第二章 二次函数
1 二次函数
1.下列函数中,y是x的二次函数的是 ( )
A.y=3x+1 B.xy=8
C.y= 8 D.y=x2-x-5
x2
2.二次函数y=3x2-2x的一次项系数是 ( )
A.3 B.-2 C.2 D.0
3.当物体自由下落时,下落的距离h与下落时间t之间的关系满足h=1gt2(g为常量),则h与t之间的
2
关系是 ( )
A.正比例函数 B.一次函数
C.二次函数 D.反比例函数
4.如图,若正方形的边长为6,边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数表达式为 ( )
A.y=(x+6)2 B.y=x2+36
C.y=x2+6x D.y=x2+12x
5.已知函数y=(m-3)x2-x+5是二次函数,则常数m的取值范围是 .6.一台机器原价100万元,若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元,则y与x的函数关系式为
.
2 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数y=x2,y=-x2的图象与性质
1.抛物线y=x2的开口方向是( )
A.向上 B.向下
C.向左 D.向右
2.对于二次函数y=-x2,下列说法不正确的是 ( )
A.有最大值 B.图象的对称轴为直线x=0
C.图象的顶点坐标为(0,0) D.y的值随x值的增大而增大
3.已知抛物线y=-x2经过A(-3,y ),B (1,y )两点,下列说法正确的是( )
1 2
A.y <0<y B.y <0<y
1 2 2 1
C.y <y <0 D.y <y <0
1 2 2 1
4.点A(-2,a)是抛物线y=x2上一点,则a= ,点A关于y轴的对称点C的坐标是 ,则点
C (填“在”或“不在”)抛物线y=x2上.
5.已知函数y=(m+3)xm2+6m+10是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?此时x在什么范围,y的值随x值的增大而减小?
课时2 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
1.抛物线y=x2+2的顶点坐标是 ( )
A.(0,2) B.(0,-2)C.(2,0) D.(-2,0)
2.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,所得抛物线的表达式是 ( )
A.y=x2+3 B.y=x2-3
C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2
3.抛物线y=-3x2一定经过 ( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
4.若二次函数y=ax2的图象经过点P(2,4),则该图象必经过点 ( )
A.(-2,-4) B.(-2,4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
5.抛物线y=3-x2位于y轴左侧的部分是 的.(填“上升”或“下降”)
6.请写出一个开口向下, 且经过点(0,-1)的抛物线的表达式: .
7.已知二次函数y=(k+2)x2+k+3.
(1)若图象有最高点,求k的取值范围;
(2)若图象与y轴交于正半轴,求k的取值范围.
课时3 二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与性质
1.抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标为 ( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(1,2) D.(2,1)
2.下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是 ( )
A.y=2x2-2 B.y=-2x2-2
C.y=2(x-2)2 D.y=(x+2)2
3.如果二次函数y=3(x-2)2-2m的图象经过原点,那么m的值为 .4.将抛物线y=-2x2先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的表达式是
.
1
5.已知点A(-3,y ),B(-2,y ),C( ,y )是抛物线y=(x+1)2-m上的三点,则y ,y ,y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3
2
. (用“>”连接)
6.已知二次函数y=(x-2)2+1.
(1)如表是y与x的部分对应值,请补充完整:
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 ① ② ③ 5 …
(2)根据表中的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出该函数的图象.
课时4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.将二次函数y=x2-2x+3配方成y=(x-h)2+k的形式为 ( )
A.y=(x-1)2+1 B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-2)2-3 D.y=(x-2)2-1
2.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)和点(-3,0),则该抛物线的对称轴为( )
A.y轴 B.直线x=-1
C.直线x=-2 D.直线x=2
3.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a>0,b<0,c>0,那么这个二次函数的图象可能是 ( )A B C D
4.二次函数y=-x2-2x的最大值是 .
5.若(m,1)是二次函数y=x2-2x-1图象上一点,则m2-2m的值为 .
6.已知二次函数y=x2+4x-2.
(1)求抛物线的开口方向、顶点及对称轴.
(2)写出抛物线与y轴的交点坐标.
3 确定二次函数的表达式
课时1 已知图象上两点求二次函数的表达式
1.对于二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4,则a,b的值是 ( )
A.a=3,b=-1 B.a=3,b=1
C.a=-3,b=1 D.a=-3,b=-1
2.已知抛物线的顶点坐标是(1,-3),与y轴的交点是(0,-2),则这个二次函数的表达式为
.
3.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4),求此二次函数的表达式,并
写出图象的顶点坐标.
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …y … -5 0 3 4 3 m -5 …
(1)m的值为 ;
(2)求这个二次函数的表达式.
课时2 已知图象上三点求二次函数的表达式
1.若抛物线经过(0,1),(-1,0),(1,0)三点,则此抛物线的表达式为 ( )
A.y=x2+1 B.y=x2-1
C.y=-x2+1 D.y=-x2-1
2.已知二次函数的图象经过点A(-1,1),B(1,3)和C(0,1),求这个二次函数的表达式,并指出这个二次函数
图象的对称轴.
3.已知二次函数的图象如图所示.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当-1<x<1时,直接写出y的取值范围.
4 二次函数的应用
课时1 利用二次函数解决面积最值问题1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x(0<x<1)的小正方形,如果设剩余部分的面积为y,那
么y关于x的函数表达式为 ( )
A.y= B.y=1-x2
x2
C.y=x2-1 D.y=1-2x
2.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为 时,三角形的面积最大.
3.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 m2.
4.如图,在Rt△ABC中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动,同
时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动,P,Q两点在分别到达B,C两点时停止运动,
则经过 s,△PBQ的面积取得最大值,最大值是 .
5.如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m.设矩形ABCD的面积为
S(m2).问AB的长为多少时S最大,并求最大面积.
课时2 利用二次函数解决利润最大问题
1.某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200件,若每件商品的售价
上涨1元,则每星期就会少卖10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每星期销售的利润为y
元,则y与x的函数表达式为( )
A.y=10(200-10x) B.y=200(10+x)C.y=10(200-10x)2 D.y=(10+x)(200-10x)
2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖
出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 元.
3.某商店销售一种进价为20元/个的帽子,经调查发现,该种帽子每天的销售量w(个)与销售单价
x(元)满足w=-2x+80(20≤x≤40),设销售这种帽子每天的利润为y(元),则y与x之间的函数关系式为
;当销售单价定为 元时,每天的利润最大.
4.某种产品的成本是每件10元,试销售阶段每件产品的售价x(元)与日销售量y(件)之间的关系如下
表所示,已知y是x的一次函数.
x/元 15 20 30 …
y/件 25 20 10 …
(1)求y与x的函数表达式;
(2)要使每日获得最大销售利润,每件产品的售价应定为多少?此时每日的销售利润是多少?
课时3 利用二次函数解决抛物线型问题
1
1.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-
50
(x-25)2+12,则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为 ( )
A.12 m B.25 m C.13 m D.14 m
1 25
2.如图,拱桥的形状是抛物线,其函数关系式为y=- x2,当水面离桥顶的高度OD= m时,水面AB的
3 3
宽度为 ( )
A.8 m B.9 m C.10 m D.11 m
3.某市新建一座景观桥.桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分,桥面AB可视为水平线段,桥面与拱肋
用垂直于桥面的杆状景观灯连接,拱肋的跨度AB为40米,桥拱的最大高度CD为16米(不考虑灯杆
和拱肋的粗细),则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为 米.4.如图1,一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷射出的水流在平
面直角坐标系中的示意图,其中喷灌架置于点O处,喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)设置
的是1米,当喷射出的水流距离喷水头的水平距离为8米时,达到最大高度5米.
(1)求水流形成的抛物线的表达式;
(2)若距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树,问:水流是否会碰到这棵果树?请通过计算说明.
5 二次函数与一元二次方程
课时1 二次函数与一元二次方程的关系
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-2,0),(5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个
解是 ( )
A.x =-2,x =5 B.x =2,x =-5
1 2 1 2
C.x =-2,x =-5 D.x =2,x =5
1 2 1 2
2.函数y=x2+2x-1的图象与x轴的交点个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个交点,则c的值为 .
4.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-3,6),B(1,3),则方程ax2-bx-c=0的解是
.
5.已知抛物线y=x2-ax+2(a-3).
(1)求证:不论a为何值,抛物线与x轴总有两个交点.
(2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),求另一个交点的坐标.课时2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1.根据以下表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,可以判断方程ax2+bx+c=0
的一个解x的取值范围是 ( )
x 0 0.5 1 1.5 2
y -1 -0.5 1 3.5 7
A.0<x<0.5 B.0.5<x<1 C.1<x<1.5 D.1.5<x<2
2.如图,点A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一
个近似值可能是 ( )
A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45
3.如图,直线y=x-1与抛物线y=x2-3x+2都经过点A(1,0)和B(3,2),则不等式x-1>x2-3x+2的解集是
.
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y与x的部分对应值如下表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 0 -3 -4 -3 …
(1)求该二次函数的表达式;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c>0的x的取值范围.
第二章 二次函数
1 二次函数1.D 2.B 3.C 4.D 5.m≠3 6.y=100(1-x)2
2 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数y=x2,y=-x2的图象与性质
1.A 2.D 3.C 4.4 (2,4) 在
5.解:(1)由题意,得{m2+6m+10=2,
m+3≠0,
解得m=-2或m=-4.
(2)当m=-2时,m+3=1>0,函数有最小值,不符合题意;当m=-4时,m+3=-1<0,函数有最大值,最大值是
0,
根据二次函数的性质,可知当x>0时,y的值随x值的增大而减小.
课时2 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
1.A 2.A 3.B 4.B 5.上升 6.(答案不唯一)y=-x2-1
7.解:(1)由题意,知抛物线开口向下,
故k+2<0,解得k<-2.
(2)由题意,得k+3>0且k+2≠0,
解得k>-3且k≠-2.
课时3 二次函数y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k的图象与性质
1.C 2.D 3.6 4.y=-2(x+1)2-3 5.y >y >y
1 3 2
6.解:(1)2 1 2
(2)二次函数的图象如图所示:
课时4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.B 2.B 3.D 4.1 5.2
6.解:(1)∵二次函数y=x2+4x-2=(x+2)2-6,
∴抛物线的开口向上,顶点坐标为(-2,-6),对称轴是直线x=-2.
(2)∵二次函数y=x2+4x-2,
∴当x=0时,y=-2,∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-2).
3 确定二次函数的表达式
课时1 已知图象上两点求二次函数的表达式
1.A 2.y=(x-1)2-3
3.解:∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4),
{ n=1, {m=-2,
∴ 解得
9+3m+n=4, n=1,
∴y=x2-2x+1.
∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴函数图象的顶点坐标为(1,0).
4.解:(1)0
-2+0
由表中x,y的对应值可知,当x=0与x=-2时,y的值相等,∴函数图象的对称轴是直线x= =-1.∵点
2
(-3,0)关于直线x=-1的对称点为(1,0),∴m=0.
(2)由表可知,二次函数图象的顶点坐标为(-1,4),
可设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4,
将(0,3)代入,得a+4=3,解得a=-1,
故二次函数的表达式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.
课时2 已知图象上三点求二次函数的表达式
1.C
2.解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
∵二次函数的图象经过点A(-1,1),B(1,3)和C(0,1),
{a-b+c=1, {a=1,
∴a+b+c=3,解得 b=1,
c=1, c=1,
∴这个二次函数的表达式是y=x2+x+1,
b 1
∵- =- ,
2a 2
1
∴这个二次函数图象的对称轴为直线x=- .
2
3.解:(1)由题图,知二次函数的图象经过点(-1,0),(2,0),(0,2),
可设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-2),
把(0,2)代入,得a(0+1)(0-2)=2,
解得a=-1,
∴这个二次函数的表达式为y=-(x+1)(x-2)(或y=-x2+x+2).9
(2)当-1<x<1时,y的取值范围为0<y≤ .
4
4 二次函数的应用
课时1 利用二次函数解决面积最值问题
1.B 2.4,4 3.49 4.3 9
30-x
5.解:设AB的长为x m,则AD的长为 m,
2
30-x 1 1 225
根据题意,得S=x· =- x2+15x=- (x-15)2+ ,
2 2 2 2
1
∵- <0,0<x<18,
2
225
∴当x=15时,S有最大值,最大值为 .
2
225
答:AB的长为15 m时S最大,最大面积为 m2.
2
课时2 利用二次函数解决利润最大问题
1.D 2.25 3.y=-2x2+120x-1 600 30
4.解:(1)设一次函数的表达式为y=kx+b,
{15k+b=25, {k=-1,
则 解得
20k+b=20, b=40,
∴y与x的函数表达式为y=-x+40.
(2)设每日获得销售利润w元,
根据题意,得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,
∵-1<0,
∴当x=25时,w最大,最大值为225.
答:要使每日获得最大销售利润,每件产品的售价应定为25元,此时每日的销售利润是225元.
课时3 利用二次函数解决抛物线型问题
1.A 2.C 3.15
4.解:(1)由题意,知抛物线的顶点坐标为(8,5),
可设水流形成的抛物线的表达式为y=a(x-8)2+5,
1
将(0,1)代入,得a(0-8)2+5=1,解得a=- ,
16
1
∴抛物线的表达式为y=- (x-8)2+5.
16
(2)不会.理由如下:
1
当x=12时,y=- (12-8)2+5=4>3.5,
16∴水流不会碰到这棵果树.
5 二次函数与一元二次方程
课时1 二次函数与一元二次方程的关系
1
1.A 2.C 3. 4.x =-3,x =1
1 2
4
5.解:(1)令x2-ax+2(a-3)=0,则Δ=a2-8(a-3)=a2-8a+24=(a-4)2+8>0,
所以不论a为何值,抛物线与x轴总有两个交点.
(2)把(3,0)代入抛物线的表达式,得9-3a+2(a-3)=0,
解得a=3,所以抛物线的表达式为y=x2-3x,
令x2-3x=0,得x =3,x =0,
1 2
所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(0,0).
课时2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1.B 2.D 3.1<x<3
4.解:(1)由题表可知抛物线的顶点坐标为(1,-4).
设抛物线的表达式为y=a(x-1)2-4,
∵抛物线过点(-1,0),
∴0=a(-1-1)2-4,∴a=1,
∴二次函数的表达式为y=(x-1)2-4(或y=x2-2x-3).
(2)x的取值范围是x>3或x<-1.
