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2025年北京市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2分）如图，把一块含 角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果 ，那么
为
A． B． C． D．
3．（2分）实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A． B． C． D．
4．（2分）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
A． B． 且
C． D． 且
5．（2分）不透明袋子中装有红、绿小球各1个，除颜色外无其他差别．随机摸出1个小球后，放回并
摇匀，再随机摸出1个．两次都摸到相同颜色的小球概率为
第1页（共22页）A． B． C． D．
6．（2分）2024年元旦假期国内旅游出游达135000000人次，用科学记数法表示为
A． B． C． D．
7．（2分）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法．
（1）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ，
于点 ， ；
（2）作射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交
于点 ；以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ；
（3）过点 作射线 ，则 ．
上述方法通过判定△ △ 得到 ，其中判定△ △ 的依据是
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．（2分）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，延长 至 使 ，连接 ，
下列结论① ；② ；③四边形 为菱形；④ 中，正确的结
论个数有
第2页（共22页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式： ．
11．（2分）分式方程 的解为 ．
12．（2分）反比例函数的图象经过点 、 及 ，则 ．
13．（2分）2011年国际数学协会正式宣布：将每年的3月14日设为“国际数学节”．某学校在3月14
日举办了校园数学节活动，学生可通过参加多项数学活动获得积分（百分制），次日兑换奖品．为了更
好地准备奖品，学生会干部从全校300名学生中随机抽取60名学生的积分，得到数据的频数分布直方图
如图 （数据分成6组： ， ， ， ， ， ．根据
以上数据，估计该校300名学生中积分不低于70分的学生人数约为 ．
14．（2分）如图所示，点 、 、 是 上不同的三点，点 在△ 的内部，连接 、 ，并
延长线段 交线段 于点 ．若 ， ，则 度．
15．（2分）如图，边长为8的正方形 中，点 在 上，且 ，连接 并延长至点 ，连
第3页（共22页）接 ，若 ，则 的长度是 ．
16．（2分）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如表：
车床代号
修复时间（分钟） 8 31 11 6 17
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①
；② ；③ 中，经济损失最少的是
（填序号）；
（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，
第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算： ．
18．（5分）解不等式组： ．
19．（5分）化简求值： ，其中 ．
20．（6 分）在 △ 中， ， ， 分别是边 ， 的中点，延长 到点 ，使
，连结 ， ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）连结 ，交 于点 ，若 ，求 的长．
第4页（共22页）21．（6分）为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织学生去红
色革命圣地 延安开展研学旅行，若单独租用30座客车若干辆，则恰好坐满：若单独租用40座客车，则
可少租一辆．且余20个座位，求参加此次研学旅行的总人数．
22．（5 分）在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，直线 过点
．
（1）求直线 的解析式；
（2）用含 的代数式表示 ；
（3）当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，求 的取值范围．
23．（5分）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的
甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲、乙两位同学得分的折线图： ．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
．甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数：
同学 甲 乙 丙
平均数 8.6 8.6
中位数 9 9
根据以上信息；回答下列问题：
（1）表中 的值为 ， 的值为 ．
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的 10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价
越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”或“乙” ．
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分
越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是 （填
第5页（共22页）“甲”、“乙”或“丙” ．
24．（6分）在 中， 是 的直径，弦 垂直于 ，垂足为点 ，过点 作 的切线交
的延长线于点 ．
（Ⅰ）如图①，若 ，求 ；
（Ⅱ）如图②，若 ， ， 是 的中点，连接 ，求 的长．
25．（5分）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数 的图象向左平移2个单位，再向下
平移4个单位，所的图象的函数表达式是 ．类似地，函数
的图象是由反比例函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，其对称中心坐标为
．
（1）①将 的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得
图象的函数表达式为 ；
②函数 的图象可由 得图象向 平移 个单位得到；
第6页（共22页）③ 的图象可由哪几个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
（2）如图，在平面直角坐标系 中，请根据给的 的图象画出函数 的图象，并根据
该图象指出，当 在什么范围内变化时， ．
（3）实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，
新知识学习后经过的时间为 ，发现该生的记忆存留量随 变化的函数关系式为 ；若在
时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且
复习后的记忆存留量随 变化的函数关系式为 ．如果记忆存留量为 时是复习的“最佳时机
点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当 为何值时，是他第二次复习的“最佳时机
点”？请直接写出答案．
26．（6分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）当 时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知 ， 和 ， 是抛物线上的两点．若对于 ， ，都有 ，求 的取
值范围．
27．（7分）已知 和 都是等腰直角三角形， ，将 绕着点 旋转，
连接 ， ， 是 的中点．
（1）如图①，当 与 重合， 与 重合时，线段 ， 的数量关系是 ；
第7页（共22页）（2）当 的位置如图②和图③时，线段 ， 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图
②或图③其中一种情况进行证明．
28．（7分）对于线段 和点 给出如下定义：点 在线段 的垂直平分线上，若以点 为圆心，
为半径的优弧 上存在三个点 ， ， ，使得△ 是等边三角形，则称点 是线段 的
“关联点”．例如，图1中的点 是线段 的一个“关联点”．特别地，若这样的等边三角形有且只
有一个，则称点 是线段 的“强关联点”．
在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ．
（1）如图2，在点 ， ， ， 中，是线段 的“关联点”的是 ；
（2）点 在直线 上．存在点 ，是线段 的“关联点”，也是线段 的“强关联点”．
①直接写出点 的坐标；
②动点 在第四象限且 ，记 ．若存在点 ，使得点 是线段 的“关联点”，也是
第8页（共22页）的“关联点”，直接写出 及线段 的取值范围．
第9页（共22页）2025年北京市中考数学模拟试卷（3月份）
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B D A A A C
9. 10. 11. 12.2 13.200名 14.80 15.11.2
16.（1）②；（2）1040
选择题、填空题解法提示
8．解： 四边形 是菱形， ， ， ，又 ， ，
四边形 是平行四边形，当 时，四边形 为菱形，故③不正确， ，
，故①正确； 四边形 是平行四边形，四边形 是菱形， ， ，
，即 ，故②正确； 四边形 是平行四边形， ，
四边形 是菱形， ， ，故④正确；正确的结
论个数有3个，故选： ．
15 ． 解 ： 四 边 形 是 正 方 形 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，故答案为：11.2．
16．（1）要使经济损失最少，就要使总停产的时间最短即可，显然先修复时间短，让机器尽快恢复运转，
所以按照6、8、11、17、31分钟顺序修复，即按照 的顺序，故选：②；
（2）一名修理工修理6分钟、11分钟和17分钟共需34分钟，另一名修理工修理8分钟和31分钟共需39
第10页（共22页）分钟，五台机器总停产时间为： （分钟）， （元 ．
故答案为：1040．
解答题参考答案
17．解：
．
18．解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
所以原不等式组的解集为 ．
19．解：
，
当 时，原式 ．
20．（1）证明： ， 分别为 ， 的中点， ， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ， ，
， ，
， ，在 △ 中， ，
第11页（共22页）在平行四边形 中， ， ，
在 △ 中， ，
．
21．解：设租用30座客车 辆，则： ，解得： ，
（人 ，
答：参加此次研学旅行的总人数为180人．
22．解：（1） 直线 过点 ， ， ，
直线 的解析式为 ；
（2） 直线 过点 ， ， ；
（3）由题意可知，当 时， ，即 解得 ．
的取值范围为： ．
23．解：（1）根据算术平均数和中位数的定义列式计算可得：
；
乙组10个数据按照由小到大排列后中间两个数为9，9， ，
（2）甲同学的方差： ，
乙同学的方差： ，
， 评委对甲同学演唱的评价更一致．
（3）甲得分为 ；
第12页（共22页）乙得分为 ；
丙得分为 ，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙，
24．解：（Ⅰ）如图①连接 ， ，
， 是 的直径， ，
， ，
，
是 的切线， ，
；
（Ⅱ）如图②，过 作 于 ，
， ， ， ， ，
第13页（共22页）， ， ， ，
是 的中点， ， ， ，
， ，
．
25．解：（1）①由题意可得：将 的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，
再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ；
② ，
函数 的图象可由 得图象向上平移1个单位得到；
③ ，
它的图象可由反比例函数 的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到；
（2） 是把 先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；
其对称中心是 ．图象如图所示：
第14页（共22页）由 ，得 ，解得 ，经检验符合题意．
结合图象可得，当 时， ．
（3）当 时，是他第二次复习的“最佳时机点”；理由如下：
当 时， ，
则由 ，解得： ，经检验符合题意，
即当 时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
点 在函数 的图象上，则 ，
解得： ，经检验符合题意；
，当 ，解得： ，经检验符合题意；
即当 时，是他第二次复习的“最佳时机点”．
26．解：（1）将 代入得 ， 顶点坐标为 ；
（2）方法一：由题得， ， ，
， ，
①当 时， ，
第15页（共22页）或 ，解得 或 ，
， 或 ，
或 ，
， ；
②当 时， ，
或 ，解得 ，
， ，解得 ，
综上， 或 ．
方法二：①当 时，
， 和 ， 都在对称轴右侧，
此时 随 增大而增大，
， ，
， ；
②当 时，
第16页（共22页）， 在对称轴左侧， ， 在对称轴右侧，
点 关于对称轴的对称点 在对称轴右侧，
在对称轴右侧， 随 增大而减小，
， ， ，
综上， 或 ．
27．解：（1） ；
理由： 和 都是等腰直角三角形， ，
， ， ，
，即 ，
在 与 中， ， ，
，
是 的中点， ， ；
故答案为： ；
（2） ；
理由：如图②，证明：如图2中，延长 到 使得 ．
， ， ，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
第17页（共22页）， ，
；
如图③，证明：如图③中，延长 到 使得 ．
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
28．解：（1） ，
的垂直平分线为 ， ，
不是“关联点”，
， ， ，
， ， ，
第18页（共22页），
， 是线段 的“关联点”，
故答案为： ， ；
（2）①由（1）知， 在直线 上，
是线段 的“强关联点”，
，
在直线 上，
，
，
或 （舍去，由（1）知，不符合题意），
在直线 上，
，
，
设 ，
，
解得： 或0（舍去，与 重合），
；
② 动点 在第四象限且 ，
在以 为圆心，半径为2的圆上，如图：
第19页（共22页）以 为圆心，以2为半径作 ，交 轴于 ，连接 ，连接 并延长交 于 ，取 中点 ，
作 交 于点 ，过 作 ，交 于 ， ，
由①知， ， ，
△ 为等边三角形，
，
，
，
，
也在 的垂直平分线上，
为 的垂直平分线，
，
，
，
，
当点 在 上时，即 ，
，
点 是线段 的“关联点”，
第20页（共22页）， ， ，
，
当点 和点 重合时，即 ，
，
此时 ，
点不存在；
当点 在 上时，即 ，
，
，
，
，
，
当 在 上时，即 ，
，
，
，
，
第21页（共22页），
，
综上所述， 或 或 ， ．
第22页（共22页）
