐标都是 ，且
，点 在 上，且横坐标为 ，若反比例函数 的图象经过点 ， ，求 的值．
（2）解题后，根据以上两小题的共同点，请简单地写出一条你的收获．
22. 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
第6页/共23页如图 1，将两块全等的直角三角形纸片 和 叠放在一起，其中 ，
， ，顶点D与边 的中点重合， 经过点C， 交 于点G．求重
叠部分（ ）的面积．
（1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵ ，D是 的中点，∴ ．
∴ ． （依据：______________________）
又∵ ，∴ ．
∴ ．
∴_____________________．
∴ ．∴ ．
又∵ ，∴G是 的中点，∴ 为 中位线．
∴ ， ．∴ ．
的
（2） “希望”学习小组受此问题 启发，将 绕点D旋转，使 交 于点H， 交
于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证： ；
第7页/共23页②求出重叠部分（ ）的面积．
（3）“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将 绕点D旋转， ， 分别交于点
M，N，当 是以 为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（ ）的面积是
________．
23. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于 轴对称，则把该函
数称之为“ 函数”，其图象上关于 轴对称的不同两点叫做一对“ 点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点 与点 是关于 的“ 函数” 的图象上的一对“
点”，则 ， ， （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于 的函数 （ 是常数）是“ 函数”吗？如果是，指出它有多少对“ 点”如果
不是，请说明理由；
（3）若关于 的“ 函数” （ ，且 是常数）经过坐标原点 ，且与直线 ：
（ ， ，且 ， 是常数）交于 ， 两点，当 ， 满足
时，直线 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理
由．
第8页/共23页郑州市二七区 2024－2025 学年九年级下学期联考试卷
数 学
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A A C A C B B D
11. 12. 13. 5.0 14. 15. 1
选择题、填空题解法提示
10. 解：∵折射光线沿垂直 边的方向射出，
第9页/共23页∴ ，
∵法线垂直于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
14. 解：记 与 的交点为点 ，连接 ， ， ，过点 作 于点 ，
，
，
是等边三角形，
四边形 是平行四边形，
，
，
第10页/共23页是等边三角形，
同理可得出 是等边三角形且3个等边三角形全等，
阴影部分面积等于 面积，
， ，
图中阴影部分的面积为： ．
故答案为：
15. 解:如图所示，过点F作 交 于点G，作 交 于点H
∵在矩形 中， 是线段 上一动点，以 为直角顶点在 的右侧作等腰直角三角形
∴
∴
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
∵
第11页/共23页∴四边形 是矩形
∴ ，
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴ ；
∴
∴点F在直线 上运动
∴当 时， 取得最小值
∴此时
的
∴ 最小值为 ．
故答案为：1， ．
解答题参考答案
16. 解：（1）
．
第12页/共23页（2）原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
∴原方程的解是
17. 解：（1）由乙同学五次模拟测试成绩的方差公式，可知乙同学的五次成绩分别是：36、38、37、39、
40，乙同学五次成绩之和为190，
∵甲和乙的五次成绩之和相等，
∴ ，
故答案是：39；
（2） ，
乙的体育成绩更好．因为 ， ，两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩
更稳定，所以乙的体育成绩更好；
（3）第六次模拟测试成绩为38分，则平均数 ，不变，
， 会变小，
故答案 是：变小．
18. （1）解：如图所示：
第13页/共23页（2）解：∵新正方形的面积为正方形 和 面积之和，其它顶点也在格点上．
∴新正方形的面积为： ，
∴新正方形的边长为： ，
如图：正方形 的边长为： ，
∴正方形 即为所求．
19.（1）解：设 种农产品每件的进价是 元， 种农产品每件的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 种农产品每件的进价是120元， 种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进 件 种农产品，则购进 件 种农产品，
根据题意得： ，
解得： ．
设购进的 、 两种农产品全部售出后获得的总利润为 元，则
，即 ，
第14页/共23页，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最大值，此时 ．
答：当购进20件 种农产品、20件 种农产品时，获利最多．
20. 解：（1）如图，连接 ．
线段 与 相切于点 ，
．
，
．
，
，
．
（2）如图所示， 即为 的平分线（方法不唯一）．
（3） 是等边三角形．
证明：如图，
第15页/共23页由（1）知 ，
，
．
又 平分 ，且 ，
，
，
是等边三角形．
21. （1） ① 解： ，
， ，
而 ， ， ，
设 ，则 ， ，
则可得 ，
则 ，
即 ．
② 解：点 在反比例函数图像上，设点 ，
，
第16页/共23页，
为
轴，点D在 上，且横坐标 1，
，
点 也在反比例函数图像上，
，
解得 ．
（2） 解：用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）
22. （1）解：∵ ，D是 的中点，
∴ ．
∴ ．（依据：等边对等角）
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴G是 的中点，
第17页/共23页∴ 为 中位线．
∴ ， ．
∴ ．
故答案为：等边对等角， ；
（2）①证明：∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ；
②如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
第18页/共23页∴ ．
∴ ．
∴点 为 的中点．
在 中， ．
∵ 是 中点， ．
在
与 中，∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ；
（3）解：当 时，过D作 于H，
则 ，
∵ ， ，
第19页/共23页∴ ．
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当 时，过D作 于H，过M作 于G，
第20页/共23页则 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的面积是为 或 ．
故答案为： 或 ．
23. （1）解： 关于 轴对称，
第21页/共23页， ，
的坐标为 ，
把 代入是关于 的“ 函数”中，得： ，
故答案为 ， ， ；
（2）解：当 时，有 ，
此时存在关于 轴对称的点，
是“ 函数”，且有无数对“ ”点，
当 时，不存在关于 轴对称的点，
若存在，设其中一点 ，则对称点 ， ，
，与 矛盾，
不存在，
不是“ 函数”；
（3）解： 过原点，
，
是“ 函数”，
，
，
联立直线 和抛物线得：
即： ，
第22页/共23页， ，
又 ，
化简得： ，
，即 ，
，
当 时， ，
直线 必过定点 ．
第23页/共23页
