文档内容
2024-2025 学年第二学期第一次模拟考试九年级数学
注意事项：
1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分，考试
时间120分钟．
2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准
考证号．
3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4.作图时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑．
5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算 的结果是（ ）
A. B. 12 C. D. 2
2. 2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色
转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图
形的是（ ）
A B. C. D.
.
3. 如图，直线 和 被 所截，若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
的
4. 下列运算结果正确 是（ ）
A. B.
第1页/共21页C. D.
的
5. 如图，在菱形 中， ， ，过点 作 交 延长线于点 ，则线段
的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 一次函数 的函数值y随x的增大而增大，当x=2时，y的值可以是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
7. 如图，点 、 、 、 在☉ 上， ， ，则点 到 的距离是( )
A. B. C. 3 D. 4
8. 抛物线 （x为自变量）经过点 ， ，且该抛物线与x轴
有交点，则线段 长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 7
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
第2页/共21页9. 在实数： ，0， ，1.010010001，4.21， ， 中，无理数有__________个．
10. 如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，展开后，再将纸片折叠，使
边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则 的大小为__________度．
11. 在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规
则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以
及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数
学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为___________．
12. 如图，矩形 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 上，且 ， 反比
例函数 的图象经过点D及矩形 的对称中心M，连接 ， ， ．若
的面积为2，则k的值为____________．
第3页/共21页13. 如图，在四边形 中， ， ，以 为腰作等腰 ，顶点 恰好落
在 边上，若 ，则 的长是____________．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：
15. 解不等式组： ．
16. 计算： ．
17. 如图， 的斜边 在直线l上，将 绕点 顺时针旋转一个角 ，使点
的对应点 落在直线l上．请作出点 的对应点 ．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，F、C是 上两点，且 ，点E、F、C在同一直线上， ， ，
第4页/共21页求证： ．
19. 一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号 ，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的
小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
20. 一家商店将某种服装按进价提高 后标价，又以9折优惠卖出，结果每件仍获利18元，这种服装每
件的进价是多少？
21. 如图，堤坝 长为 ，坡度i为 ，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶
D处立有高 的铁塔 ．小明欲测量山高 ，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线 上，又在坝
顶 B 处测得塔底 D 的仰角 α 为 ，求山高 的长．（ ， ，
，小明身高忽略不计）
22. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻
度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒
中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y（单位：毫升） 7.5 12 16.5 21 25.5 …
第5页/共21页（1）根据上表中的数据，请判断 和 （k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t
的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）请你估算小明在第20分钟测量时量简的总水量是多少毫升？
23. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某
学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整
理、描述和分析（成绩得分用 x 表示，80 分及以上为优秀，共分成四组，A： ；B：
；C： ；D： ），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取 的学生竞赛成绩统计表
年 平均 中位 众 优秀
级 数 数 数 率
八 87 b 98 60%
九 a 86 c 80%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ________， ___________， ____________．
（2）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八，九年级参加此次竞赛活动成绩达到
90分及以上的学生人数．
24. 如图， 与 相切于点A，半径 ， 与 相交于点D，连接 ．
第6页/共21页（1）求证： ；
（2）若 的半径为6， ，求 的长．
25. 在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 ：
的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线 与 是
“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线 经过点 ，求抛物线L 对应的函数关系式；
2
（2）连接 ．设点Q是抛物线 上且位于其对称轴右侧的一个动点，若 与 相似，求其
“共根抛物线” 的顶点Р的坐标．
26. 问题提出
第7页/共21页（1）如图①，在 中，点M，N分别是 ， 的中点，若 ，则 的长为 ．
问题探究
（2）如图②，在正方形 中， ，点E为 上的靠近点A的三等分点，点F为 上的动
点，将 折叠，点A的对应点G，求 的最小值．
问题解决
（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心 ，已知 ， ，
， ，点C处为参观入口， 的中点P处规划为“优秀”作品展台，
求点C与点P之间的最小距离．
第8页/共21页2024-2025 学年第二学期第一次模拟考试九年级数学
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A D C D A D
9.2 10.45 11. 9 12. 13.
选择题、填空题解法提示
8. D
∵抛物线 （x为自变量）经过点 ， ，
∴对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵该抛物线与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
第9页/共21页∴ ，即 ，
又
∴ ，
∴ ．
故选：D．
13.
过点 作 ，交 于 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
第10页/共21页∴ ，即： ，解得： .
解答题参考答案
14.解：
．
15.解：解 得： ，
解 得： ，
∴不等式组的解集为 ．
16.解：
17.解：如图，
第11页/共21页以点 为圆心，以任意长为半径画弧，交 于点 ；
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧，交于点 ；
连接 并延长；
以点 为圆心，以 为半径画弧，交直线 于点 ；
以点 为圆心，以 为半径画弧，交 延长线于点 ，连接 ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴点 即为所求．
18.证明： ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
第12页/共21页19.解：（1）
（2）如图，画树状图如下：
所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为： ．
20.设这种服装每件的进价是x元，则： ，
解得： ，
答：这种服装每件的进价是225元．
是
21.解：过B作 于H，过B作 于F，则四边形 矩形，
∵坡度i为 ，
∴设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，
∵ ；
第13页/共21页∴ ，
∴ ，
∵坡度i为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
答：山高 为27米．
22.解：（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少4.5毫升的水，故可得 能正确反映总水量
y与时间t的函数关系，
把 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
∴y关于t的表达式 ；
（2）当 时， ，
故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是93毫升．
23.解：（1）87，84，100
（2）根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为： （人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为240人．
第14页/共21页24.（1）证明：连接 ，如图所示：
∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，设 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第15页/共21页∵ 的半径为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点F，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ 为等腰直角三角形，
故 ．
25.解：（1）在抛物线 ： 中，
令 ，则 ，
解得 ， ，即 ， ，
根据题意，设抛物线L 的函数关系式为 ，
2
将点 代入得 ，
第16页/共21页解得 ，
∴抛物线 的函数关系式为 ；
（2）由题意得， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵抛物线 ： ，
∴顶点 ，
由题意可知 不可能为直角，
①当 时，如图， 或 ，则 ，
设Q ，
∴ ， ，
∴ ，解得 （舍去）， ，
∴当 时， ，
∴ ，
第17页/共21页②当 时，如图， 或 ，过点Q作 ，垂足为点M，则
，
由①可知 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述：点P 的坐标为 或 ．
26.解：（1）
∵点M，N分别是 ， 的中点，
∴ ；
（2）∵在正方形 中， ，点E为 上的靠近点A的三等分点，
∴ ， ，
由折叠得：
∴点G在以点E为圆心， 长为半径的 上运动，如图，
第18页/共21页∴ ，
∴当点C，E，G三点共线， 取得最小值．
∵在 中， ，
∴
∴ 的最小值为 ；
（3）如图，延长 至点F，使得 ，连接 ，
∵点P为 的中点， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
由 ，可得点E在以点A为圆心，以 的长为半径的圆上，连接 ，
设 与 的交点为点 ，则 的最小值为 的长，
第19页/共21页过点F作 ，交 的延长线于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
过点F作 交 延长线于点H，
∵
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 的最小值为 ，
第20页/共21页∴此时
∴点C与点P之间的最小距离为 ．
第21页/共21页
