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2013 年呼和浩特市中考试卷
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.-3的相反数是( )
1 1
A.3 B.-3 C. D.-
3 3
2.下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.x8÷x2=x4
C.3x-2x=1 D.(x2)3=x6
3.观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.下列说法正确的是( )
A.“打开电视机,正在播足球赛”是必然事件
B.甲组数据的方差 =0.24,乙组数据的方差 =0.03,则乙组数据比甲组数据稳定
s2 s2
甲 乙
C.一组数据2,4,5,5,3,6的众数和中位数都是5
1
D.“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
2
5.用激光测距仪测得两物体之间的距离为14 000 000米,将14 000 000用科学记数法表示为(
)
A.14×107 B.1.4×106 C.1.4×107 D.0.14×108
6.只用下列图形中的一种,能够进行平面镶嵌的是( )
A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形
7.从1到9这九个自然数中任取一个,是偶数的概率是( )
2 4 5 2
A. B. C. D.
9 9 9 3
8.在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可
能是( )1
9.已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足 +
α
1
=-1,则m的值是( )
β
A.3 B.1 C.3或-1 D.-3或1
10.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根火柴,第2
个图案需13根火柴,…,依此规律,第11个图案需要火柴的根数为( )
A.156 B.157 C.158 D.159
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.如图,AB∥CD,∠1=60°,FG平分∠EFD,则∠2= °.
12.大于√2且小于√5的整数是 .
13.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 °.
14.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划
生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产 台机器.
15.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E、F、G、H分别为边AD、AB、
BC、CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .
16.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点
C的坐标为 .
三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明)
17.(5分)(1)计算:(1) -1 -|-2+ tan 45°|+( -1.41)0;
√3 √2
3(5分)(2)化简:( 1)÷a2-2a+1.
a-
a a
18.(6分)如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC.
求证:DE=AB.
19.(6分)某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分.小明得分要超
过90分,他至少要答对多少道题?20.(6分)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行
驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10千米,∠A=30°,∠B=45°.则隧道开通后,
汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果保留根号)
1 1 k
21.(6分)如图,在平面直角坐标系中,直线y= x+ 与x轴交于点A,与双曲线y= 在第一象限
2 2 x
内交于点B,BC⊥x轴于点C,OC=2AO,求双曲线的解析式.
22.(8分)某区八年级有3 000名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动.为了了解本次知识竞赛
的成绩分布情况,从中抽取了200名学生的得分进行统计.
成绩x(分) 频数 频率
50≤x<60 10
60≤x<70 16 0.08
70≤x<80 0.20
80≤x<90 62
90≤x<100 72 0.36
请你根据不完整的表格,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图;
(2)若将得分转化为等级,规定50≤x<60评为“D”,60≤x<70评为“C”,70≤x<90评为
“B”,90≤x<100评为“A”.这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为
“D”?如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级,则这名学生的成绩等级为哪一个等级的可能
性大?请说明理由.23.(9分)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交
正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F.
FC
(1) 的值为 ;
EF
(2)求证:AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,
请说明理由.
24.(9分)如图,AD是△ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,
交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF∶FD=4∶3.
(1)求证:点F是AD的中点;
(2)求cos∠AED的值;
(3)如果BD=10,求半径CD的长.
25.(12分)如图,已知二次函数的图象经过点A(6,0)、B(-2,0)和点C(0,-8).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该二次函数图象的顶点为M,若点K为x轴上的动点,当△KCM的周长最小时,点K的坐
标为 ;(3)连结AC,有两动点P、Q同时从点O出发,其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线
OAC按O→A→C的路线运动,点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的
路线运动,当P、Q两点相遇时,它们都停止运动.设P、Q同时从点O出发t秒时,△OPQ的面
积为S.
①请问P、Q两点在运动过程中,是否存在PQ∥OC,若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说
明理由;
②请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
③设S 是②中函数S的最大值,直接写出S 的值.
0 0
答案全解全析：
1.A 根据相反数的定义知,-3的相反数为-(-3)=3.故选A.
2.D A项:x2和x3不是同类项不能合并,故本选项错误;
B项:x8÷x2=x8-2=x6,故本选项错误;
C项:3x-2x=x,故本选项错误;
D项:(x2)3=x6,故本选项正确.故选D.
3.C 第一个图形不是轴对称图形;第二个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;第三个
图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;第四个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
故选C.
评析 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义.如果一个图形沿着一条直线对折
后两部分完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形;在同一平面内,如果把一个图形绕某一
点旋转180°,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
4.B A项:打开电视机,不一定会播足球赛,该事件是随机事件,故本选项错误;B项: > ,
s2 s2
甲 乙
则乙组数据稳定,故本选项正确;C项:把这组数据从小到大排序为2,3,4,5,5,6,众数是5,4+5 1
中位数为 =4.5,故本选项错误;D项:“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示掷一枚硬
2 2
1
币正面向上的可能是 ,故本选项错误.故选B.
2
5.C 14 000 000=1.4×107,故选C.
6.C A项:正十边形的每个内角为180°-360°÷10=144°,不能整除360°,故不能进行镶
嵌,本选项错误;B项:正八边形的每个内角为180°-360°÷8=135°,不能整除360°,故不
能进行镶嵌,本选项错误;C项:正六边形的每个内角是120°,能整除360°,故能进行镶嵌,
本选项正确;D项:正五边形的每个内角是108°,不能整除360°,故不能进行镶嵌,本选项
错误.故选C.
4
7.B 1到9这九个自然数中,有4个是偶数,故P(抽到偶数)= .故选B.
9
8.D 在选项A中,二次函数中的-m<0,即m>0,而一次函数中的m<0,故排除A;y=-mx2+2x
+2=-m( 1) 2+ 1+2,根据 B、C、D 选项中二次函数图象开口向上,知-m>0,m<0,得 1
x-
m m m
<0,抛物线对称轴在y轴左侧.故选D.
1 1
9.A 由α、β是方程的两个不相等的实数根,得α+β=-(2m+3),α·β=m2,所以 + =
α β
α+β -(2m+3)
= =-1,解得 m=3,m=-1.因为原方程有两个不相等的实数根,所以 b2-
αβ m2 1 2
4ac=(2m+
3)2-4m2=12m+9>0,所以m=-1不符合题意,舍去.故选A.
10.B 观察题中图案不难发现,第1个图案共需7根火柴,7=1×(1+3)+3;第2个图案共需13
根火柴,13=2×(2+3)+3;第3个图案共需 21根火柴,21=3×(3+3)+3;…;第n个图案共需
n(n+3)+3根火柴,所以,第11个图案共需11×14+3=157根火柴.故选B.评析 本题考查了图形的变化规律,较难.探索规律性问题是近几年中考的一个“热门”题
型.解决这类问题的基本思路是:通过观察、分析若干特殊情形,归纳总结出一般性结论,然
后验证其结论的正确性.
11.答案 30
解析 ∵AB∥CD,∠1=60°,∴∠EFD=∠1=60°.
∵FG平分∠EFD,∴∠2=30°.
12.答案 2
解析 ∵√2<√4<√5,即√2<2<√5,∴大于√2且小于√5的整数为2.
13.答案 180
解析 设母线长为l,底面半径为r,则底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrl,因为侧面
360°r
积是底面积的2倍,所以πrl=2πr2,解得l=2r,设圆心角为n,则n= =180°.
l
14.答案 200
解析 设现在平均每天生产x台机器,则原计划平均每天生产(x-50)台.
600 450
依题意得 = ,解得x=200.经检验x=200是原方程的解.
x x-50
15.答案 12
1
解析 ∵点E、F分别是四边形ABCD中AD、AB边上的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF=
2
BD,且EF∥BD.
1
同理,HG= BD,且HG∥BD,∴EF=HG,且EF∥HG,
2
1
同理EH∥FG,EH=FG= AC.
2
∴四边形EFGH是平行四边形,∵AC⊥BD,∴EF⊥EH,
1 1
∴四边形EFGH的面积S=EF·EH= BD· AC.
2 2∵AC=8,BD=6,
∴四边形EFGH的面积为12.
16.答案 (0,12)或(0,-12)
解析 当点C在y轴的正半轴上时,如图,作△ABC的外接圆☉M.连结AM并延长交☉M于点
D,连结BD、CM,过点M作ME⊥OC于点E,MF⊥OB于点F.
根据圆周角定理得∠ADB=∠ACB=45°,所以△ADB 为等腰直角三角形.因为 A(4,0)、
B(-6,0),所以AB=BD=10,☉M的直径为10√2,所以CM=5√2.
1 1
易知MF为△ADB的中位线,所以MF=OE= BD=5,AF= AB=5,所以ME=OF=1.
2 2
在直角三角形 CME中,CE= = =7,所以OC=CE+OE=7+5=12,即点C
√CM2-M E2 √(5√2)2-12
的坐标为(0,12).当点C在y轴的负半轴上时,同理可得点C的坐标为(0,-12).
17.解析 (1)原式=3-|-2+√3|+1(2分)
=3-(2-√3)+1(3分)
=3-2+√3+1(4分)
=2+√3.(5分)
a2-1 a
(2)原式= × (3分)
a (a-1)2
a+1
= .(5分)
a-1
18.证明 ∵∠1=∠2,
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA,
即∠BCA=∠ECD,(2分)在△ECD与△BCA中,
{
EC=BC,
∠ECD=∠BCA,
CD=CA,
∴△ECD≌△BCA(SAS),(5分)
∴DE=AB.(6分)
19.解析 设小明答对x道题,(1分)
依题意得10x-5(20-x)>90,(3分)
2
解得x>12 ,(4分)
3
∵x取整数,
∴x最小为13.(5分)
答:他至少要答对13道题.(6分)
20.解析 过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ACD中,
∵∠A=30°,
1
∴CD= AC=5千米.
2
5
CD
∴AD= =√3=5√3(千米).(3分)
tan30°
3
∵∠B=45°,
∴BD=CD=5千米,BC=5√2 千米.(5分)
∴AC+BC-AB
=10+5√2-(5√3+5)=(5+5√2-5√3)千米.
答:汽车从A地到B地比原来少走(5+5√2-5√3)千米.(6分)
1 1
21.解析 ∵直线y= x+ 与x轴交于点A,
2 2
∴A(-1,0),
∴AO=1,(2分)
∵OC=2AO,
∴OC=2.(3分)
3
令x=2,得y= ,
2
∴B( 3),∴k=3,(5分)
2,
2
3
∴双曲线的解析式为y= .(6分)
x
22.解析 (1)如图.(2分)
10 1
(2)由题表知:评为D的频率是 = ,由此估计全区八年级参加竞赛的学生被评为“D”
200 20
1
的约有 ×3 000=150(人).(5分)
20
∵P(A)=0.36,P(B)=0.51,P(C)=0.08,P(D)=0.05,
∴P(B)>P(A)>P(C)>P(D).
∴随机抽查一名参赛学生的成绩等级,“B”的可能性大.(8分)√10
23.解析 (1) .(2分)
10
(2)证明:在BA边上截取BK=BE,连结KE.
∵∠B=90°,BK=BE,
∴∠BKE=45°,
∴∠AKE=135°.
易知∠DCP=45°.
∴∠ECP=135°.
∴∠AKE=∠ECP.
∵AB=BC,BK=BE,
∴AB-BK=BC-BE,即AK=EC.
易证∠KAE=∠CEP,
{∠KAE=∠CEP,
在△AKE和△ECP中, AK=EC,
∠AKE=∠ECP,
∴△AKE≌△ECP(ASA),
∴AE=EP.(5分)
(3)存在.(6分)
过点D作DM⊥AE与AB相交于点M,
则DM∥EP.连结ME,DP.
易证△ADM≌△BAE.
∴MD=AE.
∵AE=EP,
∴MD=EP,∴MD平行且等于EP,
∴四边形DMEP是平行四边形.(9分)
评析 本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定及全等三角形的判定与性质.
24.解析 (1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2.
∵∠ADE=∠1+∠B,∠DAE=∠2+∠3,且∠B=∠3,
∴∠ADE=∠DAE,
∴ED=EA.
∵ED为☉C的直径,
∴∠DFE=90°.
∴EF⊥AD.
∴点F是AD的中点.(3分)
(2)连结DM,则DM⊥AE.
设EF=4k,DF=3k,则ED= =5k.
√EF2+DF2
1 1
∵ AD·EF= AE·DM,
2 2
AD·EF 6k·4k 24
∴DM= = = k.
AE 5k 5
7
∴ME=√DE2-DM2= k.
5
7
ME k 7
∴cos∠AED= =5 = .(6分)
DE 25
5k
(3)∵∠B=∠3,∠AEC为公共角,∴△AEC∽△BEA.
∴AE2=CE·BE.
5
∴(5k)2= k·(10+5k).
2
∵k>0,
∴k=2.
5
∴CD= k=5.(9分)
2
25.解析 (1)设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6)(a≠0).
∵图象过点(0,-8),
2
∴a= ,
3
2 8
∴二次函数的解析式为y= x2- x-8.(3分)
3 3
(2)(6 ).(5分)
,0
7
(3)①不存在PQ∥OC.
若PQ∥OC,则点P、Q分别在线段OA、CA上.
此时,12,不满足1
