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八上第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
11.1.1 平方根/算术平方根
1. 平方根的定义：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
注意：一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数。
2. 算术平方根的定义：
3. 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根。
4. 使用计算器求数的算术平方根。
11.1.2 立方根
1. 立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。注意：任何数的立方根如果存在的话，必定只有一个.正数的立方根是正数，负数的
立方根是负数，0的立方根是0.
2. 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
3. 使用计算器求数的立方根。
11.2 实数
1. 无理数的定义：
2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
3. 数轴上的每一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都
可以用数轴上的一个点来表示。换句话说，实数与数轴上的点一一对应。
4. 从有理数扩充到实数以后，正数总可以开方。在实数范围内，任意一个正数有两
个平方根，它们互为相反数；0的平方根是 0；负数没有平方根。任意一个实数有
且仅有一个立方根。
5. 涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行。八上第12章 整式的乘除
12.1 幂的运算
12.1.1 同底数幂的运算
1. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
12.1.2 幂的乘方
1. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
12.1.3 积的乘方1. 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
12.1.4 同底数幂的除法
1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
12.2 整式的乘法
12.2.1 单项式与单项式相乘
1. 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个
单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。
12.2.2 单项式与多项式相乘
1. 单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
12.2.3 多项式与多项式相乘
1. 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加。12.3 乘法公式
12.3.1 两数和乘以这两数的差
1. 平方差和平方差公式
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。这个公式叫做两数和与这两数差的
乘法公式，有时也简称为平方差公式。
12.3.2 两数和（差）的平方
1. 两数和的平方公式
两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的 2倍。这个公式叫做两数和的
平方公式。
2. 两数差的平方公式
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们积的2倍。12.4 整式的除法
12.4.1 单项式除以单项式
1. 单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的
字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
12.4.2 多项式除以单项式
1. 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
12.5 因式分解
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也
叫做把这个多项式分解因式。
2. 公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。
3. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项都有公因式，可以把这个公因式提取出
来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提
公因式法。八上第13章 全等三角形
13.1 命题、定理与证明
13.1.1 命题
1. 命题：表示判断的语句叫做命题。
2. 真命题：如果条件成立，那么结论一定成立。像这样的命题，称为真命题。
3. 假命题：条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立。像这样的
命题，称为假命题。
4. 要判断一个命题是真命题，那么用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命
题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不
符合该命题结论的例子就可以了。在数学中，这种方法称为“举反例”。
13.1.2 定理与证明
1. 定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法
判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据。这样的真命题
叫做定理。
2. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题
是否正确，这样的推理过程叫做证明。
3. 演绎推理是研究数学的一个重要方法。除了基本事实与已知的定理外，等式与不
等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据。
4. 证明必须做到”言必有据“，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以
是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等。13.2 三角形全等的判定
13.2.1 全等三角形
1. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。相互重合的顶点是对应
顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角。
2. 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
13.2.2 全等三角形的判定条件
1. 通过探索与发现，两个三角形只有一组或两组相等的元素（边或角），那么这个
三角形不一定全等。
13.2.3 边角边
1. 边角边基本事实：两边及其夹角分别相等的三角形全等。简记为 S.A.S（或边角
边）。
2. 边边角对应相等的两个三角形不一定全等。
13.2.4 角边角
1. 角边角基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简记为 A.S.A（或
角边角）。
2. 角角边定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简记
为A.A.S（或角角边）。
13.2.5 边边边
1. 边边边基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。简记为 S.S.AS（或边边
边）。13.2.6斜边直角边
1. 斜边直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简记为 H.L.
（或斜边直角边）。
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形的性质
1. 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
2. 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶腰，
腰和底边的夹角叫做底角。
3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等.（简写成”等边对等角“）。
4. 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（简称”三线合一“）。
5. 等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形。
6. 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60度。
13.3.2 等腰三角形的判定
1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成”等角对
等边“）。
2. 等边三角形的两个判定定理：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。13.4 尺规作图
1. 作一条线段等于已知线段。
2. 作一个角等于已知角。
3. 作已知角的平分线。
4. 经过一已知点作已知直线的垂线。
5. 作已知线段的垂直平分线。
13.5 逆命题与逆定理
13.5.1 互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题、逆命题的定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论
是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原
命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。
2. 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便
可得到原命题的逆命题。但是原命题正确，它的逆命题未必正确。例如真命题”对顶
角相等“的逆命题”相等的角是对顶角“，此命题就是假命题。
3. 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理。例如”相等的角是对顶角
“是假命题，但它的逆命题”对顶角相等“是真命题，且是定理。
13.5.2 线段垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
2. 线段垂直平分线的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
13.5.3 角平分线
1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2. 角平分线的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
八上第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
14.1.1直角三角形三边的关系
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
14.1.2 直角三角形的判定
1. 勾股定理的逆定理2. 勾股数：能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如：
3、4、5，6、8、10，n^2-1、2n、n^2+1等都是勾股数。
14.1.3 反证法
1. 反证法：
14.2 勾股定理的应用
1. 勾股定理在实际问题中的应用。八上第15章 数据的收集与表示
15.1 数据的收集
15.1.1 数据有用吗
15.1.2 数据的收集
1. 数据收集的过程
第一步：明确调查问题；
第二步：确定调查方法；
第三步：选择调查方法；
第四步：展开调查；
第五步：记录结果；
第六步：得出结论。
2. 频数和频率
频数：对象出现的次数；
频率：对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）。
频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。
15.2 数据的表示15.2.1 扇形统计图
1. 条形统计图、折线统计图和扇形统计图
15.2.2. 利用统计图表传递信息
1. 利用统计图表传递信息
统计表可以清楚地将数据分门别类地列出来，当数据之间的关系比较复杂时，可以
通过增加子栏目继续对数据进行分类统计。
条形统计图是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图，它可以直
观地反映出数据的数量特征。如果有两个研究对象，常常把这两个对象的相应数据
并列表示在同一幅条形统计图中。
扇形统计图是用整个圆代表所研究的总体，用圆中各个扇形代表组成总体的各个部
分，扇形圆心角的大小反映出各组成部分的数量在总数量中所占份额的大小。
折线统计图是用折线表示数量变化规律的统计图。如果关注的是某种现象随时间变
化而发生的变化，常常以时间为水平数量的数轴，以折线的起伏直观地反映出数量
随时间所发生的相应变化。
