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年初中学业水平考试
一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项.
1.据交通运输部报道,截至2020年年底,全国共有城市新能源公交车46.61万辆,位居全球第一.
将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n,则n等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.下列运算结果中,绝对值最大的是( )
A.1+(-4) B.(-1)4 C.(-5)-1 D.
√4
3.已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2.若D是线段AC的中点,则线段AD的
长为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.2或3
4.柜子里有两双不同的鞋,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋是同一双的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 5 6
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB= ,BC=2,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB
√5
于点D,交AC于点C,以点B为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,交BC于点F,则图中
阴影部分的面积为( )
π π
A.8-π B.4-π C.2- D.1-
4 4
6.若x= +1,则代数式x2-2x+2的值为( )
√2
A.7 B.4 C.3 D.3-2
√2
7.定义新运算“⊗”,规定:a⊗b=a-2b.若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>-1,则m的值是(
)
A.-1B.-2C.1 D.2
8.如图,直线l∥l,直线l 交l 于点A,交l 于点B,过点B的直线l 交l 于点C.若
1 2 3 1 2 4 1
∠3=50°,∠1+∠2+∠3=240°,则∠4等于( )A.80° B.70° C.60° D.50°
9.下列命题正确的是( )
1
A.在函数y=- 中,当x>0时,y随x的增大而减小
2x
B.若a<0,则1+a>1-a
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.各边相等的圆内接四边形是正方形
10.已知二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1,-b),则一次函数y=bx-ac的图象
不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.如图,在△ABC中,AB=AC,△DBC和△ABC关于直线BC对称,连接AD,与BC相交于点O,
2OE+AE
过点C作CE⊥CD,垂足为C,与AD相交于点E,若AD=8,BC=6,则 的值为( )
BD
4 3 5 5
A. B. C. D.
3 4 3 4
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC边在y轴的正半轴
2
上,点B的坐标为(4,2),反比例函数y= (x>0)的图象与BC交于点D,与对角线OB交于点E,
x
与AB交于点F,连接OD,DE,EF,DF.
下列结论:
①sin∠DOC=cos∠BOC;②OE=BE;③S =S ;
△DOE △BEF
④OD∶DF=2∶3,
其中正确的结论有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分,共24分.
ax2
13.因式分解: +ax+a= .
4( 2m 1 ) 1
+
14.化简: ÷ = .
m2-4 2-m m+2
15.一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4,则a+b的立方根为 .
16.某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差
为 .
17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点B作BD⊥CB,垂足为B,且BD=3,连接CD,与AB相
交于点M,过点M作MN⊥CB,垂足为N.若AC=2,则MN的长为 .
18.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的☉O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则
▱ABCD的周长为 .
19.如图,BD是正方形ABCD的一条对角线,E是BD上一点,F是CB延长线上一点,连接
CE,EF,AF.若DE=DC,EF=EC,则∠BAF的度数为 .
20.已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D(4,y)
在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点.当BE+DE的值最小时,△ACE的面积为 .
三、解答题:本大题共有6小题,共60分.
21.(本小题满分8分)
为了庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了学党史知识竞赛.参加知识竞赛的学生分为甲
乙两组,每组学生均为20名,赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表,已知竞赛成绩满分
为100分,统计表中a,b满足b=2a.
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩(分) 70 80 90 100
人数 3 a b 5
乙组20名学生竞赛成绩统计图请根据所给信息,解答下列问题:
(1)求统计表中a,b的值;
(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是(70+80+90+100)÷4=85(分).根据
所学统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式并计算出结果;
(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果,那么竞赛成绩较好的是哪个组?请说明理由.
22.(本小题满分8分)
某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.
3√2 3 3
测得AC长为 km,CD长为 (√2+√6)km,BD长为 km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A、
2 4 2
B、C、D在同一水平面内).
(1)求A、D两点之间的距离;
(2)求隧道AB的长度.23.(本小题满分10分)
小刚家到学校的距离是1 800米.某天早上,小刚到学校后发现作业本忘在家中,此时离上课
还有20分钟,于是他立即按原路跑步回家,拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚
骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟,且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
(1)求小刚跑步的平均速度;
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟,他能否在上课前赶回学校?请说明理由.
24.(本小题满分10分)
如图,在锐角三角形ABC中,AD是BC边上的高,以AD为直径的☉O交AB于点E,交AC于
点F,过点F作FG⊥AB,垂足为H,交 ⏜ 于点G,交AD于点M,连接AG,DE,DF.
AE
(1)求证:∠GAD+∠EDF=180°;
(2)若∠ACB=45°,AD=4,tan∠ABC=2,求HF的长.
25.(本小题满分12分)
如图,已知△ABC是等边三角形,P是△ABC内部的一点,连接BP,CP.(1)如图1,以BC为直径的半圆O交AB于点Q,交AC于点R,当点P在 ⏜ 上时,连接AP,在
QR
BC边的下方作∠BCD=∠BAP,CD=AP,连接DP,求∠CPD的度数;
(2)如图2,E是BC边上一点,且EC=3BE,当BP=CP时,连接EP并延长,交AC于点F.若√7
AB=4BP,求证:4EF=3AB;
(3)如图3,M是AC边上一点,当AM=2MC时,连接MP.若∠CMP=150°,AB=6a,MP=√3
a,△ABC的面积为S,△BCP的面积为S,求S-S 的值(用含a的代数式表示).
1 2 1 2
图1
图2
图3
26.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+4x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,点M(m,n)
是抛物线上一动点.
(1)如图1,当m>0,n>0,且n=3m时,
①求点M的坐标;
②若点B(15 )在该抛物线上,连接OM,BM,C是线段BM上一动点(点C与点M,B不重
,y
4
合),过点C作CD∥MO,交x轴于点D,线段OD与MC是否相等?请说明理由;(2)如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点E( 7)在对称轴上,当m>2,n>0,且直线EM
x,
3
交x轴的负半轴于点F时,过点A作x轴的垂线,交直线EM于点N,G为y轴上一点,点G的
坐标为( 18),连接GF.若EF+NF=2MF,求证:射线FE平分∠AFG.
0,
5
图1
图2
30
包头市2021年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C A D C B B D C D A
1.B 46.61万=46.61×104=4.661×10×104=4.661×105,
∴n=5.
2.A 对于选项A,1+(-4)=-3,|-3|=3;
对于选项B,(-1)4=1,|1|=1;
对于选项C,(-5)-1=-1,| 1|=1;
-
5 5 5
对于选项D,√4=2,|2|=2.1
∵3>2>1> ,∴1+(-4)的绝对值最大.故选A.
5
3.C ①当C在线段AB上时,如图.
∵AB=4,BC=2,∴AC=AB-BC=2.
1
∵D为AC的中点,∴AD= AC=1.
2
②当C在线段AB的延长线上时,如图.
∵AB=4,BC=2,
∴AC=AB+BC=6.
1
∵D为AC的中点,∴AD= AC=3.
2
综上,AD的长为1或3.
4.A 设两双不同的鞋分别为A,B,则画树状图如图.
4 1
由图可知共有12种等可能的结果,其中取出的鞋是同一双的结果有4种,∴P= = .
12 3
5.D 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=√5,BC=2,
∴AC= =1,∠A+∠B=90°,
√AB2-BC2
1 90 1 1 π
∴S =S -(S +S )= AC·BC-AC2·π· = ×1×2-π× =1- .
阴影 △ABC 扇形CAD 扇形EBF 2 360 2 4 4
故选D.
6.C x2-2x+2=(x-1)2+1=(√2+1-1)2+1=2+1=3.
7.B 由题意可得x⊗m=x-2m.∵x-2m>3,∴x>3+2m.又x⊗m>3的解集为
x>-1,∴3+2m=-1,∴m=-2.
8.B ∵l∥l,∴∠1+∠3=180°.
1 2
又∵∠3=50°,∴∠1=180°-∠3=130°.
∵∠1+∠2+∠3=240°,
∴∠2+∠3=240°-∠1=110°,
∴∠5=180°-(∠2+∠3)=180°-110°=70°.
∵l∥l,∴∠4=∠5=70°.
1 2
1
9.D 对于选项A,∵k=- <0,∴当x>0时,y随x的增大而增大,故选项A错误.对于选项B,若
2
a<0,则-a>0,∴a<-a,∴1+a<1-a,故选项B错误.对于选项C,经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线,故选项C错误.对于选项D,四边形ABCD是☉O的内接四边形,如图,连接
OA,OB,OC,OD.∵AB=BC=CD=AD,∴ ⏜ = ⏜ = ⏜ = ⏜ ,四边形ABCD为菱形,
AB BC CD AD
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD.又
∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,∴∠AOB+∠BO
C=180°,∠BOC+∠COD=180°,∴A,O,C在同一直线上,B,O,D在同一直线上.又
∵AO=BO=CO=DO,∴AC=BD,∴菱形ABCD是正方形,故选项D正确.
10.C ∵点(1,-b)在第一象限,∴-b>0,即b<0.
∵点(1,-b)在二次函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象上,
∴a-b+c=-b,∴a+c=0,∴c=-a,∴ac=a·(-a)=-a2.
又∵a≠0,∴-a2<0,∴ac<0,则-ac>0,∴y=bx-ac不经过第三象限.
11.D ∵△DBC和△ABC关于直线BC对称,
∴BC垂直平分AD,∴AC=DC,AB=DB.
又∵AB=AC,∴AB=BD=AC=CD,
∴四边形ABDC是菱形,∴OA=OD,OC=OB,
1 1
则OC= BC=3,OD= AD=4,
2 2
在Rt△COD中,∠COD=90°,∴CD= =5.
√OC2+OD2
∵∠DCE=∠DOC=90°,∠CDE=∠ODC,
DE DC 5
∴△CDE∽△ODC,∴ = = .
CD OD 4
∵2OE+AE=OE+(OE+AE)=OE+OA=OE+OD=DE,BD=CD,
2OE+AE DE 5
∴ = = .
BD CD 4
12.A 在矩形OABC中,
∵B(4,2),∴BC=OA=4,AB=OC=2.
2
∵D为反比例函数y= 的图象与直线BC的交点,
x
∴D(1,2),∴CD=1.
在Rt△OCD中,由勾股定理得OD= = ,
√OC2+CD2 √5
CD √5
∴sin∠DOC= = .
OD 5
在Rt△BOC中,由勾股定理得OB= =2 ,
√OC2+BC2 √5
OC √5
∴cos∠BOC= = .
OB 5
∴sin∠DOC=cos∠BOC,故①正确.
1
由题意易知直线OB的解析式为y= x.
2
2 1
∵E为反比例函数y= 的图象与直线y= x的交点,且E在第一象限,
x 2
∴E(2,1),易得OE=√5,又OB=2√5,∴BE=√5.
∴OE=BE,故②正确.
∵D(1,2),B(4,2),∴BD=3,又∵E(2,1),3×2 3×(2-1) 3
∴S =S -S = - = .
△DOE △DOB △DEB
2 2 2
2
∵F在反比例函数y= 的图象上,且F的横坐标为4,
x
∴F(
4,
1),∴S
△BEF
=1×(
2-
1)×(4-2)=3,
2 2 2 2
∴S =S ,故③正确.
△DOE △BEF
∵O(0,0),D(1,2),F( 1),∴OD= ,DF=3√5,
4, √5
2 2
∴OD∶DF=2∶3,故④正确.故正确的结论有4个.
二、填空题
a
13.答案 (x+2)2
4
ax2 a a
解析 +ax+a= (x2+4x+4)= (x+2)2.
4 4 4
14.答案 1
解析 原式=[ 2m 1 ]·(m+2)
-
(m+2)(m-2) m-2
2m m+2 2m-(m+2) 2m-m-2 m-2
= - = = = =1.
m-2 m-2 m-2 m-2 m-2
15.答案 2
解析 由题意得(2b-1)+(b+4)=0,∴b=-1,∴2b-1=-3,
∴a=(2b-1)2=9,则a+b=9-1=8,故a+b的立方根为2.
16.答案 3.6
5+10+7+8+10
解析 由题意得x=8,∴x= =8,
5
1
∴s2= ×[(5-8)2+2×(10-8)2+(7-8)2+(8-8)2]
5
1
= ×(9+8+1)=3.6.
5
6
17.答案
5
解析 ∵MN⊥BC,∴∠MNB=∠MNC=90°,
∴∠MNB=∠ACB=90°.
又∵∠MBN=∠ABC,∴△MNB∽△ACB,
MN BN MN BN 2BN
∴ = ,∴ = ,∴MN= .
AC BC 2 BC BC
∵BD⊥CB,∴∠DBC=90°,
∴∠MNC=∠DBC=90°.
又∵∠MCN=∠DCB,∴△MNC∽△DBC,
MN CN MN CN 3CN 2BN 3CN
∴ = ,∴ = ,∴MN= ,则 = ,
DB CB 3 CB CB BC CB
3 3 5
∴BN= CN,∴BC=BN+CN= CN+CN= CN,
2 2 23CN
3CN 6
故MN= =5 = .
CB CN 5
2
18.答案 24+6√5
解析 连接OE,作CF⊥AD交AD于点F.
∵BC与☉O相切于点E,∴OE⊥BC.
1
∵AD=12,且AD为☉O的直径,∴OA=OD=OE= AD=6.
2
在▱ABCD中,ADBC,CD=AB.
1
∵OC=AB,∴CD=OC,又∵CF⊥OD,∴OF=DF= OD=3.
2
∵CF⊥AD,OE⊥BC,AD∥BC,∴CF=OE=6.
在Rt△CDF中,CD= = =3 ,
√CF2+DF2 √62+32 √5
∴C =AB+BC+CD+AD=2(CD+AD)=2×(3√5+12)=24+6√5.
▱ABCD
19.答案 22.5°
解析 连接AE.在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADE=∠CDE=45°.
∵DE=DE,∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴∠AED=∠CED,AE=CE.∵DE=CD,
180°-∠CDE
∴∠ECD=∠CED= =67.5°,
2
∴∠AEC=2∠CED=135°.∵∠BCD=90°,
∴∠ECB=∠BCD-∠DCE=22.5°.
∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECB=22.5°.
在△CEF中,∠CEF=180°-∠EFC-∠ECB=135°,
∴∠AEF=360°-∠AEC-∠CEF=90°.
∵EF=EC,EC=EA,∴EF=EA,∴∠EAF=∠EFA=45°.
在△ABF中,∠ABF=90°,
∴∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-90°-(∠EFA+∠EFC)=90°-(45°+22.5°)=22.5°.
20.答案 4
解析 由题意可知抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1,A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).∵D(4,y)在抛
物线y=x2-2x-3上,∴y=42-2×4-3=5,即D(4,5).
如图,作点D关于直线x=1的对称点D',则D'(-2,5),连接BD'交直线x=1于点E,此时BE+DE
最短.设直线BD'的解析式为y=kx+b(k≠0),直线CE交x轴于F.{3k+b=0, {k=-1,
则 ∴
-2k+b=5, b=3,
∴直线BD'的解析式为y=-x+3,令x=1,则y=2,∴E(1,2).
设直线EC的解析式为y=mx+n(m≠0),
{m+n=2, {m=5,
则 ∴
n=-3, n=-3,
3
∴直线EC的解析式为y=5x-3,令y=0,则x= ,
5
∴F(3 ).∴AF=3-(-1)=8.又∵OC=3,
,0
5 5 5
1 8 1 8
∴S =S +S = × ×2+ × ×3=4.
△ACE △AFE △AFC
2 5 2 5
三、解答题
{3+a+b+5=20, {a=4,
21.解析 (1)根据题意,得 解得 (2分)
b=2a, b=8.
(2)不正确.正确的算法:甲组20名学生竞赛成绩的平均分是
(70×3+80×4+90×8+100×5)÷20=87.5(分).(5分)
(3)根据扇形统计图可知,乙组学生竞赛成绩为70分,80分,90分,100分的人数占乙组总人数
的百分比分别为40%,25%,25%,10%.所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是70×40%
+80×25%+90×25%+100×10%=80.5(分).
因为87.5>80.5,所以甲组竞赛成绩较好.(8分)
22.解析 (1)过点A作AE⊥CD,垂足为E,∴∠AEC=90°.
AE CE 3√2 3√2
在Rt△ACE中,sin∠ACE= ,cos∠ACE= ,∠ACD=60°,AC= km,∴AE= ·sin
AC AC 2 2
3√6 3√2 3√2 3 3√6
60°= (km),CE= ·cos 60°= (km).∵CD= (√2+√6)km,∴DE=CD-CE= km.在
4 2 4 4 4
Rt△AED中,AD=
√AE2+DE2
=√ (3√6) 2
+
(3√6) 2 =3√3(km).∴A、D两点之间的距离为
4 4 2
3√3
km.(5分)
23√6
(2)∵∠AED=90°,AE=DE= km,∴∠ADE=45°.
4
∵∠CDB=135°,∴∠ADB=∠CDB-∠ADE=90°,
3
∴△ADB是直角三角形.在Rt△ADB中,BD= km,
2
∴AB=√ (3√3) 2 (3) 2=3(km).
+
2 2
∴隧道AB的长度为3 km.(8分)
23.解析 (1)设小刚跑步的平均速度为x米/分,则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分,
1 800 1 800
根据题意,得 +4.5= ,
1.6x x
解得x=150,
经检验,x=150是所列方程的根,且符合题意,
所以小刚跑步的平均速度为150米/分.(6分)
1 800
(2)由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分,则小刚跑步所用时间为 =12(分),骑自行
150
车所用时间为12-4.5=7.5(分),在家取作业本和取自行车共用了3分钟,所以小刚从开始跑步
回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5(分).因为22.5>20,所以小刚不能在上课前赶回学校.(10
分)
24.解析 (1)证明:∵AD是☉O的直径,∴∠AED=90°.
∵FG⊥AB,∴∠AHF=90°,∴∠AED=∠AHF,∴DE∥GF,
∴∠EDF+∠DFG=180°.
∵∠GAD=∠DFG,∴∠GAD+∠EDF=180°.(4分)
(2)连接OF.
∵AD是BC边上的高,∴∠ADC=90°.∵∠ACB=45°,
∴∠CAD=∠ACB=45°,∴AD=CD.
∵AD是☉O的直径,∴∠AFD=90°,
∴DF⊥AC,∴AF=CF.∵OA=OD,∴OF∥DC.
∴∠AOF=90°,∴∠MFO+∠FMO=90°.
∵∠AHM=90°,∴∠MAH+∠AMH=90°.
∵∠FMO=∠AMH,∴∠MFO=∠MAH,∴∠MFO=∠BAD.
∵∠FOM=∠ADB=90°,
MO FO
∴△FMO∽△ABD,∴ = .
BD AD
AD
在Rt△ABD中,tan∠ABD= ,AD=4,tan∠ABC=2,
BD
MO 2
∴BD=2,OF=OA=2,∴ = ,∴MO=1,∴AM=1.
2 4
在Rt△MOF中,MF= = = .
√OM2+OF2 √12+22 √5
∵∠AHM=∠FOM=90°,∠AMH=∠FMO,
HM AM
∴△AHM∽△FOM,∴ = ,
OM FMHM 1 √5
∴ = ,∴HM= ,
1 √5 5
√5 6√5
∴HF=HM+MF= +√5= .(10分)
5 5
25.解析 (1)连接BD,如图.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=CB=AC,∠ABC=60°.
∵∠BCD=∠BAP,CD=AP,∴△CBD≌△ABP,
∴BD=BP,∠CBD=∠ABP.
∵∠ABP+∠PBC=60°,∴∠CBD+∠PBC=60°,
∴∠DBP=60°,∴△DBP是等边三角形,∴∠BPD=60°.
∵BC为半圆O的直径,∴∠BPC=90°,∴∠CPD=30°.(4分)
(2)证明:连接AP并延长交BC于点G,如图.
∵AB=AC,BP=CP,∴AG⊥BG,BG=CG.
设BE=x,则EC=3x,∴AB=BC=4x.
∴BG=CG=2x,∴EG=x.∵√7AB=4BP,∴BP=√7x.
∵AG⊥BC,∴∠BGP=90°.
在Rt△BGP中,GP= = = x.
√BP2-BG2 √(√7x)2-(2x)2 √3
GP
在Rt△EGP中,tan∠GEP= =√3,
EG
∴∠GEP=60°,∴∠GEP=∠ABC.
∵∠ECF=∠BCA,∴△CEF∽△CBA,
EF EC 3x
∴ = = ,∴4EF=3AB.(8分)
BA BC 4x
(3)延长MP交AB于H,如图.
∵AB=6a,AM=2MC,∴AM=4a.
∵∠CMP=150°,∴∠AMH=30°.
∵∠BAC=60°,∴∠AHM=90°.
在Rt△AMH中,∠AMH=30°,AM=4a,
∴AH=2a,∴MH= =2 a.
√AM2-AH2 √3
∵MP=√3a,∴HP=√3a.
1 1
连接AP,∴S = ·AB·HP= ·6a·√3a=3√3a2.
△ABP
2 2
过点P作PN⊥AC,垂足为N.√3
在Rt△MNP中,∠NMP=30°,MP=√3a,∴NP= a.
2
1 1 √3 3√3a2
∴S = ·AC·NP= ·6a· a= .
△ACP 2 2 2 2
9√3a2
∴S-S =S +S = .(12分)
1 2 △ABP △ACP
2
26.解析 (1)①∵点M(m,n)在抛物线上,且n=3m,
∴-m2+4m=3m,解得m=0(舍去),m =1,
1 2
∴n=3,∴M(1,3).(2分)
②OD=MC.理由如下:
∵点B(15 )在该抛物线上,∴y=15,∴B(15 15).
,y ,
4 16 4 16
设直线MB交x轴于点H,解析式为y=kx+b(k≠0),
1 1 1
3
{ k +b =3, {k =- ,
∴ 1 1 解得 1 4 ∴y=-3x+15.
15 15
k +b = , 15 4 4
4 1 1 16 b = .
1 4
当y=0时,x=5,∴H(5,0),∴OH=5.
过点M作MR⊥x轴,垂足为R,
∴OR=1,MR=3,∴RH=4,∴MH=5,
∴OH=MH,∴∠HOM=∠HMO.
∵CD∥MO,∴∠HOM=∠HDC,∠HMO=∠HCD,
∴∠HDC=∠HCD,∴HD=HC,∴OD=MC.(7分)
(2)证明:∵对称轴为直线x=- 4 =2,∴E( 7).
2,
2×(-1) 3
∵EF+NF=2MF,∴NF-MF=MF-EF,∴MN=ME.
过点M作MQ⊥x轴,垂足为Q,
QK ME
∴EK∥MQ∥NA,∴ = ,∴QK=QA.
QA MN
令-x2+4x=0,解得x=0,x=4,∴A(4,0).
1 2
∵K(2,0),Q(m,0),∴m-2=4-m,
∴m=3.∴n=-32+4×3=3,∴M(3,3).
设直线EM的解析式为y=kx+b(k≠0),
2 2 2{ 7 { 2
2k +b = , k = ,
∴ 2 2 3 解得 2 3
3k +b =3, b =1.
2 2 2
2
∴y= x+1.
3
设直线EM交y轴于点S,过点S作SP⊥GF,垂足为P.
当x=0时,y=1,∴S(0,1).
当y=0时,x=-3,∴F( 3 ),∴OF=3,OS=1.
- ,0
2 2 2
∵G( 18),∴OG=18,∴GS=13.
0,
5 5 5
∵∠GPS=∠GOF=90°,∠PGS=∠OGF,
GP PS GP 12
∴△GPS∽△GOF,∴ = ,∴ = .
GO OF PS 5
设GP=12a,则PS=5a.
在Rt△GPS中,GP2+PS2=GS2,
∴(12a)2+(5a)2=(13) 2.
5
1
解得a= (负值舍去).
5
∴PS=1,∴PS=OS.
∵SP⊥GF,SO⊥AF,∴射线FE平分∠AFG.(12分)
注:各题的其他解法或证法可参照该评分标准给分.
