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2025年辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在 中， ，点 在边 上，连接 ，以点 为圆心，
小于线段 长为半径画弧分别交线段 ， 于 点， 点，连接 ，以点 为圆心，
线段 长为半径画弧交线段 于 点，以点 为圆心，线段 长为半径画弧，该弧交
以点 为圆心，线段 长为半径所画弧于 点， 点位于 上方，作射线 交 于
点 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．如图，四边形 为 的内接四边形，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．某企业正在研制 芯片 ）．用科学记数法表示 是
（ ）
A． B． C． D．
7．菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主
的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（ ）
A．平均数是30岁 B．众数是29岁 C．中位数是31岁 D．方差是4
8．如图，在菱形 中， ， 交于点 ，若 ，则
的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．某校九年级甲乙两班参加综合素质测试，甲乙两班平均分相同，甲乙两班方差如下：
，则成绩较为稳定的班级为（ ）
A．两班成绩一样稳定 B．甲班 C．乙班 D．无法确
定
试卷第2页，共3页10．古书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗
各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布
长共3丈（1丈 尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各
出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少文钱？若设绫布有 尺，根据题意可列方程
是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．分解因式：xy+x= ．
12．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉这4位著名数学家的生平简介，知晓他们取得
的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中
一位的成就进行分享，选到数学家刘徽的概率是 ．
13．如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是 ．
14．如图，函数 和函数 的图象相交于点 ，若 ，
则 的取值范围是 ．
15．如图，正方形 边长为3，点 是边 的中点，点 在边 上，且 ，
动点 从点 沿 运动到点 ，过点 作 于点 ，作 于点 ，连接 ，
则线段 长度的最小值为 ．
试卷第3页，共3页三、解答题
16．（1）计算： ；
（2）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助 打印设备制作了两款水杯（分别
记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度 与体积 之间的数量关
系进行了统计与分析：
1号水杯所盛水的水面高度 与体积 的关系如表：
0. 0.
1 3
2 6
水面高度 与体积 近似地满足一次函数关系．
2号水杯所盛水的水面高度 与体积 的关系可以近似地用二次函数 刻
画，其图象如图所示：
试卷第4页，共3页请解答下列问题：
(1)求1号水杯所盛水的水面高度 与体积 的函数关系式；
(2)求2号水杯所盛水的水面高度 与体积 的函数关系式．
18．人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创
新思维，提升科技素养，某校举行人工智能通讯竞赛，并对测试成绩（单位：分），进行
了统计分析：
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
（1）下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______．（只填写序号）
①分别从该校各年级的每个班中随机抽取 学生的竞赛成绩
②随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩
③随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩
④随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．（满分100分，
所有竞赛成绩均大于60分）．如表：
组别 A B C D
成绩 分）
人数（人） 57 45 27
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
生竞赛成绩的条形统计图 学生竞赛成绩的扇形统计图
试卷第5页，共3页【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（2）补全条形统计图（写出计算过程）；
（3）若竞赛成绩超过80分为优秀，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中成绩为优秀的
人数．
19．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树
活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 ，营养成分如图所
示．
(1)若要从这两种食品中恰好摄入 热量和 蛋白质，应选用A，B两种食品各多少
包？
(2)若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 ，最多能
选用几包A种食品？
20．为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测
量．如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．医疗小
组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出
新生物到皮肤的距离．方案如下：
课
检测新生物到皮肤的距离
题
试卷第6页，共3页工
医疗仪器等
具
示
意
图
如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新生物，
说
检测射线与皮肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离 处 的 处照射
明
新生物，检测射线与皮肤 的夹角为
测
量
，
数
据
请你根据方案中的测量数据，计算新生物 处到皮肤的距离．（结果精确到 ．参考数
据： ）
21．如图， 内接于 是 的直径， 是弧 的中点，过点 作 的切
线分别交 ， 的延长线于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
22．【问题初探】
如图1，在矩形 中， 是对角线， 平分 ，交边 于点
，作 ，垂足为点 ，交边 于点 ，交对角线 于点 ．
（1）①判断 的形状并说明理由；
②求 的长；
试卷第7页，共3页【问题再探】
（2）如图2，将 沿着点 到点 的方向平移，点 ，点 ，点 的对应点分别为点
，点 ，点 ，当点 落在边 上时，求 的长；
【问题拓展】
（3）如图3，在问题（2）中，当点 落在边 上时，将 绕着点 旋转一周，点
，点 的对应点为点 ，点 ，当 与对角线 垂直时，连接 ，求
的面积．（如果只有一种情况，请写出完整过程．如果不只是一种情况，请任选一
种情况写出完整过程，其他情况直接写出结果．）
23．新定义：如果实数 ， 满足 时，则称点 为“初始点”，称点
为“生成点”．例如：点 是“初始点”，对应的“生成点”为点
．
(1)点 是“初始点”，且点 在一次函数 的图象上，求 ， 的值；
(2)点 是“初始点”，点 对应的“生成点” 在反比例函数 的图象上，
若点 的横坐标为 ，求 值；
(3)点 是“初始点”，点 对应的“生成点”是点 ，二次函数
试卷第8页，共3页为常数）的顶点 的轨迹记作 ，若 ，一次函数
为常数）的图像与 相交且有两个交点，求 的取值范围．
试卷第9页，共3页《2025 年辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试卷》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B B A D C A C D
11. x（y+1） 12. 13. 10 14. 或 15. 3
选择题、填空题解法提示
10．D
若设绫布有 尺，则罗布有 尺，
，则 ，
故选：D．
15．3
如图所示，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
当 时， 最短，即 最短．
连接 ，
由题意得 ，
根据勾股定理，得 ，
∴
答案第1页，共2页，
解得 ．
所以 长度的最小值是3．
故答案为：3．
解答题参考答案
16．解：（1）
（2）解不等式组
解不等式 ：
解得： ，
解不等式 ：
解得： ，
∴不等式组的解集为 ，
在数轴上表示解集如图所示：
17．（1）解：设1号水杯所盛水的水面高度 与体积 的函数关系式为 ，
答案第2页，共2页则 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：把 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴ ．
18．解：（1）正确的抽样方法应该是能够代表整个学校的情况，避免偏差．
①分别从各年级的每个班随机抽取 学生，样本具有代表性；
②只抽一个班，可能这个班的成绩不能代表全校；
③则分层抽样，每个年级每个班都抽，这样样本更具代表性；
④一个年级同理只抽女生，明显存在性别偏差．
所以最合适的方法是：①分别从各年级的每个班随机抽取 学生，样本具有代表性；
故答案为：①；
（2）B组人数为57，占总体的百分比为 ，
总样本数为 人，
因此，A组人数=总样本数 组人数 ，补全条形统计图．
答案第3页，共2页（3）全校优秀人数估计为 人．
答：估计该参加竞赛的3000名学生中成绩为优秀的人数大约是 人．
19．（1）解：设选用A种食品 包，B种食品 包，
由题意得， ，
解得： ，
答：应选用A种食品5包，B种食品4包．
（2）解：设选用 包A种食品，
由题意得， ，
解得： ，
是整数，
的最大值为2，
答：最多能选用2包A种食品．
20．解：如图2，作 于点 ，则 ，
由题意得， ， ，
在 中， ，
答案第4页，共2页，
在 中， ，
，
，
，
，
解得： ，
答：新生物 处到皮肤的距离为 ．
21．（1）证明：如图，连接 ．
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
答案第5页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵
∴
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．解：（1）① 为等腰三角形，理由如下：
∵ ， 平分 ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
答案第6页，共2页∴ ，
∴ 为等腰三角形；
②由①知 ，
∴ ，
∵矩形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 沿着点 到点 的方向平移，点 ，点 ，点 的对应点分别为点 ，点 ，
点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
答案第7页，共2页过点 作 ，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵矩形 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）当 在点 右侧时，且 与对角线 垂直，过点 交 于点M，如
图所示：
∵将 绕着点 旋转一周，点 ，点 的对应点为点 ，点 ，
答案第8页，共2页∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由（2）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ；
当 在点 左侧时，且 与对角线 垂直，过点 交 于点M，如图所
示：
答案第9页，共2页同理得： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
综上可得 的面积为 或 ．
23．（1）解：∵点 是“初始点”，且点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵点 是“初始点”， 点 的横坐标为4，
∴点 的纵坐标为 ，
∴
∴点 对应的“生成点” 即
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
（3）解：∵点 是“初始点”，
∴ 即 ，
∴点 ，
∴点 对应的“生成点”是点 即 ，
∴ ，
答案第10页，共2页∴二次函数 为常数）化为
，
∴ 为常数）的顶点 ，
∴顶点 的轨迹 为： ，
∵ ，
∴ ，
中，当 时， ，
把 代入一次函数 为常数）得
解得
当 与 只有相切时，
∴ ，
∴ ，
解得
如图，
答案第11页，共2页由图形可得
答案第12页，共2页
