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2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分） 的倒数是
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全
面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是
轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4．（3分）2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，
中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一根空心方管，它的俯视图是
第1页（共20页）A． B． C． D．
6．（3分）对于抛物线 ，下列说法正确的是
A．开口向上，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向下，顶点坐标
7．（3分）下列图形是用棋子按照一定规律摆成的，第①个图中有2枚棋子，第②个图中有6枚棋子，
第③个图中有12枚棋子， ，按照这种摆法，第8个图形中共有棋子
A．42 B．56 C．64 D．72
8．（3分）如图，在△ 中， ，若 ， ，则
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在菱形 中，按以下步骤作图：
①分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ， ；
②作直线 ，且 恰好经过点 ，与 交于点 ．
则 的度数为
第2页（共20页）A． B． C． D．
10．（3分）如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 方向运动至点 处停
止．设点 运动的路程为 ，图中阴影部分 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图2所示，则
矩形 的面积为
A．16 B．20 C．36 D．45
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）把多项式 分解因式的结果是 ．
13．（3分）不等式组： 的解集为 ．
14．（3分）已知：如图， 是 的直径，弦 交 于 点， ， ， ，则
的长为 ．
第3页（共20页）15．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．
指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形
的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是 ．
16．（3分）如图是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流 （A）是电阻 的反比例函数，当
时， ，若电阻 增大 ，则电流 为 ．
17．（3分） 的圆心角所对的弧长是 ，则此弧所在圆的半径是 ．
18．（3分）对于实数 、 ，定义一种新运算“△”为： △ ，这里等式右边是实数运算例如：
1△ ．则方程 △ 的解是 ．
19．（3分） 中， ， ， 是直线 上一点，且 ，直线 与直线
关于直线 对称，过 作 ，交直线 于 ，交直线 于 ， ，则线段
长为 ．
20．（3分）如图，四边形 为边长为4的正方形，点 为 的中点，连接 并延长至点 ，连
接 ，连接 并延长交 延长线于点 ，若 时，则 的长为 ．
第4页（共20页）三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值： ，其中 ．
22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出面积为4的等腰 ，且点 在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形 ，且点 和点 均在小正方形的顶点上， ，连接 ，
请直接写出 的面积．
23．（8分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、
绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一
门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有多少人？
（2）计算并将条形统计图补充完整；
（3）该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？
24．（8分）△ 为等边三角形，点 、 分别在边 、 上， ， 、 交于点 ．
第5页（共20页）（1）如图1，以 为一边作等边△ ，连接 ，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，设 与边 交于点 ，若 ， ，在不
添加任何辅助线的前提下，请直接写出图2中面积等于 的三个三角形．
25．（10分）某商场购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品 1件、乙种纪念品2件，需
170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元，
（1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用 45元，
且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
26．（10分）△ 内接于 ， 是直径， 平分 交 于点 ，连接 交 于 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 于 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 是 的中点， 的延长线交 于 ，若 ，求
的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交 轴于 、 两点，交
轴于点 ，点 是抛物线的顶点，连接 和 ．
第6页（共20页）（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点 在第一象限对称轴右侧的抛物线上，过点 作 的垂线，垂足为 ，设 的长为 ，
点 的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下， 的延长线交 于 ，过点 作 轴的平行线与 的延长线交于
点 ，连接 ，当 时，求 的长．
第7页（共20页）2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷（一）
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B C D D D C B
11.x≠﹣5 12. 13.空集 14. 15. 16. 17.6
18. 19.3或5 20.1
填空题解法提示
19．解：如图所示（1）
在 中， ， ，
直线 和直线 关于直线 对称，
，
，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
解得： （舍去）， ．
第8页（共20页）如图2，同理可得： ．
故答案为：3或5．
20．解： 四边形 为正方形，
， ， ，
为 中点，
，
在 △ 中， ，
如图，过 作 于点 ，则 ，
在 △ 中， ，
设 ， ，
，
，
，
在 △ 中， ，
即 ，
第9页（共20页）经过检验解得 ，
， ，
在 △ 中， ，
，
（两直线平行，同位角相等），
，
在 △ 中， ，
，
故答案为：1．
解答题参考答案
21．解：
，
，
，
，
原式 ．
22．解：（1）如图， 即为所求．
（2）如图，平行四边形 如图所示．
第10页（共20页）．
23．解：（1） （人 ，
答：本次调查的学生共有50人；
（2） （人 ，
答：选修绘画课程的学生人数为10人；
补全条形统计图如下；
（3）总人数乘以样本中选修乐器课程人数所占百分比可得：
（人 ，
答：估计该校约有600人选修乐器课程．
24．（1）证明： △ ，△ 都是等边三角形，
， ， ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
第11页（共20页），
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 平行四边形 ，
，
，
，
， ，
，
△ △ ， ，
，
， ，
， ，
，
△ ，△ 都是等边三角形，
， ， ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
同理可得 ，
第12页（共20页）平行四边形 ，
， ， ，
设△ 边 上的高为 ，
，
△ 边 上的高也为 ，
，
图2中面积等于 的三个三角形为：△ ，△ ，△ ．
25．解：（1）设甲种纪念品每件需要 元，乙种纪念品每件需要 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
（2）设购进甲种纪念品 件，花了 元，则购进乙种纪念品 件，
乙种纪念品花了 元，
根据题意得：
，
解得： ，
为整数，
最大为30，
当 时，乙种纪念品的件数为： ，是整数，
最大为30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
第13页（共20页）26．（1）证明： 为直径，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
，
，
， ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
；
（3）解：连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
第14页（共20页）， ，
设 ，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
，
， ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
，
点 为 中点，
，
，
，
在 △ 中， ．
，
由勾股定理得： ，
，
， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
在 △ 中， ，
由勾股定理得： ，
第15页（共20页）， ，
在 △ 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 △ 中， ，
，
．
27．解：（1） 顶点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ．
把 代入 ，得： ．
，
，
第16页（共20页）．
抛物线的解析式为 ；
（2）抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，
当 时，得： ，
解得： ， ；
当 时，得： ，
， ， ，
，
在 △ 中， ，
由勾股定理得： ， ．
点 在抛物线上，
．
过 作 于点 ， 交 于点 ．如图2，则 ，
， ， ，
，
，
，
第17页（共20页），
，
在 △ 中， ，
，
，
（3）设直线 的解析式为 ，将点 ，点 的坐标分别代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
轴，
，
点 在直线 上，
，
，
．
延长 交 轴于点 ，如图3，
第18页（共20页）．
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
．
，
，
，
过 作 于点 ，
，
，
，
，
， （不合题意，舍去），
，
过点 作 于点 ，
则 ， ，
第19页（共20页）在 △ 中， ，
由勾股定理得： ．
第20页（共20页）
