原卷版12~22专题p217_高中物理模型题型与方法

高中物理模型题型与方法（12~22 专题） 专题12 匀强电场中的“点线面迹”模型 【模型一】孤立点电荷的电场模型..................................................................................................................3 【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型..............................................................................................5 【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型......................................................12 【模型四】 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型....................................................................16 专题13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型 【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型................................................................................23 1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型.............................................................................................23 2.交变电场中的直线运动.........................................................................................................................27 3.带电体在电场中的直线运动.................................................................................................................29 【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型............................................................................................32 【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型................................................................................35 【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型.......................................................39 专题14 “等效重力场”模型 一.“等效重力场”模型解法综述.....................................................................................................................42 二．“等效重力场”中的直线运动模型........................................................................................................42 三．“等效重力场”中的抛体类运动模型....................................................................................................45 四．“等效重力场”中的单摆类模型............................................................................................................48 五．“等效重力场”中的圆周运动类模型....................................................................................................52 专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型 一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述...................................................................58 二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型................................................................................................59 三．平行边界磁场模型....................................................................................................................................62 四．圆形边界磁场模型....................................................................................................................................64 五．环形磁约束模型........................................................................................................................................69 六．三角形或四边形边界磁场模型................................................................................................................72 七．数学圆模型在电磁学中的应用................................................................................................................74 模型一 “放缩圆”模型的应用............................................................................................................74 模型二 “旋转圆”模型的应用............................................................................................................76 模型三 “平移圆”模型的应用............................................................................................................78 模型四 “磁聚焦”模型..........................................................................................................................79 专题16 带电粒子在组合场、复合场中的运动模型 一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述...............................................................................83 二．磁场与磁场的组合模型............................................................................................................................83 1三．先电场后磁场模型....................................................................................................................................86 四．先磁场后电场模型....................................................................................................................................89 五．带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型....................................................................................93 六．带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型............................................................................96 七．带电粒子在叠加场中的运动模型............................................................................................................99 八．带电粒子在叠加场中的应用模型---电磁平衡科技应用......................................................................103 模型一．速度选择器..............................................................................................................................103 模型二．磁流体发电机..........................................................................................................................104 模型三．电磁流量计..............................................................................................................................106 模型四.霍尔效应的原理和分析.............................................................................................................109 专题17 常见的电路模型 一.电路动态分析模型.....................................................................................................................................112 二．含容电路模型..........................................................................................................................................116 三．关于 ， 的物理意义模型............................................................................................................118 四．电源的输出功率随外电阻变化的讨论及电源的等效思想..................................................................123 五．电路故障的分析模型..............................................................................................................................127 专题18 理想变压器、远距离输电模型 一.理想变压器基本模型.................................................................................................................................130 二．变压器原线圈接有负载模型----等效法.................................................................................................133 三．变压器副线圈接有二极管模型..............................................................................................................137 四．多组副线圈的理想变压器模型..............................................................................................................139 五．理想变压器动态分析模型......................................................................................................................141 六．远距离输电的电模型..............................................................................................................................144 专题19 电磁感应中的单导体棒模型 一.阻尼式单导体棒模型.................................................................................................................................148 二．发电式单导体棒模型..............................................................................................................................152 三．无外力充电式单导体棒模型..................................................................................................................157 四．无外力放电式单导体棒模型..................................................................................................................158 五．有外力充电式单导体棒模型..................................................................................................................160 六．含“源”电动式模型..............................................................................................................................163 专题20 电磁感应中的双导体棒和线框模型 一.无外力等距双导体棒模型.........................................................................................................................165 二．有外力等距双导体棒模型......................................................................................................................170 三．不等距导轨双导体棒模型......................................................................................................................173 四．线框模型..................................................................................................................................................178 2专题21 热学中常见的模型 一.“玻璃管液封”模型...................................................................................................................................187 二．“汽缸活塞类”模型..............................................................................................................................191 三．“变质量气体”模型..............................................................................................................................196 专题22 光学中常见的物理模型 一.光的色散模型.............................................................................................................................................201 二．“三棱镜”模型......................................................................................................................................204 三．“球形玻璃砖”模型..............................................................................................................................208 四．平行玻璃砖模型......................................................................................................................................212 3专题 12 匀强电场中的“点线面迹”模型 【模型一】孤立点电荷的电场模型 (1)正(负)点电荷的电场线呈空间球对称分布指向外(内)部。 (2)离点电荷越近电场线越密(场强越大)。 (3)以点电荷为球心作一球面，则电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小相等，但方向不同。 (4)点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E＝. (5)等势面是球面 【模型演练1】. （2023·江苏·模拟预测）如图所示，一个带负电的点电荷固定在O点，实线为几条对称 分布的电场线，虚线为以 电场线上的 点为圆心的一个圆，a、b、c、d、e、f、g、h为圆与电场线的 4交点，下列说法正确的是（ ） A．b、h两点的电场强度相同 B．a点电势比e点电势高 C．d、b两点之间的电势差大于e、b两点之间的电势差 D．将电子沿圆周由h运动到d与由h运动到f，电场力做功相等 【模型演练2】. （2023·全国·高三专题练习）正点电荷的电场线和等势线如图所示，下列说法正确的是 （ ） A．c、d两点的电场强度相同 B．a点电势可能低于b点电势 C．同一点电荷在a点所受电场力大于在b点所受电场力 D．一点电荷从c点沿圆弧移到d点，电场力做功不为零 【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）电场线的疏密程度能描述电场的强弱，小娜同学想通过点电 荷定量研究此问题。首先，她用蓖麻油实验模拟得到点电荷周围电场的分布，如图1所示，然后由点电荷 出发，依据模拟得到的电场分布特点，向四周均匀的辐射（画）出N根电场线，如图2所示，其中a点为 距点电荷为 的球面上一点，b点为距点电荷为 的球面上一点。已知电场线的疏密程度n可用穿过单位面 积的电场线的条数来表示，该点电荷的电量为Q，下列说法正确的是（ ） 5A．依据点电荷场强公式 ，电场线的疏密程度 ，E和n均反比于 ，则可认为电场线的疏 密能描述电场的强弱 B．如果小娜同学在画电场线时，向四周均匀的辐射出 根电场线，则a点场强加倍 C．试探电荷在a点具有的电势能比在b点具有的电势能大 D．a、b两点的电势差大于 【模型演练4】.（2023·云南德宏·高三统考期末）如图所示，在正点电荷Q的电场中有M、N、P、F四点， M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M=30°。M、N、P、F四点处的电势分别用 、 、 、 表示。已知 ， ，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则（ ） A．M、N两点的电场强度相同 B．P点的电势大于M点的电势 C．将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功 D．电子在P点的电势能小于在M点的电势能 【模型二】等量同种和异种点电荷的电场模型 比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷 6电场线分布图 连线上O点场强最小，指向负 连线中点O处的场强 为零 电荷一方 连线上的场强大小(从左到右) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大 沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小 关于O点对称的A与A′、B与B′的场强 等大同向 等大反向 等势面 等量异种 等量同种 中垂线是等势面且电势为零，关于中垂线左右对称 中点电势在中垂线上最大，连线中间最小；关于 的点电势绝对值相等，关于连线对称的点电势相 中垂线、连线对称的点电势相等。 等。 【模型演练1】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）电鳗是放电能力极强的淡水鱼类，具有 “水中高压线”的称号。电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的 叠层电池，这些电池（每个电池电压约0.15伏）串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压， 此时在电鳗的头和尾的周围空间产生了类似于等量异种点电荷（O为连线的中点）的强电场。如图所示， 虚线为该强电场的等势线分布，实线ABCD为以O点为中心的正方形，点A和D、点B和C分别在等势线 上。则下列说法正确的是（ ） A．电鳗的头部带正电 B．A点与B点的电场强度相同 C．B点与D点的电场强度相同 7D．负电荷沿正方形对角线从C点向A点运动过程中，电势能减小 【模型演练2】．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图所示，一椭圆的两焦点M、N处固定有两 个等量异种电荷+Q，-Q，O为椭圆中心，a、b是椭圆短轴上的两个端点，c是OM上的一点，d是Oa上的 一点，e、f是椭圆上关于O点对称的两个点，取无穷远处电势为零，下列说法中正确的是（ ） A．a、b两点电势相等，电场强度不同 B．e、f两点电场强度相同，电势不同 C．一质子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，在c点的电势能小于在d点的电势能 D．一电子从a点沿直线移到O点，再从O点沿直线移到c点，电子的电势能先增大后减小 【模型演练3】．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，两个等量异种电荷产生的电 场中，abcd四点分别处于正方形的四个顶点上，其中ab两点在等量正负电荷的连线上，且关于连线的中 垂线对称，则下列说法正确的是（ ） A．ab两点的电势相等 B．cd两点的电场强度相同 C．移动单位负电荷从d到c，电场力做正功 D．移动单位正电荷从b到d，电场力沿 做功比直接沿对角线做功大 【模型演练4】．（2023·北京·高三专题练习）如图所示，O为等量异种点电荷连线的中点，A、B为连线 上的点，C、D为其中垂线上的点，且A、B、C、D距O点距离相等，取无穷远处的电势为零。下列说法 正确的是（ ） 8A．A、B两点电势相等 B．C、D两点电场强度不相同 C．O点电势为零，电场强度也为零 D．沿中垂线移动电荷，静电力始终不做功 【模型演练5】．（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，两等量同种点电荷+q（q>0）固定在菱形的两个 顶点A、C上。E、F是该菱形对角线AC与其内切圆的交点，O点为内切圆的圆心，a、b、c、d四点为切 点。现有一带正电的点电荷从E点由静止释放，下列说法正确的是（ ） A．a、b、c、d四点的电场强度相同 B．D、O、B三点的电势相等 C．点电荷在从E点运动到O点的过程中电场力做正功 D．点电荷从E点运动到F点的过程中速度一直增大 【模型演练6】．（2023春·江苏南京·高三校考阶段练习）如图甲，O为AB连线的中点，M、N在AB连线 的中垂线上，A、B、M、N四点距O点的距离均为 。在A、B两点分别固定一点电荷，电荷量均为Q （Q>0）。以O为原点，ON方向为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则ON上的电势 随位置 x的变化如图乙所示。一电荷量为-q（q > 0）的带电粒子以一定的初动能从M点沿x轴正方向运动，一定 时间后经过N点。不计粒子重力，k为静电力常数。则下列说法不正确的是（ ） 9A．粒子在M点受到的电场力大小为 B．粒子在O点的电势能为 C．粒子从x = 处到N点的过程中，其动能减少了 D．要使粒子离开电场，粒子的初动能至少为 【模型演练7】．（2023·吉林·统考三模）如图所示，在光滑绝缘的水平面上固定两个等量正点电荷A和 B，O点为AB连线的中点，C、D为AB连线上关于O点对称的两个点，且CO=OD=L，一带负电的可视为 点电荷的小球以初速度v 从C点运动到D点，取无穷远处的电势φ=0，以C点为坐标原点，向右为x轴的 0 正方向，下列关于电势φ、电场强度E、小球的电势能E 及动能E 随小球运动的位移x变化的图像，可能 p k 正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练8】．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图所示，真空中电荷量分别为q和-q 10的两个点电荷固定在正方体ABCD-ABCD的两个顶点A、C上，则下列关于这两个点电荷产生电场的说法 中正确的是（ ） A．B、D两点的电场强度不同 B．B′、D′两点的电场强度相同 C．B、D两点的电势不同 D．B′、D′两点的电势相同 【模型演练9】．（2023·湖南·模拟预测）如图，一椭圆的两焦点M、N处固定两个等量异种电荷+Q、- Q，O为椭圆中心，ab是椭圆短轴上的两个端点，c是OM上的一点，d是Oa上的一点，ef是椭圆上关于 O点对称的两个点，设无穷远处电势和电势能为零，下列说法中正确的是（ ） A．a、b两点电势相等，但电场强度不同 B．e、f两点电场强度相同，电势也相同 C．一电子在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力，且在c点的电势能小于在d点的电势能 D．一质子从d点移到无穷远处，静电力做功为零 【模型演练10】．（2023·四川成都·校联考三模）如图，电荷量分别为＋Q和－Q（Q > 0）的点电荷固定 在正四面体的两个顶点a、b上，c、d是四面体的另外两个顶点，E、F、G、H分别是ab、bc、ca、cd的 中点，选无穷远处为零电势点。则（ ） 11A．E点的电场强度为零 B．E、H两点的电势均为零 C．c、d两点的电场强度大小相等、方向相同 D．将一检验正电荷从G点移到F点，电荷的电势能增大 【模型演练11】．（2023·安徽黄山·统考三模）如图所示，一绝缘圆环水平放置，圆心为O，其上放置四 个电荷量相等的点电荷，这四个点电荷处于互相垂直的两直径的两端，一直径两端的电荷均为正电荷，另 一直径两端的电荷均为负电荷。直线 为圆环的中轴线，且 两点关于O点对称。下列说法中正确 的是（ ） A． 两点的场强相等 B．将某一试探电荷沿中轴线从O点移到 点，所受电场力可能先增大后减小 C．图中相邻两点电荷间的圆弧中点处电势均相同 D．两正电荷所在直径上以O为对称中心的两个点的场强相同、电势相等 【模型演练12】．（2023·河北·校联考模拟预测）如图所示，在x轴上 处固定两个带电量均为 的 点电荷，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从 处移动到 处或沿y轴从 处移动到 处。下列说法中正确的是（ ） 12A．沿x轴移动时电子的动能先增大后减小 B．沿y轴移动时电子的动能先增大后减小 C．在 处固定电荷量为 的负点电荷，可使 处的电场强度为0 D．在 处固定电荷量为 的正点电荷，可使 处的电场强度为0 【模型演练4】．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）如图所示，A、B为两个等量同种点电荷， a、O、b在点电荷A、B的连线上，c、O、d在连线的中垂线上 ，则（ ） A．a、b两点的场强相同，电势不相同 B．c、d两点的场强不相同，电势相同 C．O点是点电荷A、B连线上电势最低的点，也是点电荷A、B连线上场强最小的点 D．O点是中垂线 上电势最高的点，也是中垂线上场强最大的点 【模型三】匀强电场中电势差与电场强度的关系--电势均匀分布模型 1．公式E＝的三点注意 (1)只适用于匀强电场． (2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离． (3)电场强度的方向是电势降低最快的方向． 2．纵向拓展 推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势，φ ＝，如图甲所示． C 13推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U ＝U (或φ －φ ＝φ －φ )，如图乙所示． AB CD A B C D 3．横向拓展 公式E＝只能适用于匀强电场的定量计算，但在非匀强电场中，可以用该式进行定性判断． 【模型演练1】（2022·高三课时练习）如图所示，三条相互平行、距离相等的虚线分别表示电场中的三个 等势面，对应的电势分别为5 V、10 V、15 V，实线是一不计重力的带电粒子在该区域内的运动轨迹，则 可知（ ） A．粒子一定带正电荷 B．粒子在a、b、c三点中，在b点时所受电场力最大 C．粒子在三点的动能大小为Ec>Ea>Eb k k k D．粒子在三点的电势能大小为Ec>Ea>Eb p p p 【模型演练2】．（2023·全国·统考模拟预测）匀强电场中有一条直线，M、N、P为该直线上的三点，且 。若MN两点的电势分别为 、 ，则下列叙述正确的是（ ） A．电场线方向由N指向M B．P点的电势不一定为 C．正的检验电荷从M点运动到N点的过程，其电势能不一定增大 D．将负的检验电荷以初速度为0放入该电场中的M点，检验电荷将沿直线运动 【模型演练3】．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图所示，空间中存在与纸面平行的匀强 电场，在纸面内从正方形的顶点A沿任意方向发射速度相同的带正电粒子，不计粒子重力和粒子间的相互 作用，已知经过B点的粒子在B点时的动能是初动能的3倍，经过C点的粒子在C点时的动能是初动能的 7倍，则经过D点的粒子在D点时的动能是初动能的（ ） 14A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．6倍 【模型演练4】．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）如图所示，在匀强电场中有直角三角形BOC，电场方 向与三角形所在平面平行，若三角形三顶点处的电势分别为φ=4.5V、φ =0V、φ =9V，且边长 0 B C ， ，则下列说法中正确的是（ ） A．电场强度的大小为 B．一个电子在O点由静止释放后会做曲线运动 C．电场强度的大小为100V/m D．一个电子在O点由静止释放后会沿直线OB运动 【模型演练5】．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）如图所示，在匀强电场中一带正电 粒子先后经过a、b两点。已知粒子的比荷为k，粒子经过a点时速率为 ，经过b点时速率为 ，粒子经 过a、b两点时速度方向与 连线的夹角分别为 、 ， 连线长度为L。若粒子只受电场力作用，则 下列无法确定的是（ ） A．场强的大小 B．场强的方向 C．a、b两点的电势差 D．粒子在a、b两点的电势能之差 【模型演练6】．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）一圆心在O点、半径R=0.5m的半圆， AB为其直径，C是半圆上的一点，∠BAC=37°，半圆所在的平面内有一匀强电场，已知A、B、C三点的电 势φ =16V、φ =44V、φ =80V。有一粒子发射源从A点可以向半圆所在平面内各个方向发射动能为20eV A B C 15的电子，不计电子所受的重力及空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ） A．在该半圆上，A、C之间可能有一点的电势为81V B．在该半圆上，B、C之间可能有一点的电势为81V C．该匀强电场的电场强度大小为100V/m D．打到该半圆上的电子的最大动能为94eV 【模型演练7】．（2023·重庆·统考模拟预测）如题图所示，水平面内有三条虚线 、 、 ，相邻虚线间 距相等且彼此平行，a、b、c为虚线上的三点，其中a、c连线与 垂直。某时刻电子以水平向右的速度v 通过a点，则（ ） A．若 、 、 为电场线，则一定有 B．若 、 、 为电场线，则电子一定能够通过c点 C．若 、 、 为等势线，则一定有 D．若 、 、 为等势线，则电子一定不能通过c点 【模型演练8】．（2023·湖南·模拟预测）如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系 ，坐标平面与电场 方向平行。坐标系中有一个经过O、A、B三点的圆， 点 为圆心，A点坐标为 ，A 16点电势为 ， 点电势为 ， 点电势为 ，则（ ） A．电场强度的方向为由 方向 B．电场强度的方向为由 方向 C．电场强度大小为 D．电场强度大小为 【模型演练9】．（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，在匀强电场中有一圆心为O的虚线圆， 圆平面与电场方向平行， 和 是圆的两条夹角为60°的直径，圆的半径为 。将电荷量为 的带正电粒子从a点移动到b点，克服电场力做功 ；若将该粒子从c点移动到d点， 电场力做功 。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ） A．该匀强电场的场强方向与 平行，且由a指向b B．该匀强电场的场强大小为40V/m C．该粒子从d点移动到b点，电场力做功为 D．该带电粒子从C点垂直 方向射入圆形区域，不可能从b点射出 【模型演练10】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）如图甲所示，圆形区域存在与 圆平面平行的匀强电场E（图中未画出），圆的两条直径AB与CD间的夹角为 ，从A点向圆形平面内 不同方向发射速率相同的质子（不计质子间相互作用），发现从圆边界射出的粒子中D点射出的粒子速度 最大。以A为坐标原点。沿AB方向建立x坐标轴，B点的坐标为 ，x轴上从A到B的电势变化如图乙 所示，则（ ） 17A．CD间电势差 B．CD间电势差 C．电场强度 D．电场强度 【模型四】 电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹模型 1.根据运动轨迹判断粒子的受力及运动情况 ①确定受力方向的依据 a．曲线运动的受力特征：带电粒子受力总指向曲线的凹侧； b．电场力方向与场强方向的关系：正电荷的受力方向与场强方向相同，负电荷则相反； c．场强方向与电场线或等势面的关系：电场线的切线方向或等势面的法线方向为电场强度的方向。 ②比较加速度大小的依据：电场线或等差等势面越密⇒E越大⇒F＝qE越大⇒a＝越大。 ③判断加速或减速的依据：电场力与速度成锐角(钝角)，电场力做正功(负功)，速度增加(减小)。 2.分析电场的特点和性质问题的一般思路 (1)电场强度 ①根据电场线的疏密程度进行判断。 ②根据等差等势面的疏密程度进行判断。 18③根据E＝k结合矢量合成进行判断或计算。 (2)电势 ①根据沿电场线方向电势逐渐降低进行判断。 ②根据φ＝进行判断或计算。 ③空间存在两个或两个以上的电场时，根据电势的叠加求代数和进行判断或计算。 (3)电势能 ①根据E ＝φq进行判断或计算。注意判断或计算时E 、φ、q均带正、负号，且E 、φ的正、负号表示大 p p p 小。 ②根据电场力做功进行判断或计算。若电场力对电荷做正功，电势能减少，反之则增加，且W ＝－ΔE。 AB p ③根据能量守恒定律进行判断或计算。电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程，若只 有电场力做功，电荷的电势能与动能相互转化，而总和应保持不变，即当动能增加时，电势能减少，反之 则增加，且ΔE＝－ΔE。 k p 【模型演练1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）某电场等势面分布情况如图所示，A、B 分别为场中两点，一带电粒子在此电场中的轨迹如虚线所示，下列判断正确的是（ ） A．带电粒子带负电 B．带电粒子在B点的加速度大于在A点的加速度 C．带电粒子运动到B点的速度大于在A点的速度 D．负的点电荷在B点由静止释放，只在电场力的作用下电荷将沿着等势面e运动 【模型演练2】．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）如图所示，一带正电荷的点电荷周围有 、 、 、 四条等势线，相邻的两等势线间的电势差为 ；椭圆轨道 为一电子绕该点电荷运动的轨迹，该轨迹与 等势线 相切于 点，与等势线 相切于 点，电子在 点的动能为 ，另有两个电子分别在等势线 、 上做匀速圆周运动。不考虑电子间的相互作用及电子运动过程中的电磁辐射，下列说法正确的是 （ ） 19A．在等势线 上运动的电子，其动能大于 B．在等势线 上运动的电子，其动能大于 C．在轨道 上运动的电子，运动到 点时，仅适当改变运动方向，则该电子可到达等势线 D．在轨道 上运动的电子，运动到 点时，仅适当改变运动方向，则该电子可沿等势线 运动 【模型演练3】．（2023·全国·高三专题练习）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非 匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能 的运动轨迹，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】．（2023·江苏·模拟预测）电子显微镜通过“静电透镜”实现对电子会聚或发散使微小物体 成像。一种电子透镜的电场分布如图所示（截取其中一部分），虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差 相等，电子枪发射的电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示， 是轨迹上的三点，若c 点处电势为3 V，电子从a点运动到b点电势能变化了5 eV，则下列说法正确的是（ ） A．a点电势为7.5 V B．电子在b点的动能不可能为2.5 eV C．电子在b点加速度比在c点加速度大 D．电子在电场中运动的最小速度一定为零 【模型演练5】．（2023·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）某兴趣小组模拟避雷针周围电场的等势面 20分布如图所示，相邻等势面间的电势差相等。A、B、C、D、E为空间电场中的五个点，其中C、D两点位 置关于避雷针对称，一电子（量为m）从A点静止释放，仅在电场力作用下运动到C点时速度为v，下列 说法正确的是（ ） A．A点的电势小于D点的电势 B．若电子能运动到B点，则到B点时的速度为 C．电场中C、D两点的电场强度相同 D．若电子从A点运动到E点，其电势能增大 【模型演练6】．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示为某示波管内一个平面的聚焦电场，实 线和虚线分别表示电场线和等差等势线，a、b、c三点分别是电场线与等势线的交点。两个电子分别从a、 b两点运动到c点， 和 分别表示两电子从a、b两点运动到c点时电场力做的功，下列说法正确的是 （ ） A． B．电子在b点的电势能小于在c点的电势能 C．电子在电场中b点的加速度大于a点的加速度 D．两电子从电场中某点获得瞬间冲量后，不可能沿电场线运动 【模型演练7】．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图所示，MN是一负点电荷产生的电场中的一条 21电场线。一个带正电的粒子（不计重力）从a到b穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示。下列结论正确 的是（ ） A．带电粒子从a到b过程中动能逐渐减小 B．负点电荷一定位于M点左侧 C．a点的场强大于b点的场强 D．带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度 【模型演练8】．（2023·山东·模拟预测）在α粒子散射实验中，α粒子由a到e从金原子核旁飞过，运动 轨迹如图所示。金原子核可视为静止，以金原子核为圆心，三个同心圆间距相等，α粒子的运动轨迹在c 处与圆相切。下列说法正确的是（ ） A．α粒子在c处的动能最大 B．α粒子在 处的电势能相等 C．α粒子由c到d过程与由d到e过程电场力做功相等 D．α粒子的运动轨迹在a处的切线有可能经过金原子核的中心 【模型演练9】．（2023·天津·校联考模拟预测）如图所示，虚线为位于 位置的点电荷形成电场中的等势 面，已知三个等势面的电势差关系为 ，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运动 轨迹，与等势面相交于图中的 、 、 、 四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列说法正确的是（ ） 22A． 位置的点电荷带正电 B．该粒子在 点的加速度小于在 点的加速度 C． 、 、 、d四点中，该粒子在 处的电势能最小 D．该粒子从 点飞到 点动能的变化量等于从 点飞到d点动能的变化量 【模型演练10】．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，某静电场的电场线如图中带箭头 的实线所示，虚线AB、CD为等势线，带电粒子甲从A点以大小为 的初速度射入电场，到达C点，轨迹 如图中1所示，带电粒子乙从B点以大小为 的初速度射入电场，到达D点，轨迹如图中2所示，不计粒 子的重力和粒子间作用力，两粒子的电荷量绝对值相等，则下列判断正确的是（ ） A．粒子甲带正电，粒子乙带负电 B．粒子甲从A点到C点过程中，速度一直减小 C．粒子乙从B点到D点过程中，电场力做正功 D．粒子甲在C点的电势能一定大于粒子乙在D点的电势能 【模型演练11】．（2023·全国·高三专题练习）一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图中虚线 示。不计粒子所受重力，则下列说法正确的是（ ） 23A．粒子带正电荷 B．粒子加速度逐渐减小 C．A点的速度大于B点的速度 D．粒子的初速度不为零 【模型演练12】．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）静电透镜是由带电导体所产生的静电场来 使电子束聚焦和成像的装置，它广泛应用于电子器件（如阴极时线示波管）和电子显微镜中。如图所示为 某静电透镜示意图，图中虚线为等差等势面。实线为电场线，一电子束从左侧射入该区域后，沿POR轨迹 运动，下列说法正确的是（ ） A．O点的电场强度小于P点的电场强度 B．各点电势高低为 C．该电子束从P点到R点过程中动能一直增大 D．该电子束从P点到R点过程中电势能一直增大 【模型演练13】．（2023·重庆·统考三模）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线， 其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称。一离 子仅在电场力作用下从a运动到b，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ） A．若将离子从b点移到d点电场力不做功 B．离子在a、b两点的电势能满足 C．离子在a、b两点时动能满足 D．由对称可知，b、c两点的场强相同 24专题 13 匀强电场中的匀变速直（曲）线运动模型 【模型一】带电粒子在电场中的加速和减速运动模型 1.带电粒子在电场中的加速直线运动模型 （1） 受力分析： 与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒 力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力. （2） 运动过程分析： 带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加 （减）速直线运动. （3） 两种处理方法： ①力和运动关系法——牛顿第二定律： 带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确 定带电粒子的速度、时间和位移等. ②功能关系法——动能定理： 带电粒子在电场中通过电势差为U 的两点时动能的变化是 ，则 AB 25. 例：如图真空中有一对平行金属板，间距为 d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电 荷穿过正极板上的小孔以v 进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿 0 出时的速度v是多大？ F qE qU a= = = m m md 解法一、动力学：由牛顿第二定律： ① 由运动学知识：v2－v2=2ad ② 0 √2qU v= +v2 m 0 联立①②解得： 1 1 √2qU qU= mv2 − mv2 v= +v2 2 2 0 m 0 解法二、动能定理： 解得 讨论： 1 1 2 2 （1）若带电粒子在正极板处v≠0，由动能定理得qU= mv2- mv2 解得v= 0 0 （2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q， 质量为m的带电粒子，以初速度v，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动. 0 ①若v> ，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v， 0 1 1 2 2 有 -qU= mv2- mv2 解得v= 0 ②若v< ，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反方向加速运动， 0 从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小v=v. 0 1 2 设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为x，由动能定理有： -qEx=0- mv2 0 又E= (式d中为两极板间距离) 解得x= . 26【模型演练1】（2023·全国·高三假期作业）如图所示，两平行金属板相距为d，电势差U未知，一个电子 从O点沿垂直于极板的方向以速度v射出，最远到达A点，然后返回，已知O、A相距为h，电子的质量为 m，电荷量为e，则两金属板间的电势差U为（ ） A． B． C． D． 【模型演练2】（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）如图所示，在P板附近有一电子由静 止开始向Q板运动，则关于电子到达Q板时的速度，下列说法正确的是（ ） A．两板间距离越大，加速的时间就越长，获得的速度就越大 B．两板间距离越小，加速度就越大，获得的速度就越大 C．与两板间距离无关，仅与加速电压有关 D．以上说法均不正确 【模型演练3】（2023·河北保定·统考三模）一对平行正对的金属板C、D接入如图所示的电路中，电源电 动势为E，C板固定，D板可左右平行移动，闭合开关，一段时间后再断开开关，从C板发射一电子，恰 能运动到A点后再返回，已知A到D板的距离是板间距离的三分之一，电子质量为m，电荷量为-e，忽略 电子的重力，则（ ） A．设定C板电势为0，电子在A点的电势能为 B．若要让电子能够到达D板，可将D板向左平移至A点或A点左侧某位置 27C．若要让电子能够到达D板，可将D板向右平移至某位置 D．若要让电子能够到达D板，可闭合开关，再将D板向右平移至某位置 【模型演练4】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，半径为R的圆处在匀强电场中， O为圆心，圆所在平面与电场线平行，A、B是圆上两点， 间劣弧为四分之一圆弧，一个质量为m、电 荷量为q的带正电的粒子以大小为v 的速度从O点沿某一方向射出，到达B点时的动能为 ，若以垂直 0 连线向左的方向仍以大小为 的速度射出，过一段时间t粒子又回到O点，再改变粒子从O点射出的 方向，射出速度大小仍为 ，结果粒子到达了A点，不计粒子的重力，则（ ） A． B．A点电势比B点电势高 C．匀强电场的电场强度大小为 D．O、A两点的电势差为 【模型演练5】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两极板加上恒定的电压U，将一质量为m、电荷量 为＋q的带电粒子在正极板附近由静止释放，粒子向负极板做加速直线运动。不计粒子重力。若将两板间 距离减小，再次释放该粒子，则（ ） A．带电粒子获得的加速度变小 B．带电粒子到达负极板的时间变短 C．带电粒子到达负极板时的速度变小 D．加速全过程静电力对带电粒子的冲量变小 28【模型演练6】（2023·高三课时练习）两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m、电荷量为 e，从O点沿垂直于极板的方向射入电场，最远到达A点，然后返回，如图所示，OA间距为h，则此电子 的初动能为（ ） A． B． C． D． 2.交变电场中的直线运动 U-t 图 v-t v v v v 图 v 0 A 速度不反向 v 0 A B 速度反向 v 0 A B 速度反向 v 0 A 速度反向 O B B O T/2 T t T/8 5T/8 T t O T/3 2T/3 T t O T/2 T t -v 0 -3v 0 -v 单向直线运动 往返直线运动 往返直线运动 0 往返直线运动 [ 轨 O A B O A B O A B O A B 迹 A D C A 图 【模型演练1】（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和 多个横截面积相同的金属圆筒组成，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度遵照一定的规律依次增加．圆 板和圆筒与交流电源相连，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另 一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电 子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t=0时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静 止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰 从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（ ） 29A．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场 B．电子运动到第n个圆筒时动能为2neU C．在t= 时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值 D．第 个和第n个圆筒的长度之比为 ∶ 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中 的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似。已知静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如 图所示，一质量 ，电荷量 的带负电的粒子从（-1cm，0）点由静止开始， 仅在电场力作用下在x轴上 范围内往返运动，则（ ） A．x轴负半轴电场强度E 和正半轴电场强度E 的大小的比值为 1 2 B．粒子在 范围内运动过程中，电场力的冲量为8.0×10-14N·s C．该粒子运动过程中电势能变化量的最大值为 D．该粒子运动的周期 【模型演练3】（2023·广东省湛江市高三上学期调研）如图甲所示，A板电势为0，A板中间有一小孔，B 板的电势变化情况如图乙所示，一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝时刻以初速度为0从A板上的 小孔处进入两极板间，仅在电场力作用下开始运动，恰好到达B板．则( ) 30A．A、B两板间的距离为 B．粒子在两板间的最大速度为 C．粒子在两板间做匀加速直线运动 D．若粒子在t＝时刻进入两极板间，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最终打向B板 【模型演练4】(2023·安徽合肥模拟)如图(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电 压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t 时刻释放该粒子，粒子会时而向 0 A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t 可能属于的时间段是 ( ) 0 A．0＜t＜ B.＜t＜ C.＜t＜T D．T＜t＜ 0 0 0 0 3.带电体在电场中的直线运动 (1).带电小球在电容器中的直线运动 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 - - - - - - - - - - qE qE qE+ + + + + + + + + + m g mg θ mg θ qE=mg，a=0 qE=mgtanθ，a=g/cosθ qE=mg/cosθ，a=gtanθ qE=mg/cosθ，a=gtanθ (2)多过程运动规律 运动模型 受力分析 运动分析 规律 ** 错误的表达式 **速度公式 mg v=gt=at; 0 1 2 速度位移公式v2=2gx=2ax 0 1 2 ** 错误的表达式 **全程动能定理： mg(h+d)-qU=0 31【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场，一带电量为 的 物块放在光滑绝缘水平面上，在恒力F作用下由静止开始从O点向右做匀加速直线运动，先经时间t力F 做功 ，此后撤去力F，物块再经时间 返回到出发点O，且回到出发点时的速度大小为v。设物块在O 点的电势能为零，则（ ） A．撤去力F时物块的速度大小为 B．物块向右滑动的最大距离为 C．物块回到出发点时的动能为 D．撤去力F时物块的电势能为 【模型演练2】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，绝缘水平面 区域粗 糙， 区域光滑且处于一方向沿 负方向、电场强度大小 的匀强电场中，在 处有3个完全相同的减速带，减速带的宽度远小于 。一质量为 、带电量为 的小 滑块（可视为质点）从 处由静止释放，测量发现小滑块通过相邻2个减速带间的时间相同。已知小 滑块与水平地面间的动摩擦因数为 ，小滑块通过每一个减速带时损失的机械能相同，重力加速度为 ， 求： （1）小滑块通过每一个减速带时损失的机械能； （2）小滑块最终停在何处。 【模型演练3】(2023·浙江宁波市重点中学联考)如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、 方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m 的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) 32A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大 B．该微粒做匀变速直线运动 C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝ 【模型演练4】（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电 场，带电量为q（q>0）、质量为m的小球受水平向右大小为F的恒力，从M匀速运动到N。已知MN长为 d，与力F的夹角为 ，重力加速度为g，则 A．场强大小为 B．M、N间的电势差为 C．从M到N，电场力做功为 D．若仅将力F方向顺时针转 ，小球将从M向N做匀变速曲线运动 【模型演练5】（2023·陕西安康·统考三模）如图所示，质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E的匀 强电场中，以初速度 沿直线 做匀变速运动，直线 与水平面的夹角为 ，若小球在初始位置的电 势能为零，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ） 33A．电场强度E的最小值为 B．匀强电场的方向可能竖直向上 C．如果小球加速运动且加速度大小为g，则电场强度 D．如果电场强度为 ，小球电势能的最大值为 【模型演练6】(2023·陕西榆林市高三第一次模拟)如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平 行板间存在着匀强电场，直线CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小 球沿着∠FOD的角平分线从A点经O点向B点做直线运动，重力加速度为g.则在此过程中，下列说法正确 的是( ) A．小球带正电 B．小球可能做匀加速直线运动 C．小球加速度大小为gcos α D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量 【模型演练7】一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球， 从O点出发，初速度的大小为v ，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ角做直线运动，重 0 力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)小球运动到最高点时其电势能与O点的电势能之差． 【模型演练8】（2023·黑龙江哈尔滨一中高三上学期11月期中）如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极 板与水平面夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，从极板M的左边缘A处以初 速度v 水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，重力加速度为g，则( ) 0 34A．微粒到达B点时动能为mv2 0 B．微粒的加速度大小等于gsin θ C．两极板的电势差U ＝ MN D．微粒从A点到B点的过程，电势能减少 【模型二】带电粒子在匀强电场中的偏转模型 【运动模型】质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速 v 0沿垂直于电场的方向，进入长为 l 、间距为 d 、 U 电压为 的平行金属板间的匀强电场中，粒子将做匀变速曲线运动，如图所示，若不计粒子重力，则可求 出如下相关量： 1、粒子穿越电场的时间t： v =v 粒子在垂直于电场方向以 x 0做匀速直线运动， l t= l=v t v 0 ， 0； 2、粒子离开电场时的速度v： qE qU a= = m md 粒子沿电场方向做匀加速直线运动，加速度 ， qUl v =at= y mdv 粒子离开电场时平行电场方向的分速度 0， v= √v2 +v2 = √ v2 +( qUl ) 2 x y 0 mdv 所以 0 。 3、粒子离开电场时的侧移距离y： 1 qUl2 y= at2 = 2 2mdv2 0 ② ②式涉及了描述粒子的物理量如 、 、 、 ；描述设备的物理量 、 不难发现：（1）当不同粒子（ 不同）以相同的速度进入偏转电场时侧移距离 （2）当不同粒子以相同的动能进入偏转电场时侧移距离 ϕ 4、粒子离开电场时的偏角 ： v qUl tanϕ= y = v mdv2 因为 x 0 ③ 2y tanϕ= l ②与③的关系： （熟记） 355、速度方向的反向延长线必过偏转电场的中点 qUl qUl2 tanϕ= mdv2 y= 2mdv2 y= 2 l tanϕ 由 0和 0 ，可推得 。粒子可看作是从两板间的中点沿直线射出的。 【模型演练1】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场， 一个带电粒子电荷量为q，以一定的水平初速度由P点射入匀强电场，当粒子从Q点射出电场时，其速度 方向与竖直方向成30°角。已知匀强电场的宽度为d，P、Q两点的电势差为U，不计重力，设Q点的电势 为零。则下列说法正确的是（ ） A．带电粒子在P点的电势能为Uq B．带电粒子带负电 C．匀强电场场强大小为 D．匀强电场场强大小为 【模型演练2】．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）如图，在直角坐标系 的一、四象限内有大小为 、方向沿y轴正方向的匀强电场，虚线OM与x轴夹角 。一带电量为 、质量为m的粒子由静 止释放，经过加速电压为 的电压加速后从y轴上的Q点，以初速度 沿x轴正方向射出，粒子做曲线运 动垂直打在OM上的P点。已知粒子做曲线运动的时间为t，Q、P间沿y轴方向上的距离为 。不计粒子 重力，下列说法正确的是（ ） A．粒子在P处沿竖直方向速度小于 B．加速电压 为 36C． D．P点横坐标为 【模型演练3】（2023·山西·校联考模拟预测）如图所示，原来静止的、电荷量为q、不计重力的带电粒子 经左侧加速电场加速后，垂直于电场线方向进入偏转电场。当粒子进入偏转电场时的初速度为 时，粒子 离开偏转电场时沿电场线方向的速度为 ，其他条件不变，仅减小加速电压，粒子离开偏转电场时的 速度v有可能是（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】(2020·全国卷Ⅰ·25)在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆， AB为圆的直径，如图所示．质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入 电场，速度方向与电场的方向垂直．已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的 C点以速率v 穿出电 0 场，AC与AB的夹角θ＝60°.运动中粒子仅受电场力作用． (1)求电场强度的大小； (2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？ (3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv，该粒子进入电场时的速度应为多大？ 0 【模型演练5】(多选)(2022·江苏南京市、盐城市一模)两个质量相等、电荷量不等的带电粒子甲、乙，先后 以不同的速率沿着HO方向垂直射入匀强电场，电场方向竖直向上，它们在圆形区域中运动的时间相同， 其运动轨迹如图所示．不计粒子所受的重力，则下列说法中正确的是( ) 37A．甲粒子带正电荷 B．乙粒子所带的电荷量比甲粒子少 C．甲粒子在圆形区域中电势能变化量小 D．乙粒子进入电场时具有的动能比甲粒子大 【模型演练6】（2023·云南保山·统考三模）如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在一个平行于 该区域的匀强电场，MN为圆的一条直径。质量为m、电荷量为+q的粒子从M点以速度v射入电场，速度 方向与MN夹角θ=45°，一段时间后粒子运动到N点，速度大小也为v，不计粒子重力，规定M点电势为 零。求： （1）匀强电场的场强大小； （2）粒子电势能的最大值； （3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子射入电场的速度大小。 【模型演练7】（2023·新疆·统考三模）如图所示，真空中平行金属板M、N之间的距离和板长均为L，两 板间加恒定的电压。一带正电的粒子从两板中央沿平行两板的方向以某一初速度射入电场，最终恰好打在 N板中点处。所用时间为t，不计带电粒子的重力。求： （1）带电粒子的初速度大小 ； （2）若在带电粒子运动 时撤去所加电压，该粒子打在N板的位置与N板中点的距离 。 38【模型三】带电粒子经加速电场后进入偏转电场模型 U 【运动模型】如图所示，由静止开始被电场（加速电压为 1）加速的带电粒子平行于两正对的平行金属板 且从两板正中间射入，从右侧射出，设在此过程中带电粒子没有碰到两极板。若金属板长为L，板间距离 d U 为 、两板间电压为 2，试分析带电粒子的运动情况。 v 1、粒子穿越加速电场获得的速度 1 设带电粒子的质量为m，电量为q， U v 经电压 1加速后速度为 1。由动能定理有 1 √2qU qU = mv2 v = 1 1 2 1 ， 1 m 2、粒子穿越偏转电场的时间t： v 带电粒子以初速度 1平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为t， L √ m t= =L v 2qU 则 1 1 3、粒子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度a： F' qU a= = 2 m dm 带电粒子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度 4、粒子离开偏转电场时的侧移距离y： 带 电 粒 子 在 偏 转 电 场 中 运 动 时 沿 电 场 方 向 作 初 速 度 为 0 的 做 匀 加 速 直 线 运 动 1 1 qU m U L2 y= at2 = × 2 × L2 = 2 2 2 dm 2qU 4U d ④ 1 1 ④式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的侧移量与粒子的 、 无关。 v 5、粒子离开偏转电场时沿电场方向的速度为 y： U L √ q v =at= 2 v y d 2mU 带电粒子离开电场时沿电场方向的速度为 y，则 1 ϕ 6、粒子离开偏转电场时的偏角 ： v U L tanθ= y = 2 θ v 2U d 设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为 。则 x 1 ⑤ ⑤式表明静止的带电粒子经过同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的偏转角与粒子的 、 无关。 【模型演练1】(多选)示波器是一种多功能电学仪器，它是由加速电场和偏转电场组成的．如图所示，不同 的带负电粒子在电压为U 的电场中由静止开始加速，从M孔射出，然后射入电压为U 的平行金属板间的 1 2 电场中，入射方向与极板平行，在满足带负电粒子能射出平行板电场区域的条件下，则( ) A．若电荷量q相等，则带负电粒子在板间的加速度大小相等 39B．若比荷相等，则带负电粒子从M孔射出的速率相等 C．若电荷量q相等，则带负电粒子从M孔射出时的动能相等 D．若不同比荷的带负电粒子由O点射入，偏转角度θ相同 【模型演练2】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，两平行金属板A、B间电势差为 ，带电量为q、 质量为m的带电粒子，由静止开始从极板A出发，经电场加速后射出，沿金属板C、D的中心轴线进入偏 转电压为 的偏转电场，最终从极板C的右边缘射出。偏转电场可看作匀强电场，板间距为d。忽略重力 的影响。 （1）求带电粒子进入偏转电场时动量的大小 。 （2）求偏转电场对带电粒子冲量的大小I和方向。 （3）保持其他条件不变，仅在极板C、D之间再施加一个垂直纸面向里的匀强磁场，使得带电粒子恰好从 距离极板D右边缘射出偏转电场，求该带电粒子离开偏转电场时的动能 。 【模型演练3】．（2023·北京·高三专题练习）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘 颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒 沿板方向的速度 保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L， 间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。 （1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ； （2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为 ，其中r为颗粒的 半径，k为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。 a、半径为R、电荷量为 的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压 ； 40b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为 和 的 两种颗粒，若 的颗粒恰好100%被收集，求 的颗粒被收集的百分比。 【模型演练4】（2023·北京房山·统考一模）如图所示，一真空示波管的电子从灯丝K发出（初速度不 计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、 N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电 子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U，M、N两板间的电压为U，两板间的距离为d， 1 2 板长为L，偏转电场的右端到荧光屏的距离为x，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子重力。 （1）求电子穿过A板时的速度大小v； 0 （2）求电子从偏转电场射出时的侧移量y； （3）求OP的距离Y。 【模型演练5】（2023·湖南·统考模拟预测）如图所示，在示波管中，质量为m，电荷量为-q的带电粒子从 灯丝K射出（初速度不计），经加速电场U（未知）加速，从AB板的中心S沿中心线KO射出时的速度 1 大小为v，再经平行板电容器的偏转电场U 偏转后，又做一段匀速直线运动最后打到荧光屏上，显示出亮 2 点C，已知平行板电容器的两极板间的距离为d，板长为l，偏转电场的右端到荧光屏的距离为L，不计带 41电粒子的重力。 （1）求加速电场的电压U； 1 （2）求带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和荧光屏上OC间的距离； （3）带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U 的比叫作示波器的灵敏度D，如何通过改变平 2 行板电容器的l或d来提高示波器的灵敏度D。 【模型四】 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见模型 1.带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒 (1)带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能 量守恒，即 恒定值 (2)带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力 势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。 2.带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况 竖直向上抛出 水平抛出 斜上抛出 y A y x v qE C 0 B ● ● B ● B● mg v v 0 0 A qE C ● x qE x ●C A mg y mg 【模型演练1】（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电场 中，若将一个质量为 ，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如图 所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道 （电场没有画出）， 水平，长度为 ， 是半径为 的四分之一的圆弧，与 相切于 点。现将该小球由 点静止释放，求从 点开始运动的整 个过程中（取重力加速度大小为 ， ， ）。 （1）小球受到的电场力大小及方向； （2）从 点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量； （3）小球从c点离开轨道后速度最小时距c点的距离。 42【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图，竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域 间 距为H，在该区域下边界的O点将质量为m、电荷量为q的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上边界 离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的 点，已知小球到达 点的速度大小为 从O点进入电场时速度大小的 倍，动量方向与水平面的夹角为 。不计空气阻力，重力加速度大小为 g。求： （1） 角的正切值和该电场的电场强度； （2）小球由O到 的运动时间； （3）在下边界水平放置一足够长的绝缘挡板，小球碰撞前后速度与挡板的夹角不变，若第二次碰撞点 与 的距离为 ，求第一次碰撞过程小球的动能损失。 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图，地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，O、Q 为水平地面上的两点。将一带正电荷的小球自电场中O点以 的初动能竖直向上抛出，运动到最高点P 点时小球的动能为 ，最后落回地面上的Q点，不计空气阻力，求： （1）小球所受电场力与重力的比值为多少？ （2）小球落回Q点时的动能是多少？ （3）小球运动过程中的最小动能。 43【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，一质量为 ，带电量 的小滑块静止在倾 角为 的绝缘光滑斜面底端，现在加一个沿斜面向上的匀强电场，小滑块开始沿斜面向上运动，运动一段 时间 （ 未知）后，小滑块的电势能减少了 ，此时撤去电场，又经过 时间，小滑块又回到了斜面的 底端．选斜面底端所在的平面势能为零，重力加速度用 表示。求： （1）小滑块返回到斜面底端时的动能 ； （2）所加的匀强电场的电场强度大小； （3）小滑块的动能为 时的重力势能 。 【模型演练5】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）竖直平面内存在方向水平的匀强电场，电场区域 间距为 ，在该区域下边界的 点将质量为 、电荷量为 的小球以一定的初速度竖直上抛，小球从上 边界离开电场，再次进入电场后在电场中做直线运动，到达下边界的 点，已知小球到达 点的速度大 小为从 点进入电场时速度大小的 倍，动量方向与水平面的夹角为 。不计空气阻力，重力加速度大 小为 。求： （1） 角的正切值和该电场的电场强度； （2）小球由 到 的运动时间。 44专题 14 “等效重力场”模型 一.“等效重力场”模型解法综述 将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常 见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）； 整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改 变物体的内能等效为做功改变物体的内能） “等效重力场”建立方法——概念的全面类比 为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之 间关系．具体对应如下： 等效重力场 重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力 重力、电场力的合力 等效重力加速度 等效重力与物体质量的比值 等效“最低点” 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点” 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 45二．“等效重力场”中的直线运动模型 【运动模型】 如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底 B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场 中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发 生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cos37º=0.8） A E C B 因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力 方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示 A g' C B 30∘ “等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角 ，大小： 带电小球沿 g' 绳做初速度为零，加速度为 的匀加速运动 S =2Lcos30∘ AB ① 1 S = g't2 AB 2 ② √ L t= 3 g 由①②两式解得 “等效重力场”的直线运动的几种常见情况 匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动 46qE v qE v 0 0 θ F 合 θ θ mg mg 【模型演练1】如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场 中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直 线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大 B．该微粒做匀变速直线运动 C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝ 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直 截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为 、质量为 的小球用长为5cm的绝缘细线 悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点 （未标出），则（ ） A．MC距离为 B．电势能增加了 C．电场强度大小为 D．减小R的阻值，MC的距离将变大 【模型演练3】（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）如图所示，在竖直面（纸面）内有匀强电 场，带电量为q（q>0）、质量为m的小球受水平向右大小为F的恒力，从M匀速运动到N。已知MN长为 47d，与力F的夹角为 ，重力加速度为g，则 A．场强大小为 B．M、N间的电势差为 C．从M到N，电场力做功为 D．若仅将力F方向顺时针转 ，小球将从M向N做匀变速曲线运动 【模型演练4】（2023春·四川德阳·高三统考期末）如图所示，匀强电场的方向与水平方向间夹角为 ， 电场强度大小为E。质量为m的带负电小球以初速度 开始运动，初速度方向与电场线平行，重力加速度 为g。求： （1）若小球所带电荷量 ，为使小球做匀速直线运动，则对小球施加的恒力 的大小和方向； （2）若小球所带电荷量 ，为使小球做直线运动，现对小球施加一最小恒力 ，则小球的加速度为 多大。 【模型演练5】．（2023春·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）如图所示，倾斜放置的平行板电容器 两极板与水平面夹角为 ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量大小为q，从极板M的左边 缘A处以初速度 水平射入，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，重力加速度为g，求： （1）微粒到达B点时的速度大小； （2）两极板的电势差 。 48三．“等效重力场”中的抛体类运动模型 v 【运动模型】如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为 0竖直向上发射一个质量为m、 带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度． g' 建立等效重力场如图所示，等效重力加速度 g g' = g' cosθ 设 与竖直方向的夹角为θ，则 qE arcsinθ= √（qE） 2 +（mg） 2 其中 则小球在“等效重力场”中做斜抛运动 v =v sinθ v =v cosθ x 0 y 0 v =0 当小球在y轴方向的速度减小到零，即 y 时，两者的 合速度即为运动过程中的最小速度 49qE v =v =v sinθ=v min x 0 0 √（mg） 2 +（qE） 2 【模型演练1】.（2023·辽宁丹东·统考二模）真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电 场中，若将一个质量为 ，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如 图所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道 （电场没有画出）， 水平，长度为 ， 是半径为 的四分之一的圆弧，与 相切于 点。现将该小球由 点静止释放，求从 点开始运动的整 个过程中（取重力加速度大小为 ， ， ）。 （1）小球受到的电场力大小及方向； （2）从 点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量； （3）小球从c点离开轨道后速度最小时距c点的距离。 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，水平轨道与半径为R的 圆弧轨道相切于A点，整 个空间存在范围足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为 ，质量为m的不带电小球乙静止 在A点，质量为2m、电荷量为q的带正电的小球甲由水平轨道的O点静止释放，已知 ，经过一段 时间两球发生碰撞，碰后并粘合为一体，忽略一切摩擦，小球在整个过程中电荷量不变，两球均可视为质 点，重力加速度大小为g。求： （1）碰后两球对轨道的最大压力； （2）小球离开B点后到再次回到与B点等高处时的速率。 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场 中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度方向与竖直方向夹角为37°（取sin37° ＝0.6，cos37°＝0.8）。现将该小球从电场中某点以初速度v 竖直向上抛出。求运动过程中 0 50（1）小球受到的静电力的大小及方向； （2）小球的最小速度的大小及方向。 【模型演练4】（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直平面（即纸面）内 存在范围足够大的匀强电场，其大小和方向未知。一质量为m、带电量为 的小球从O点以初速度 水平向左抛出，小球运动到抛出点正下方A点时的速度大小为 ，已知 两点间距离为 ，重力 加速度为g，不计空气阻力，在小球从O点运动到A点的过程中，求： （1）电场力对小球做的功； （2）电场强度E的大小和方向； （3）小球的最小速度。 【模型演练5】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强 电场，质量均为 、带电量分别为 和 的两小球同时从 点以速度 斜向右上方射入匀强电场中， 方向与水平方向成 ，A、B（图中末画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A 点的速度大小仍然为 ，不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（ ） A．两小球同时到A、B两点 51B．带负电的小球经过 点的速度大小也为 C．两小球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为 D． 与 水平距离之比为 【模型演练6】．（2023·北京西城·北京四中校考模拟预测）如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为 m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则 小球从M运动到N的过程（ ） A．动能增加 B．机械能增加 C．重力势能增加 D．电势能增加 四．“等效重力场”中的单摆类模型 【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度L=0.4m的绝缘细绳把质 量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º． 现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放： g' 建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度” ， g g' = =1.25g 30∘ cos37∘ 方向：与竖直方向的夹角 ，大小： 由A、C点分别做绳OB的垂线，交点分别为A'、C'，由动能 定理得带电小球从A点运动到C点等效重力做功 1 mg' (L −L )=mg'L(cosθ−sinθ)= mv2 OA' OC' 2 C 52v ≈1.4 代入数值得 C m/s v 当带电小球摆到B点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为 B，绳上的拉力为F，则 1 mg' （L−Lsinθ）= mv2 2 B ① v2 F−mg' =m B L ② 联立①②两式子得 F=2.25 N 【模型演练1】如图甲所示，可视为质点的小球用长为 、不可伸长的轻绳悬挂于 点。现对小球施加水 平恒力使其从静止开始运动，轻绳拉力 大小随绳转过的角度 变化的曲线如图乙所示，图中 为已知 量，重力加速度为 ，下列说法正确的是（ ） A. 小球到达最高点时的机械能最大 B. 小球到达最高点时的加速度大小为 C. 小球运动过程中轻绳拉力的最大值为 D. 小球从开始运动到最高点，增加的机械能为 【模型演练2】.（2023·新疆·统考二模）如图所示，水平向右的匀强电场中，一根长 的不可伸长 的绝缘细线，一端连着一质量 的带电小球，另一端固定于O点。把小球拉起至A点，此时细线水 平，把小球从A点由静止释放，小球经最低点B后到达B的另一侧C点时速度为零， 与 夹角为 ， g取 。则（ ） 53A．小球一定带负电 B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，机械能先增加后减小 C．细线所受的最大拉力为 D．小球到达B点时的动能为 【模型演练3】（2023春·福建宁德·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电 场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小 球静止时细线与竖直方向成 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周 运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（ ） A．匀强电场的电场强度 B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【模型演练4】（2023·河南开封·统考三模）如图所示，空间有水平方向的匀强电场E（末画出），长为L 的绝缘轻质细线一端固定在天花板上O点，另一端系质量为m，电荷量为q的带正电小球，现由图示A位 置静止释放小球，小球沿圆弧经最低点C恰好能到达B点，已知OB与竖直方向的夹角为 且 ， 重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（ ） 54A．电场强度 B．小球在B点时的电势能最小 C．小球经过C点时对细线的拉力为 D．小球经过C点时的动能最大 【模型演练5】（2023秋·北京海淀·高三统考期末）如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为L的绝缘 细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为＋q的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与O点等 高的A点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角 的P点时速度变为0。已知 、 ，电场范围足够大，重力加速度为g，空气阻力可忽略。求： （1）小球刚释放时的加速度a； （2）小球所受电场力F； （3）P点和A点间的电势差 ； （4）小球从A运动到P的过程中，电势能的改变量 ； （5）小球通过最低点B时的速度大小 ； （6）小球速度最大时，细线与水平方向的夹角 （用 表示）； （7）小球运动过程中的最大速度 。 【模型演练6】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考期末）一长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一 端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中。开始时，将细线与小球 55拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点，速 度恰好为零。（已知重力加速度为g，答案可以带根号），求： （1）A、B两点间的电势差和电场强度大小； （2）判断小球的电性和小球到达B点时，细线对小球的拉力大小。 （3）小球由A到B过程中，细线对小球的最大拉力。 五．“等效重力场”中的圆周运动类模型 【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R 的圆 轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m的带正 √3mg q= 3E 电，电量为 小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？运动特点：小球先 在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要 求能安全通过圆轨道． 对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．等效 mg' 分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力 ，大小 2√3mg qE √3 mg' = √ (qE) 2 +(mg) 2 = tgθ= = 3 ， mg 3 ，得 θ=30° ，于是重效重力方向为垂直斜面向下， 得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型． 规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只 要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高 mv2 mg' = B R 点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重力”当好提供向心力即： 假设以最小初速度v 运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理： 0 1 1 √10√3gR −mg'2R= mv2 − mv2 v = 2 B 2 0 0 3 解得： 【模型演练1】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图所示，半径为R的双层光滑管道位于竖直平面内，质量 56为m、带电量为＋q的小球位于管道最低点A，B是最高点，空间存在水平向左、场强大小 的匀强 电场，现在A点给小球一水平初速度v，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为g，下列说法正 0 确的是（ ） A．v 的大小为 0 B．经过B点时小球受到管道外壁的压力大小为 C．经过A点时小球受到管道外壁的支持力大小为 D．若在A点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B点的速度也增大一倍 【模型演练2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中 有一个半径为R的竖直光滑圆环轨道，环内有两根光滑的轨道 和 ，A点所在的半径与竖直直径 间的夹角为 。质量为m、电荷量为q的带电小球（可视为质点）从A点静止释放，分别沿轨道 和 到达圆环上B、C两点的时间相同。现去掉轨道 和 ，如图乙所示，在C点给小球一个初速度， 让小球恰能在圆环轨道内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。下列说法正确的是 （tan37°=0.75，g=10m/s2）（ ） A．匀强电场的电场强度为 57B．甲图中小球从A点运动到C点的时间为 C．乙图中小球经过A点时的电势能和重力势能之和最大 D．乙图中小球做圆周运动过程中对环的压力最大值为 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，竖直平面内固定着一个半径为R的光滑绝缘圆环， a为圆环的最低点，c为圆环的最高点，b点与圆心O等高，该空间存在与圆环平面平行的匀强电场。质量 为m、带电量为 的小球P套在圆环上，沿环做圆周运动，通过a、b、c三点时的速度大小分别为 、 、 。下列说法正确的是（ ） A．a与b之间的电势差 B．匀强电场场强大小为 C．匀强电场的方向为a指向b D．小球运动过程中的最小速度为 【模型演练4】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，水平绝缘轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑 轨道BC平滑连接，半圆形轨道的半径R＝0.40m。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度E＝ 1.0×104N/C。现有一电荷量 ，质量m＝0.10kg的带电体（可视为质点），在水平轨道上的P 点由静止释放，已知P点与圆形轨道最低点B距离s＝2.5m。带电体与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.50， 重力加速度 ，取 。求： （1）带电体运动到圆形轨道的最高点C时，对轨道的压力大小； （2）带电体第一次经过C点后，落在水平轨道上的位置到B点的距离。 58【模型演练5】（2023·全国·二模）在水平向右足够大的匀强电场中，大小可忽略的两个带电小球A、B分 别用不可伸长，长度均为l的绝缘轻质细线悬挂在同一水平面上的M、N两点，并静止在如图所示位置， 两细线与电场线在同一竖直平面内，细线与竖直方向夹角均为 。已知两小球质量都为m，电荷量均 为q且带等量异种电荷，匀强电场的场强大小 ，重力加速度大小为g，取 ， 。求 （1）A、B两小球之间库仑力的大小； （2）保持小球B的位置和带电量不变，移除A小球后，将小球B由静止释放，求B小球此后运动过程中 速度的最大值。 【模型演练6】（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）如图所示，竖直平面内有一半径为L，圆 心为O的圆，AB为水平直径，CD为竖直直径。长为L的轻质细线一端系小球，另一端固定在圆心O。可 视为质点的小球的带电量为+q、质量为m。方向水平向右、场强大小为E的匀强电场与圆平面平行，且 qE=mg。 （1）若小球从C点静止释放，在运动过程中，细线与竖直方向的最大夹角是多少？ （2）要使小球做完整的圆周运动，在C点小球至少应该以多大的速度水平抛出？ （3）若小球从A点静止释放，经过B点时绳子的拉力是多少？ （4）若小球从A点以 竖直上抛，再次经过圆周时的位置？ 59【模型演练7】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，竖直平面内有一半径R=0.4m的竖直光滑绝缘圆弧 轨道BCD和绝缘粗糙水平轨道在B点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OC和OD之间的夹角为 θ=37°，整个装置处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小E=500N/C，场强方向与粗糙水平轨道平行。 质量为m=40g、电荷量为q=+6×10-4C的带正电的小滑块从A点由静止释放，小滑块恰好能通过竖直光滑绝 缘圆弧轨道BCD。已知小滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.5，小滑块可视为质点，sin37°=0.6，g取 10m/s2。求 （1）小滑块在通过圆弧轨道BCD中的最小速率； （2）小滑块第一次通过B点时对轨道的压力大小； （3）A、B点间的距离。 【模型演练8】（2023·北京通州·高三统考期末）如图所示，长度为l的绝缘轻绳上端固定在O点，下端系 一质量为m，电荷量为＋q的小球。现加一水平向右的匀强电场，当绝缘轻绳处于与竖直方向成 角的位 置A处时，小球刚好处于静止状态（已知重力加速度为g， ， ，不计小球受到的空 气阻力）。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）若轻绳被剪断，则绳剪断瞬间小球的加速度a； （3）现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B无初速度释放， 求小球通过最低点时的速度大小v。 60【模型演练9】（2023秋·北京海淀·高三统考期末）如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为L的绝缘 细线一端悬于O点，另一端系一质量为m、电荷量为 的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与O点等 高的A点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角 的P点时速度变为零。已知 、 ，空气阻力可忽略，重力加速度为g。求： （1）电场强度的大小E； （2）小球从A运动到B的过程中，电场力做的功W； （3）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力大小F。 【模型演练10】（2023·北京海淀·高三北京市十一学校校考阶段练习）如图所示，空间中存在水平向右的 匀强电场，场强大小为E，一带电小球质量为m，轻质悬线长为l，在B点静止时与竖直方向夹角 ， 重力加速度为g。已知 ， ，问： （1）小球带何种电荷？电荷量为多少？ （2）把小球向右拉至细线水平位置后（A点）由静止释放，求小球过最低点C时对悬线的拉力大小； （3）若把细线剪断，将小球从某点以初速度 竖直向上抛出，求小球在运动过程中的最小速率。 61专题 15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型 一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述 基本思路 图例 说明 P、M点速度垂线交点 ①与速度方向垂直的 直线过圆心②弦的垂 圆心的确定 直平分线过圆心③轨 迹圆弧与边界切点的 法线过圆心 P点速度垂线与弦的垂直平 分线交点 62某点的速度垂线与切点法线 的交点 常用解三角形法：例：(左 图) 利用平面几何知识求 半径的确定 半径 R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求 得R＝ 利用轨迹对应圆心角θ (1)速度的偏转角φ等于 或轨迹长度L求时间 所对的圆心角θ 运动时间的确定 ①t＝T (2)偏转角φ与弦切角α的关 系：φ<180°时，φ＝2α； ②t＝ φ>180°时，φ＝360°－2α 二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示) 图a中粒子在磁场中运动的时间t＝＝ 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－)T＝(1－)＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【模型演练1】（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在 的区域内存在 与 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为 。一束速率等于 的相同带电粒子从原点 发射，速度 方向与 轴正方向的夹角等概率的分布在 范围内。其中，沿 轴正方向发射的粒子从磁场右边界上 的 点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为 。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ） 63A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为 D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的 【模型演练2】如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在t ＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围 内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t 时刻刚好从磁场右边界上P(3a，a)点离开磁场，不计粒子重力， 0 下列说法正确的是( ) A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a B．粒子的发射速度大小为 C．带电粒子的比荷为 D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t 0 【典例分析3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v 从磁场区域左侧沿x 0 轴进入磁场，不计重力． (1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的 64最小值B ； m (2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴 正方向的夹角及该点到x轴的距离． 【模型演练4】(2023·湖北宜昌市四月调研)如图甲所示的平面直角坐标系中， 轴上方有磁感应强度大小 为 、垂直纸面向外的匀强磁场，在 点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为 ， 粒子射入磁场的速度方向与 轴正方向的夹角 范围为 。粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。 图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与 轴的交点为 ，外边界与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 。下列判断正确的是（ ） A．粒子带负电 B．粒子源放出的粒子的比荷为 C． 的长度为 D．从E点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间只能为 【模型演练5】（2023·重庆·高三统考学业考试）如图所示， 平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向 里，磁感应强度大小 的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M点为x 65轴正方向上一点， 现有一个比荷大小为 ，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从 挡板下端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计， 碰撞时电荷量不变，微粒最后都能经过M点，则微粒射入的速度大小可能是（ ） A． B． C． D． 【模型演练6】（2023·全国·高三专题练习）如图，一磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面 （xOy平面）向里，磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点；SP = l，S与屏的距离为 ， 与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场，该粒子入 射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为（ ） A． B． C． D． 66三．平行边界磁场模型 【运动模型】 平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t＝，t＝＝ 1 2 图b中粒子在磁场中运动的时间t＝ 图c中粒子在磁场中运动的时间 t＝(1－)T＝(1－)＝ 图d中粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ 【模型演练1】.(多选)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度v 和v 射入匀强磁场，两粒子的入射方向与 a b 磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则( ) A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．两粒子的轨道半径之比R∶R＝∶1 a b C．两粒子的质量之比m∶m＝1∶2 a b D．两粒子的质量之比m∶m＝2∶1 a b 【模型演练2】如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里． 一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v 进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且 0 OO′与MN垂直．下列判断正确的是 ( ) A．电子将向右偏转 67B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d C．电子打在MN上的点与O′点的距离为d D．电子在磁场中运动的时间为 【模型演练4】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图所示为宽度为L、磁感应强度大小为 B的有界匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向外，长度足够长。在下边界O处有一个粒子源，沿与边界成 60°角方向连续发射大量的速度大小不相同的同种带正电粒子，速度方向均在纸面内。已知以最大速度v射 入的粒子，从磁场上边界飞出经历的时间为其做圆周运动周期的 。不计粒子的重力及粒子间的相互作用， 则下列判断正确的是（ ） A．粒子的比荷为 B．粒子在磁场中运动的周期为 C．在下边界有粒子飞出的长度为 L D．从上边界飞出的粒子速度大小范围为 四．圆形边界磁场模型 【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示) 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝ θ＋α＝90° 681． 圆形有界磁场问题（1） 正对圆心射入圆形磁场区域 正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有 →磁偏转半径 ，根据半 径公式 求解；时间 。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。 若r=R，构成正方形。 2． 圆形有界磁场问题（2） 不对圆心射入圆形磁场区域 两个等腰三角形，一个共同的底边 若r=R，构成菱形 【模型演练1】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中有垂直于纸面向 外的匀强磁场．一带电微粒从图中A点以水平速度 垂直磁场射入，速度的方向与过圆心及A点的直线成 角，当该带电微粒离开磁场时，速度方向刚好改变了 角．不计微粒重力，下列说法正确的是 （ ） 69A．该微粒带正电 B．该微粒带负电 C．该微粒在磁场中运动的半径为 D．该微粒在磁场中运动的时间为 【模型演练2】（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图所示，O点为半圆形区域的圆心，该 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，ON为圆的半径，长度为R，从圆上的A点沿AO方 向以速度v射入一个不计重力的粒子。粒子从N点离开磁场。已知 。下列说法正确的是 （ ） A．粒子带正电荷 B．粒子做圆周运动的半径为R C．粒子的比荷为温 D．粒子射出磁场时速度偏转角为 【模型演练3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边 界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不 同的速率从O点在纸面内沿与ON成 角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到 的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 70B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为 C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为 D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场 【模型演练4】（2023·山西阳泉·统考三模）如图所示，半径为 的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁 场，磁感应强度为 ，今有一质量为 （不计重力），带电量为 的离子以某一速度沿平行于直径 的方向射入磁场区域，射入点 与 间距离为 ，（ ） A．若该离子在磁场中的运动半径为 ，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心 B．若该离子在磁场中的运动半径为 ，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于 C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为 D．若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为 【模型演练5】（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面 的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向 射入磁场，粒子1沿直线PM通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的 N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ） 71A．粒子1可能为质子 B．粒子2可能为电子 C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 【模型演练6】（2023·四川南充·统考三模）如图，圆形虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场， 是以不同速率对准圆心入射的正电子或负电子的运动径迹，a、b、d三个出射点和圆心 的连线与竖直方向分别成 角，下列判断正确的是（ ） A．沿径迹 运动的粒子均为正电子 B．沿径迹 运动的粒子在磁场中运动时间最短 C．沿径迹 运动的粒子在磁场中运动时间之比为2∶1 D．沿径迹 运动的粒子动能之比为3∶1 【模型演练7】（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考三模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为 R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点 处的P点沿着与 连线成 的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不 考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ） 72A． B． C． D． 【模型演练8】（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的 圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点， ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v（v 大小未知）沿平行于x轴正方 0 0 向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（ ） A．该粒子的速度为 B．该粒子从b点运动到a点的时间为 C．以 从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以 从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 【模型演练9】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内存在一垂直纸面向里 的匀强磁场，直径ab水平。电子带电荷量为 、质量为m，以速率v从a处始终沿纸面射入磁场，当电 子在a处的速度方向与aO夹角为30°、斜向下时，离开磁场时的速度方向相比进入时的改变了60°。不计 电子的重力，下列说法正确的是（ ） 73A．圆形区域中磁场的磁感应强度大小为 B．改变入射方向，当电子经过O点时，电子在磁场中的运动时间为 C．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向不变 D．改变入射方向，电子离开磁场时的速度方向可能改变 五．环形磁约束模型 【模型构建】 临界 圆 临界 勾股定理(R-R)2=R2+r2 2 1 1 半径 解得： 【模型演练1】（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）某粒子加速器位于竖直平面内，剖面图如图所示， 圆筒内外直径分别为D和2D，O为圆心，水平直径GH以上部分是偏转区，以下是回收区，偏转区存在垂 直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属板间有匀强电场，上板开有小孔，大量的质量为m、电荷 量为 的粒子由上极板下方 处的P点静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度 射出电场，由H点仅 74靠大圆内侧射入磁场，偏转后进入回收区，不计粒子重力，粒子若撞到内外桶壁会被吸收，则（ ） A．电场强度大小为 B．若磁感应强度满足 ，粒子一定可以进入回收区 C．若磁感应强度满足 ，粒子可能进入回收区 D．进入回收区的粒子在磁场中的运动时间全都相同 【模型演练2】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，半径分别为R和2R的 同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强 度大小为B。一质量为m、电荷量为 q（ ）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场， 粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有 “人造太阳”之称的全超导托卡马克大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国 际热核聚变实验堆和未来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在 75某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为 ，外半径为 ，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域 内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约 束在半径为 的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电 粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面 内圆半径 ，外圆半径 ，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度 大小 ，被束缚的带正电粒子的比荷 ，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O 点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。 （1）求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v。 0 （2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度 沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子从某点进入 磁场到其第一次回到该点所需要的时间。 （3）若要使束缚效果最好，应在半径为 的圆内也加上磁场，则该磁场的磁感应强度 要与B的方向相 同还是相反？在取得最大束缚效果的情况下，若 =2B，为使粒子不能射出半径为 的圆形区域，求粒子 速度的最大值 。 76六．三角形或四边形边界磁场模型 【模型演练1】（2023·广西南宁·南宁三中校考二模）如图所示，A、C两点分别位于x轴和y轴上， ， 的长度为L。在 区域内（包括边界）有垂直于 平面向里的匀强磁场。质量为 m、电荷量为q的带电粒子，以各种不同的速度垂直 边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 。不计重力。下列说法正确的是（ ） A．带电粒子带负电 B．磁场的磁感应强度的大小为 C．从 中点射入磁场的带电粒子可以从C点出射 D．能从 边射出的带电粒子最大射入速度是 【模型演练2】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向 77里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l， 为 ，一群比荷为 的带负电粒子以相同速度从C点 开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运 动的时间为 ，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为 ，则（ ） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨道半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【模型演练3】（2023·湖南·高三专题练习）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁 场，电场方向竖直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域（区域Ⅱ）内 存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和 磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动 的粒子才能进入区域Ⅱ、若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B，区域Ⅱ中磁感应强度大小 1 为B，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t 若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ 2 0. 中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是 （ ） 78A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B，则t>t 1 0 B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t 0 C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ，则 D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为 ，则 【模型演练4】（2023·安徽·模拟预测）如图，一个边长为l的正方形 区域内存在垂直于纸面向外的 匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、带电量为 的粒子以某一速度从M点垂直于磁 场射入，粒子恰好从 的中点射出磁场。已知粒子射入磁场时的速度方向与 的夹角为 ，不计粒子 重力，粒子射入磁场的速度大小为（ ） A． B． C． D． 79七．数学圆模型在电磁学中的应用 模型一 “放缩圆”模型的应用 速度方向一 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带 定，大小不 电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 同 适用 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越 条件 轨迹圆圆心 大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁 共线 场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 PP′上 界定 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件， 方法 这种方法称为“放缩圆”法 【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图 9中虚线所示， 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量 为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用． 在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( ) A. B. C. D. 【模型演练2】.(多选)(2020·山东潍坊市检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入 横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( ) A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长 B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大 C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合 80D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同 【模型演练3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边 界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不 同的速率从O点在纸面内沿与ON成 角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到 的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ） A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为 C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为 D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场 【模型演练4】（2023·高三课时练习）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长 为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处由一质子源，能沿 ∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷 ，则 质子的速度可能为（ ） 81A． B． C． D． 模型二 “旋转圆”模型的应用 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进 入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半 速度大小 适用 径相同，若射入初速度为v，则圆周运动半径为R 0 一定，方 条件 ＝。如图所示 向不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射 轨迹圆圆心共圆 点P为圆心、半径R＝的圆上 界定 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种 方法 方法称为“旋转圆”法 【模型演练1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场中有 一固定竖直挡板，挡板足够长，P处有一粒子源，PO连线垂直挡板，P到O的距离为L。粒子源能垂直磁 场沿纸面向各个方向发射速度大小均为v的带正电粒子。粒子质量均为m，电荷量均为q，到达挡板的粒 子都被吸收，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 （1）若有粒子能到达挡板，求磁感应强度大小B应满足的条件； （2）若粒子到达挡板上侧最远处为M点，下侧最远处为N点，且 ，求磁感应强度的大小B。 【模型演练2】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，空间存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为 的 匀强磁场，粒子源 可沿纸面向各个方向以相同的速率发射质量为 、带电荷量为 的正粒子，一薄光屏 82与纸面的交线为PQ，OQ L，PQ L， 。要使 左、右两侧所有点均能被粒子打中，则粒子的 速率至少为（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·江西九江·统考三模）如图所示，S为一离子源， 为足够长的荧光屏，S到 的距离为 ， 左侧区域有足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。某时刻 离子源S一次性沿平行纸面各个方向均匀地喷发大量的质量为m、电荷量为q、速率为 的正离子（此 后不再喷发），不计离子重力，不考虑离子之间的相互作用力。则（ ） A．打中荧光屏的最短时间为 B．打中荧光屏的最长时间为 C．打中荧光屏的宽度为 D．打到荧光屏的离子数与发射的离子数比值为 【模型演练4】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）空间存在匀强磁场，磁感应强度大小 为B，方向垂直于纸面，线段 是屏与纸面的交线，长度为 ，其左侧有一粒子源S，可沿纸面内各个 方向不断发射质量为m、电荷量为q、速率相同的粒子； ，P为垂足，如图所示，已知 ，若 上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率至少为（ ） 83A． B． C． D． 模型三 “平移圆”模型的应用 速度大小一 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在 定，方向一 同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆 定，但入射 适用条 周运动的半径相同，若入射速度大小为v，则半径R 0 点在同一直 件 ＝，如图所示 线上 轨迹圆圆心 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连 共线 线平行 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移 界定方法 圆”法 【模型演练1】如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为 d，∠B＝。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知 垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为t(不计粒子 重力)。则下列说法正确的是( ) A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为d D．粒子进入磁场时的速度大小为 【模型演练2】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场， 84恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出 磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t ，由P点运动到M点所用时间为t(带电粒子 1 2 重力不计)，则t∶t 为( ) 1 2 A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．∶ 模型四 “磁聚焦”模型 1．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场 圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发 出的带电粒子必然经过B点． 2．带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子， 以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场 半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心 O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形， OA(OB、OC)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)． 1 2 3 【模型演练1】(多选)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长 的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点 P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速 度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为 m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重 力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( ) 85A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短 B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长 C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上 D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于 【模型演练2】（2023·湖南株洲·校联考模拟预测）科学工作者通过电场和磁场来控制带电粒子的运动。如 图所示，在xOy平面内，有一个半径为R的圆形区域和边长为2R的正方形区域，在这两个区域里加入匀 强电场或匀强磁场就可以控制带电粒子的运动。圆形区域的圆心A的坐标是（R，0），MN是圆的直径， 正方形区域中心的坐标是（R，－2R），圆和正方形相切于N点。在 范围内有宽度为R的粒子 束平行于x轴射入圆形区域，粒子束的速度大小均为 。已知圆形区域内存在沿y轴负方向的匀强电场， 正方形区域内加上垂直于纸面向里的匀强磁场，粒子的质量为m，电荷量为＋q，重力不计。 （1）若经过O点的粒子刚好偏转经过N点，求电场强度E的大小。 （2）在满足（1）的条件下，若经过N点的粒子刚好垂直于正方形边界离开，求正方形区域内磁感应强度 B的大小。 （3）若把原来的圆形区域和正方形区域里的场都去掉，在圆形区域里加上垂直纸面向外的匀强磁场，在 正方形区域里加上垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 ，且所有粒子汇聚于N点，最终从正 方形区域右边界离开，求粒子从正方形区域右边界离开时的位置对应的长度 。 【模型演练3】（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，以O点为坐标原点在竖直面内建立坐标系，Oa、cd是 86两个线状粒子放射源，长度均为L=1m，放出同种带正电的粒子，粒子电荷量为 ，粒子的质量 为 ，其中Oa发出的所有粒子初速度为零，cd发出的所有粒子初速度均为 ，方 向水平向右，带电粒子的重力以及粒子之间的相互作用均可忽略。曲线ob的方程为 ，在曲线Ob与 放射源Oa之间存在竖直向上、场强E大小为 的匀强电场；第一象限内、虚线eb的上方有垂直 纸面向里、磁感应强度为 的匀强磁场I；第二象限内以O为圆心、L长为半径的四分之一圆形区域内有 垂直纸面向里、磁感应强度为 的匀强磁场II。图中的Oe、ab、Oc、eb、ed的长度均为L。观察发现： Oa发出的所有粒子均从同一点离开匀强磁场I，cd发出的所有粒子在匀强磁场II的作用下也汇聚于同一点， 即该点可接收到两个粒子源发出的所有粒子。在所有粒子到达汇聚点的过程中，求： （1）粒子放射源Oa发出粒子进入匀强磁场I时的最大速度； （2）匀强磁场I、II的磁感应强度 、 的大小； （3）Oa、cd两个放射源中点M、N发出的粒子在磁场中的运动时间之比。 87专题 16 带电粒子在组合场、复合场中的运动模型 一.带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现． 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段． 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示． 第3步：用规律 88二．磁场与磁场的组合模型 【运动模型】磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的 速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线 的特点，进一步寻找边角关系． 【模型演练1】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所示，在y轴两侧有垂直于纸面向 外的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为 和 ，且 。坐标原点O处有一个质量为M、处 于静止状态的中性粒子，分裂为两个带电粒子a和b，其中粒子a的电荷量为 ，质量 （ 可以 取0~1的任意值）。分裂时释放的总能量为E，并且全部转化为两个粒子的动能。不计粒子重力和粒子之 间的相互作用力，不计中性粒子分裂时间和质量亏损，不考虑相对论效应。设a粒子的速度沿x轴正方向， 求： （1）粒子a在磁场 、 中运动的半径之比k； （2） 取多大时，粒子a在磁场 中运动的半径最大，以及此时的最大半径； （3）若a粒子的速度沿右上方与x轴正方向夹角为 ， 取多大时，两粒子会在以后的运动过程中相遇。 （已知若 ，则取 ） 89【模型演练2】（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，y方向足够长的两个条形区域，宽度分别为l 1 和l ，两区域分别分布着磁感应强度为 和 的磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外，磁 2 碱应强度 ，现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度 不断沿x轴正方向射入磁场，由 于 的大小在0-0.5T范围内可调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出。已知带电粒子的电量 C。 质量 ，不考虑带电粒子的重力，求： （1）要使粒子能进入 的磁场， 应满足的条件； （2）粒子在条形区域内运动的最短时间t； （3）粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标y。 【典例分析3】如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场．在x≥0 区域，磁感应强度的大小为 B ；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB (常数λ＞1)．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子以速度v 0 0 0 从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：(不计重 力) (1)粒子运动的时间； (2)粒子与O点间的距离． 90【模型演练4】如图所示，虚线 上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场 ，下方 存在方向相同、磁感应强度大小为 的匀强磁场 ，虚线 为两磁场的分界线。 位于分界 线上，点 为 的中点。一电子从 点射入磁场 ，速度方向与分界线 的夹角为 ，电子离开 点后依次经 两点回到 点。已知电子的质量为 ，电荷量为 ，重力不计，求： (1) 的值； (2)电子从射入磁场到第一次回到 点所用的时间。 【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所 示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在 磁感应强度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ 1 2 的下边界与x轴重合。位于 处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60° 的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v 及其在磁场中的运动时间t； 1 （2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度v； 2 （3）若 ，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 范围，求进入第四象限 的离子数与总离子数之比η。 91【模型演练6】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向 里的匀强磁场。t = 0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运 动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动 一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有 碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影 响。求： （1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小； （2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小； （3） 时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到 的过程中粒子乙运动的路程。 （本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 三．先电场后磁场模型 【运动模型】 1.带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图. 2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图. 92【模型演练1】（2023春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示， 为一正方形区域， 边长为d，一带正电的粒子从 中点 沿着垂直 方向以速度 进入。若在该区域加一垂直 向下 的匀强电场，粒子恰好从 点射出；若撤去电场，在该区域加一垂直 平面的向里的匀强磁场，带电 粒子仍从 中点 沿着垂直 方向以速度 进入，恰好从 点射出。不计粒子重力，已知粒子的比荷 为 ，求： （1）电场强度的大小； （2）磁感应强度的大小。 【模型演练2】（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图 粒子源可以每秒发射出 个 粒子， 其初速度均为 ，进入电压为 的加速电场，从电场中射出后与静止在反应区A点 的铍核 发生核反应，两个反应产物垂直于边界飞入探测区、探测区有一圆形磁场和粒子探测器、圆形磁 场半径为 ，其内存在磁感应强度为 的匀强磁场，圆形磁场边界与 相切，探测器与 平行且距圆心距离为 。实验中根据碰撞点的位置便可分析核反应的生成物。为简化模型，假 设每个粒子均可与铍核发生核反应，实验中探测器上有两个点（ 点和 点）持续受到撞击，点 在一直线上，且 ，打在 点粒子 穿透探测器， 被探测器吸收，其中穿透的粒子能量损 失 ，打在 点的粒子全部被吸收。已知质子和中子的质量均为 ，原子核的质量为核子 93的总质量，质子电量为 ，不计粒子间相互作用（核反应过程除外）求： （1） 粒子射出加速电场后的速度大小； （2）完成 粒子与铍核发生核反应方程： （3）判断打在 点的分别是什么粒子，计算其速度大小； （4）探测器上 点每秒受到的撞击力大小。 【模型演练3】（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考三模）如图所示， 和 为竖直方向的平行边 界线，水平线 将两边界围成区域分为上下两部分，其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场，Ⅱ区域内为 垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从左边界A点以初速度 垂直边界进入 Ⅰ区域，从C点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域。已知 ， ，粒子重力不计： （1）求Ⅰ区域匀强电场强度E的大小； （2）若两竖直边界线距离为4h，粒子从Ⅱ区域左边界射出，求Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围； 【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间 距离的 倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外 的匀强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v 水平向右射入两板间，恰好从下板边缘 0 94P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为 ，不计粒子重力。 （1）求金属板间电势差U； （2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； （3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画 出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。 【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在 ， 的区域中，存在沿y轴正 方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量 为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。 （1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁 感应强度B的大小； （2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点 第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。 （i）求改变后电场强度 的大小和粒子的初速度 ； （ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。 四．先磁场后电场模型 【模型构建】(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)． 95(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)． 【模型演练1】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图所示，xOy坐标系的第一象限，一等腰 三角形OAC，底角为53°，底边长为14L，内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在OC边 界的左侧有与y轴平行的匀强电场，D是底边OA的中点。质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以一定的 初速度，从OA边上的D点沿y轴正方向垂直射入磁场，恰好从OC边上某点沿着与x轴平行的方向射入匀 强电场（不计粒子的重力），求： （1）粒子的速度大小； （2）粒子离开磁场后，经过x轴上N点（图中没有标出），已知NO=5L，求匀强电场的电场强度； （3）求粒子从D点到达N点所经历的时间。 【模型演练2】（2023春·河南·高三校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系 轴上方有磁感应强度大 小不变的匀强磁场，在 轴下方有平行于 平面的匀强电场，且与 轴成 角斜向右上方。一个质量 为 、电荷量为 的带正电粒子，以初速度 从 轴上 点沿 轴正方向射出， ，若磁场方向垂 直坐标平面向外，则粒子第一次经过 轴进入电场和第二次经过 轴的位置均在 点（未画出）；若磁场 方向垂直坐标平面向里，则粒子第二次经过 轴的位置也在 点，不计粒子的重力，求： （1）匀强磁场的磁感应强度 大小； （2）匀强电场的电场强度 大小； （3）若磁场方向垂直坐标平面向外，粒子从 点射出到第三次经过 轴所用的时间。 96【模型演练3】（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）如图所示，在x轴上方存在磁感应强度 为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在x轴下方存在竖直向上的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q、 重力不计的带正电粒子从y轴上的P（0，h）点沿y 轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子与x 轴正方向成θ=60°第一次进入电场。求： （1）粒子在磁场中运动的轨道半径r和速度大小v； （2）若粒子经过y轴上Q点时速度方向恰好与y轴垂直，匀强电场的电场强度大小E； （3）粒子返回出发点P所用的总时间t。 【模型演练4】（2023·青海西宁·统考二模）如图所示，在 平面内的第二象限有一个圆形匀强磁场区域， 其边界与 轴相切于 （ ， ）点，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为 ，磁场区 域的半径为 ，第一象限内有一条抛物线 （图中虚线所示）， （ ， ）是 轴上的一点抛 物线 上方存在沿 轴负方向的匀强电场，场强 ，从A点向第二象限发射大量带正电的 某种粒子，粒子的速率均为 （未知），质量均为 ，电荷量均为 ，所有粒子均可 到达P点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 97（1）已知粒子1沿与 轴正方向成 的方向进入磁场后平行于 轴从磁场中射出，求初速度 的大 小； （2）粒子2沿与 轴正方向成 的方向进入磁场，求它从A点运动到P点所用的时间t（结果保留2 位有效数字）。 【模型演练5】（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图所示，在xOy平面内，x轴与MN边界之间有垂直纸 面向里的匀强磁场，磁场区域的宽度为d，x轴下方和MN边界上方的空间有两个匀强电场，场强大小均为 E，方向与y轴平行。 时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子从O点射入磁场，速度大小为v，方向 与x轴正方向夹角为 ，然后恰好垂直于MN边界进入上方电场，粒子重力不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小B； （2）粒子第一次经过MN边界时的位置坐标； （3）粒子射出以后经过x轴的时刻t。 98五．带电粒子在组合场中运动的应用---质谱仪模型 【模型构建】 1．作用 测量带电粒子质量和分离同位素的仪器． 2．原理(如图所示) (1)加速电场：qU＝mv2； (2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r； 由以上两式可得r＝ ， m＝，＝. 【模型演练1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图甲所示为质谱仪工作的原理图，已知质量为m、电荷 量为q的粒子，从容器A下方的小孔飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，经电场加速后，由 小孔S沿着与磁场垂直的方向，进入磁感应强度为B的匀强磁场中。粒子在S点的速度与磁场边界垂直， 最后打在照相底片上的P点，且 。忽略粒子的重力，通过测量得到x与 的关系如图乙所示，已 知斜率为k=0.5，匀强磁场的磁感应强度B为 ， ，则下列说法中正确的是（ ） A．该粒子带负电 99B．该粒子比荷为 C．该粒子在磁场中运动的时间约为 D．若电压U不变，打到Q点的粒子比荷大于打到P点的粒子 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）1922年英国物理学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱 的研究荣获了诺贝尔化学奖。若一束粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，在乳胶片上形成三个 点a、b、c，则下列说法中正确的是（ ） A．速度选择器的 极板带负电 B．打在a处的粒子的比荷 较大 C．打在c处的粒子运动时间最长 D．打在c处的粒子运动速度最大 【模型演练3】质谱仪是一种测量带电粒子比荷的仪器，某型号质谱仪的内部构造如图所示，M、N板间存 在电压为U 的加速电场，半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，光屏放置于圆形磁场区 0 域右侧，光屏中心P到圆形磁场区域圆心O的距离为2R。带电粒子从S点由静止飘入M、N板间，经电场 加速后进入圆形磁场区域，在磁场力作用下轨迹发生偏转，最终打在光屏上的某点，测量该点到P点的距 离，便能推算出带电粒子的比荷.不计带电粒子的重力。 （1）若带电粒子为电子，已知电子的电荷量为e，质量为m，求电子经过电场加速后的速度大小v及电子 0 在磁场中运动的轨迹半径r； （2）若某种带电粒子通过电场加速和磁场偏转后，打在光屏上的Q点，已知P点到Q点的距离为 R，求该带电粒子的比荷 及其在磁场中运动的时间t。 100【模型演练4】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在芯片制造过程中，离子注入是其中一 道重要的工序。如图所示的是离子注入原理的示意图，离子经电场加速后沿水平方向进入速度选择器，速 度为的离子射出后进入磁分析器Ⅰ，只有特定比荷的离子才能进入偏转系统Ⅱ，再注入水平放置的硅片上。 磁分析器Ⅰ中的匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，磁分析器Ⅰ的截面是矩形，矩形的 长为 ，宽为 ，在其宽和长的中心位置C和D处各有一个小孔；半径为L的圆形偏转系统Ⅱ内 存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小可调的匀强磁场，D、M、N在一条竖直直线上， 为圆形偏转 系统的直径，最低点M到硅片的距离 ，不计离子重力。 （1）求能通过D点进入磁偏转系统的离子的比荷； （2）若偏转系统磁感应强度大小的取值范周为 ，求硅片上离子往入的宽度。 【模型演练5】（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学统考学业考试）如图所示，一质量为 、电 101荷量为 的粒子从静止开始经加速电压为 的电场加速后，进入速度选择器，速度选择器中的匀强 磁场的磁感应强度大小为 ，粒子射出速度选择器后进入静电分析器，静电分析器两端中心位置 和 处各有一个小孔，通道中心轴线的半径为 ，通道内存在均匀辐向电场，粒子从 孔射出后沿半径方向进 入环形匀强磁场且刚好未进入小圆区域。已知环形磁场的外半径为 ，内半径为 。可能用到的数据 。求： （1）速度选择器和静电分析器中的电场强度大小 和 ； （2）环形磁场的磁感应强度的大小 ； （3）粒子在环形磁场中的运动时间 。 六．带电粒子在组合场中运动的应用---回旋加速器模型 1．构造： 如图所示，D、D 是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源． 1 2 2．原理： 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次． 1023．最大动能： 由qv B＝、E ＝mv 2得E ＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关． m km m km 4．总时间： 粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总 时间t＝T＝·＝. 【模型演练1】（2023·广东广州·统考模拟预测）1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理 如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D、D 构成，其间留有空隙，现对核（ ）加速，所需的高频 1 2 电源的频率为f，已知元电荷为e，下列说法正确的是（ ） A．被加速的带电粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径增大而增大 B．高频电源的电压越大，氚核最终射出回旋加速器的速度越大 C．氚核的质量为 D．在磁感应强度B和频率f不变时，该加速器也可以对氦核（ ）加速 【模型演练2】（2023·福建南平·统考模拟预测）回旋加速器工作原理如图所示，置于真空中的两个半圆形 金属盒半径为R，两盒间留有一狭缝接有频率为f的高频交流电，加速电压为U，磁感应强度为B的匀强磁 场与盒面垂直。若A处粒子源产生的氘核 在狭缝中被加速，不考虑相对论效应和重力的影响，不计粒 子在电场中的加速时间。则（ ） 103A．氘核离开回旋加速器时的最大速率随加速电压U增大而增大 B．氘核被加速后的最大速度可能超过 C．氘核第n次和第 次经过两金属盒间狭缝后的轨道半径之比为 D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，该回旋加速器也能加速 粒子 【模型演练3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022年12月28日我国中核集团全面完成 了230MeV超导回旋加速器自主研制的任务，标志着我国已全面掌握小型化超导回旋加速器的核心技术， 进入国际先进行列。如图所示，图甲为该回旋加速器的照片，图乙为回旋加速器工作原理示意图，置于真 空中的D形金属盒半径为R，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，交流加速电压为U。圆心A处粒子 源产生初速度为零，质量为m，电荷量为q的质子，质子在加速器中被加速。忽略质子穿过两金属盒间狭 缝的时间，忽略相对论效应和重力的影响，下列说法正确的是（ ） A．保持B、R、U及交流电频率均不变，该装置也可用于加速氘核和氚核 B．若增大加速电压U，质子从D型盒出口射出的动能增大 C．质子从D型盒出口射出时，加速次数 D．质子第n次加速后和第 次加速后的运动半径之比为 【模型演练4】（2023·北京·高三专题练习）回旋加速器的示意图如图所示。它由两个铝制D型金属扁盒 组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在 盒中 心A处有粒子源，它产生并发出带电粒子，经狭缝电压加速后，进入 盒中。在磁场力的作用下运动半个 圆周后，垂直通过狭缝，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期 与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达 D型盒的边缘，以最大速度被导出。已知某粒子所带电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为 104U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计。设该粒 子从粒子源发出时的初速度为零，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，忽略相对论效应，求： （1）交变电压的周期T； （2）粒子被加速后获得的最大动能 ； （3）粒子在回旋加速器中运动的总时间。 七．带电粒子在叠加场中的运动模型 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存． 2．无约束情况下的运动 (1)洛伦兹力、重力并存 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动． ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此 可求解问题． (2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子) ①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动． ②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解 问题． (3)电场力、洛伦兹力、重力并存 ①若三力平衡，一定做匀速直线运动． ②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动． ③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动 能定理求解问题． 3．有约束情况下的运动 带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动， 此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量 守恒定律结合牛顿运动定律求解． 105【模型演练1】（2023·全国·高三专题练习）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内 存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电 子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v 时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v 时，电子的 0 0 运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为 ，求运动到速度为 时位置的纵坐标y； 1 （3）若电子入射速度在0 < v < v 范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数 0 N 的百分比。 0 【模型演练2】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，在光滑绝缘水平面上有一平面直角 坐标系xOy，x < 0区域有方向垂直平面向外的匀强磁场I：x > 0区域有方向垂直平面向外的匀强磁场II和 沿y轴负方向的匀强电场E。管壁光滑、厚度不计的绝缘直细管两端分别固定在A（ ，0）、B（0， L）两点。一质量为m、带电荷量为q的带正电小球（直径略小于管的内径）从管口A处以某一初速度沿 AB方向射入管中，从B点射出管口时的速率为v，然后沿水平面运动，通过y轴上的C点时撤去电场，小 球在第一象限运动后恰好从A处进入第四象限。已知磁场I的磁感应强度大小 ，电场的场强大 小 。 （1）求小球从管口A射入时的初速率v 以及B、C两点间的距离y； 0 0 （2）求磁场II的磁感应强度大小B 以及小球第一、二次通过B处的时间差t； 2 （3）若小球过B点后第一次运动到第一象限且与x轴距离最大时撤去AB，且恢复匀强电场、但场强大小 106变为 ，求小球速度的最大值v 以及小球速度最大时与x轴间的距离y。 max 1 【模型演练3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图所示，光滑绝缘的水平面上放置一个 质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为点电荷）。在竖直平面内存在匀强磁场和匀强电场，y轴左侧电 场方向水平向右，无磁场，y轴右侧电场方向竖直向上，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。 两侧电场强度大小相等，均为 、现将小球从左侧距O点为L的A点由静止释放，若小球第一次落回地 面时落到A点附近。 （1）求小球第二次经过y轴时与O的距离d： （2）小球从开始运动到第二次经过y轴后速度达到最小所用的时间t。 【模型演练4】（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，水平面内存在着两个边长均为 的相邻正方形区域 和 ．在正方形区域 内存在着沿 方向的匀强电场，电场强度大小为 ，在矩形区域 内 存在着竖直向上的匀强磁场。在 右侧紧挨着 的某矩形区域内（含边界）存在着竖直方向上的另一匀 强磁场（未画出）。现有一质量为 、电荷量为 的带正电粒子（不计重力），从 的中点 以初速度 （大小未知）沿 方向水平射人 区域，粒子在该区域内沿直线运动，进入 区域后从 点离开， 并进入 右侧的另一磁场区域中，粒子在该磁场中偏转，经过一段时间后，恰从 点进入 区域中。求： 107（1）粒子的初速度大小 ； （2） 右侧矩形区域磁场的最小面积。 【模型演练5】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图所示，在以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴 正方向的直角坐标系中，有Ⅰ、Ⅱ两个区域，Ⅰ区内有与x轴正方向夹角为37°的匀强电场，Ⅱ区内有方向 垂直纸面向里的匀强磁场。将一质量为m、电荷量为＋q的小球从原点O以初速度 竖直向上抛出，小球 的运动轨迹如图中曲线Oabc所示，小球经过a点时的速度沿x轴正方向，Oa连线与x轴正方向的夹角为 53°，b点是磁场左边界与x轴的交点。不计空气阻力，重力加速度大小为g，磁感应强度大小为 ， ， ，求： （1）电场强度的大小； （2）小球从O运动到c过程中的最小速度； （3）小球从O运动到c过程中的最大速度。 【模型演练6】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图所示，某磁仪器由粒子源、偏转电场、 速度选择区、偏转磁场及探测板等组成。粒子源可以产生比荷为k的带正电粒子，以初速度 水平飞入两 108平行金属板中的偏转电场，入射点贴近上板边缘。两水平金属板间距为d，两板间电压为 。带电粒子由 偏转电场飞出后，立即进入宽度为d的速度选择区做匀速直线运动，该区域存在垂直纸面向里的匀强磁场 （图中未画出）和与水平方向成45°的电场强度为E的匀强电场。最后经磁感应强度为B的匀强磁场偏 转后恰好能够打在探测板上。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： （1）偏转电场两金属板长L； （2）速度选择区匀强磁场的磁感应强度大小 ； （3）偏转磁场区域宽度D以及粒子从进入偏转电场区域到最终打在探测板上的时间 。 八．带电粒子在叠加场中的应用模型---电磁平衡科技应用 模型一．速度选择器 (1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．(如图) (2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qvB＝qE，即v＝. (3)速度选择器只能选择粒子的速度，不能选择粒子的电性、电荷量、质量． (4)速度选择器具有单向性． 【模型演练1】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，速度选择器的两平行导体板之间有方向互相垂直的 匀强电场和匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一电荷量为+q的粒子以速度v从S点进入速度选择器后， 恰能沿图中虚线通过。不计粒子重力，下列说法可能正确的是（ ） 109A．电荷量为-q的粒子以速度v从S点进入后将向下偏转 B．电荷量为+2q的粒子以速度v从S点进入后将做类平抛运动 C．电荷量为+q的粒子以大于v的速度从S点进入后动能将逐渐减小 D．电荷量为-q的粒子以大于v的速度从S点进入后动能将逐渐增大 【模型演练2】在如图所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直．一带电粒子(重力不计) 从左端以速度v沿虚线射入后做直线运动，则该粒子( ) A．一定带正电 B．速度v＝ C．若速度v＞，粒子一定不能从板间射出 D．若此粒子从右端沿虚线方向进入，仍做直线运动 【模型演练3】（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图所示，在竖直放置的平行板电容器极 板间有电场强度大小为 、方向竖直向下的匀强电场和磁感应强度为 、方向水平向里的匀强磁场。左右 两挡板中间分别开有小孔 、 ，在其右侧有一边长为 的正三角形区域磁场，磁感应强度为 ，磁场边 界 中点 与小孔 、 正对。现有大量的带电荷量均为 而质量和速率均可能不同的粒子从小孔 水 平射入电容器，其中速率为 的粒子刚好能沿直线通过小孔 、 。粒子的重力及各粒子间的相互作用均 可忽略不计，下列说法中正确的是（ ） 110A． 一定等于 B．在电容器极板中向上偏转的粒子的速度一定满足 C．速率为 的粒子中，满足质量 的粒子都能从 边射出 D．速率为 的粒子中，能打在 边的所有粒子在磁场 中运动的时间一定都相同 模型二．磁流体发电机 (1)原理：如图所示，等离子体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力的作用下发生偏转而聚集在B、A板上， 产生电势差，它可以把离子的动能通过磁场转化为电能． (2)电源正、负极判断：根据左手定则可判断出图中的B是发电机的正极． (3)电源电动势U：设A、B平行金属板的面积为S，两极板间的距离为l，磁场磁感应强度为B，等离子体 的电阻率为ρ，喷入气体的速度为v，板外电阻为R.当正、负离子所受电场力和洛伦兹力平衡时，两极板间 达到的最大电势差为U(即电源电动势)，则q＝qvB，即U＝Blv. (4)电源内阻：r＝ρ. (5)回路电流：I＝. 【模型演练1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研 究。实验装置示意图如图所示，两块面积均为 的矩形平行金属板正对地浸在河水中，金属板间距为 。 水流速度处处相同大小为 ，方向水平向左，金属板面与水流方向平行。地磁场磁感应强度竖直向下的分 量为 ，水的电阻率为 ，水面上方有一阻值为 的电阻通过绝缘导线和开关 连接到两金属板上。忽略 边缘效应，则下列说法正确的是（ ） 111A．电阻 上的电流方向从里向外 B．河水流速减小，两金属板间的电压增大 C．该发电装置的电动势大小为 D．流过电阻 的电流大小为 【模型演练2】（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）海水中含有大量的正负离子，并在某些区域具有固定的 流动方向，有人据此设计并研制出“海流发电机”，可用作无污染的电源，对海洋航标灯持续供电。“海 流发电机”的工作原理如图所示，用绝缘防腐材料制成一个横截面为矩形的管道，在管道上、下两个表面 装有防腐导电板M、N，板长为a、宽为b（未标出），两板间距为d，将管道沿着海水流动方向固定于海 水中，将航标灯L与两导电板M和N连接，加上垂直于管道前后面向后的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，海水流动方向向右，海水流动速率为v，已知海水的电阻率为 ，航标灯电阻不变且为R．则下列说法 正确的是（ ） A．“海流发电机”对航标灯L供电的电流方向是 B．“海流发电机”产生感应电动势的大小是 C．通过航标灯L电流的大小是 D．“海流发电机”发电的总功率为 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）霍尔效应有着广泛的应用，如对载流子浓度、电流、磁场的测 112量、电信号转换等。利用等离子体的霍尔效应可设计磁流体发电机。如图所示，将一束等离子体（即高温 下电离的气体，含有大量的正、负带电粒子）以速度v垂直磁场方向喷入磁场，等离子体的电阻率为 ， A、B为两个正对的金属板，面积均为S，两板间距为d，板间磁场可看成方向水平、磁感应强度为B的匀 强磁场。将外电阻R（未知）接在A、B两个极板间，下列说法正确的是（ ） A．A板是电源的正极 B．此电源的电动势为 C．此电源的输出功率一定是 D．此电源的输出功率可能是 【模型演练3】（2023·全国·模拟预测）2023年1月《力学学报》发表了标题为《爆轰驱动惰性气体磁流 体发电试验研究》的文章，文中论述了基于爆轰驱动激波管技术的惰性气体磁流体发电的可能性。发电原 理示意图如图所示，平行金属板A、B之间有一个很强的磁场，将爆轰驱动获得的高速等离子体沿垂直于 磁场的方向射入磁场，则金属板A、B间便产生强电压。已知A、B板间距为d，板间磁场可视为匀强磁场， 磁感应强度为B，以速率v进入磁场的等离子流截面积为S，稳定工作时，进、出极板的离子流单位体积内 正、负离子的个数均为n，正负离子电荷量均为q，外电路接电阻R形成闭合回路获得强电流，则（ ） A．所能形成的持续稳定的电流为 B．磁流体发电机的稳定输出功率为 C．极板间电离气体的电阻率为 D．发电通道两端的压强差 模型三．电磁流量计 (1)流量(Q)的定义：单位时间流过导管某一截面的导电液体的体积． (2)公式：Q＝Sv；S为导管的横截面积，v是导电液体的流速． (3)导电液体的流速(v)的计算 【模型演练】如图所示，一圆柱形导管直径为d，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向右流动． 113导电液体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力作用下发生偏转，使a、b间出现电势差，当自由电荷所受 电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差(U)达到最大，由q＝qvB，可得v＝. (4)流量的表达式：Q＝Sv＝·＝. (5)电势高低的判断：根据左手定则可得φ>φ. a b 【模型演练1】（2023·天津·高三专题练习）为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污 管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为 和 ，左、右 两端开口与排污管相连，如图所示。在垂直于上、下底面加磁感应强度为 向下的匀强磁场，在空腔前、 后两个侧面上各有长为 的相互平行且正对的电极 和 ， 和 与内阻为 的电流表相连。污水从左 向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况。下列说法中正确的是（ ） A． 板比 板电势高 B．污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小 C．污水流量大小，对电流表的示数无影响 D．若只增大所加磁场的磁感强度，则电流表的示数也增大 【模型演练2】（2023·北京·高三专题练习）工业上常用电磁流量计来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量Q （单位时间内流过管道横截面的液体体积），原理如图甲所示，在非磁性材料做成的圆管处加一磁感应强 度大小为B的匀强磁场，当导电液体流过此磁场区域时，测出管壁上下M、N两点间的电势差U，就可计 算出管中液体的流量。为了测量某工厂的污水排放量，技术人员在充满污水的排污管末端安装了一个电磁 流量计，如图乙所示，已知排污管和电磁流量计处的管道直径分别为20 和10 。当流经电磁流量计的 液体速度为10 时，其流量约为280 ，若某段时间内通过电磁流量计的流量为70 ，则在这 段时间内（ ） 114A．M点的电势一定低于N点的电势 B．通过排污管的污水流量约为140 C．排污管内污水的速度约为2.5 D．电势差U与磁感应强度B之比约为0.25 【模型演练3】（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量，流 量为单位时间内流过管道横截面的流体的体积。图为流量计的示意图，左、右两端开口的长方体绝缘管道 的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前、后表面，磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、 下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，测得排污流量为Q。污水流过管 道时受到的阻力大小 ，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速。则（ ） A．金属板M的电势低于金属板N的电势 B．M、N两板间的电势差 C．排污流量Q与污水中离子浓度无关 D．左、右两侧管口的压强差 【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）环境保护，人人有责，为加强环境监管，暗访组在某化工厂的 排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，匀 强磁场方向竖直向下，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经测量管 时，显示仪器显示a、c两端电压为U，污水流量为Q（单位时间内排出的污水体积）。则（ ） 115A．a侧电势比c侧电势高 B．污水中离子浓度越高，U的示数将越大 C．若污水从右侧流入测量管，显示器显示为负值，再将磁场反向则显示为正值 D．污水流量Q与U成正比，与L、D无关 模型四.霍尔效应的原理和分析 (1)定义：高为h、宽为d的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场B中，当电流通过导体时，在导体 的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压． (2)电势高低的判断：如图，导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，若自由电荷是电子，则下表面A′ 的电势高．若自由电荷是正电荷，则下表面A′的电势低． (3)霍尔电压：导体中的自由电荷(电荷量为q)在洛伦兹力作用下偏转，A、A′间出现电势差，当自由电荷所 受电场力和洛伦兹力平衡时，A、A′间的电势差(U)就保持稳定，由qvB＝q，I＝nqvS，S＝hd，联立解得U ＝＝k，k＝称为霍尔系数． 【模型演练1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）当电流垂直于外磁场通过导体时，载流子发生偏 转，垂直于电流和磁场的方向会产生一附加电场，从而在导体的两端产生电势差（也称雀尔电势差），这 一现象就是霍尔效应。现有一金属导体霍尔元件连在如图所示电路中，电源内阻不计，电动势恒定，霍尔 电势差稳定后，下列说法正确的是（ ） A．若元件的厚度增加，a、b两端电势差减小 116B．a端电势低于b端电势 C．若要测量赤道附近的地磁场，工作面应保持竖直 D．霍尔电势差的大小只由单位体积内电子数目和电子的热运动速率决定 【模型演练2】（2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习）某种微小位移传感器的工作原理 如图1所示，将霍尔元件置于两块磁性强弱相同、同极相对放置的磁体缝隙中，通过电压与磁场的关系可 以测出微小的位移。霍尔元件的长宽高分别为a、b、c，其单位体积内自由电荷的数目为n，自由电荷的电 荷量为q，霍尔元件中通有沿图2方向、大小为I的恒定电流。当霍尔元件初始位置位于两磁铁正中间 处时，与霍尔元件所连接的电压表的示数为零。已知两磁铁间沿x轴方向的磁感应强度如图3所示， 图中 为已知量，则当电压表的示数为 时，霍尔元件位移的大小为（ ） A． B． C． D． 【模型演练3】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间， 线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此 时通过霍尔元件的电流为 ，与其前、后表面相连的电压表测出的霍尔电压 满足 ，式中k 为霍尔系数，与霍尔元件的材料有关，d为霍尔元件沿磁场方向上的厚度，霍尔元件的电阻可以忽略不计， 则（ ） 117A．霍尔元件前表面的电势比后表面的低 B．若电源的正、负极对调，电压表指针偏转方向不变 C． 与I成反比 D．电压表的示数与电流I成正比 【模型演练4】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）霍尔元件是一种基于霍尔效应的磁传感器，用以检 测磁场及其变化。某半导体材料制成的霍尔元件如图所示，长方体元件处于方向垂直于工作面向下的待测 匀强磁场中，接通开关S，调节滑动变阻器R，使电路中电流为定值I，此时在元件的前后表面间会出现电 势差（称为霍尔电压），用电压表测出前后表面M、N（图中未标出）间电势差 的大小，即可求出该磁 场的磁感应强度。 的大小与I和B满足 ， 称为霍尔元件灵敏度， 越大，灵敏度越高。 已知元件长为a，宽为b，高为h。下列说法正确的是（ ） A．表面M电势高，说明半导体材料中的载流子（参与导电部分）带负电 B．霍尔电压 越大，说明磁感应强度越大 C．元件的宽度b越大，霍尔元件的灵敏度越高 D．元件的高度h越小，霍尔元件的灵敏度越高 【模型演练5】（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，为了测量某金属中自由电子的 “数密度”（单位体积内的自由电子数量），用该材料制成一段长方体，端面边长分别为 和 ；将其置 于匀强磁场中，磁场方向垂直于前表面向里，材料内部磁感应强度大小为 。当通以从左到右的恒定电流 118时，测得上、下表面之间的电压大小为 。已知电子电荷量大小为 ，则（ ） A．自由电子数密度为 B．自由电子数密度为 C．上表面电势比下表面电势高 D．上表面电势比下表面电势低 【模型演练6】（2023·山西阳泉·统考三模）如图为利用霍尔元件进行微小位移测量的实验装置。在两块磁 感应强度相同，同极相对放置的磁体狭缝中放入金属材料制成的霍尔元件，当霍尔元件处于中间位置时磁 感应强度为0，霍尔电压 （霍尔元件上下两表面的电势差）也为0。将该点作为坐标原点建立空间坐标 系，当霍尔元件沿x轴移动时，即有霍尔电压 输出。霍尔元件中电流方向始终为z轴负方向且大小不变， 下列说法正确的是（ ） A．霍尔元件处于x轴负半轴时，下表面的电势高于上表面的电势 B．霍尔元件从O点沿x轴正方向移动的过程中，霍尔电压的大小 逐渐增大 C．在某一位置时，若增大霍尔元件沿x轴方向的厚度，则霍尔电压的大小 将减小 D．在某一位置时，若增大霍尔元件沿y轴方向的厚度，则霍尔电压的大小 将不变 专题 17 常见的电路模型 119一.电路动态分析模型 1.电路的动态分析问题：是指由于断开或闭合开关、滑动变阻器滑片的滑动等造成电路结构发生了变化， 某处电路变化又引起其他电路的一系列变化；对它们的分析要熟练掌握闭合电路欧姆定律，部分电路欧姆 定律，串、并联电路中电压和电流的关系． 2.电路动态分析的三种常用方法 （1）程序法 【需要记住的几个结论】： ①当外电路的任何一个电阻增大（或减小）时，整个电路的总电阻一定增大（或减小）。 ②若电键的通断使串联的用电器增多时，总电阻增大；若电键的通断使并联的用电器增多时，总电阻减小 ③用电器断路相当于该处电阻增大至无穷大，用电器短路相当于该处电阻减小至零。 （2）“串反并同”结论法 ①所谓“串反”，即某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小， 反之则增大。 ②所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大， 反之则减小。 即：←R↑→ 【注意】此时电源要有内阻或有等效内阻，“串反并同”的规律仅作为一种解题技巧供参考。 （3）极限法 因变阻器滑片滑动引起电路变化的问题，可将变阻器的滑片分别滑至两个极端，让电阻最大或为零再讨论。 3.电路动态变化的常见类型： ①滑动变阻器滑片移动引起的动态变化：限流接法时注意哪部分是有效电阻，分压接法两部分电阻一增一 减，双臂环路接法有最值； ②半导体传感器引起的动态变化：热敏电阻、光敏电阻、压敏电阻等随温度、光强、压力的增大阻值减小； ③开关的通断引起的动态变化：开关视为电阻，接通时其阻值为零，断开时其阻值为无穷大，所以，由通 而断阻值变大，由断而通阻值变小。 4.滑动变阻器的几种接法 120限流接法 分压接法 双臂环路接法 左部分为有效电阻，向←滑动， 向←滑动，R 增大，R 减 两部分电阻并联，R 先增大后减 并 串 AB AB间总阻值减小。 小，AB间总电阻减小。 小，当并联的两部分阻值相等时R AB 最大。 【模型演练1】（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）某磁敏电阻R的阻值随外加磁场的磁感应强度 B的增大而增大。有一位同学利用该磁敏电阻设计了一款可以测量小车加速度的实验装置，如图所示，条 形磁铁的左、右两端分别连接两根相同的轻质弹簧，两弹簧的另一端固定在小车两侧的竖直挡板上，磁铁 可以相对小车无摩擦左右移动，下列说法正确的是（ ） A．当小车向右做加速直线运动时，电流表示数变大 B．当小车向右做减速直线运动时，电压表示数变小 C．当小车向左做加速直线运动时，电流表示数变大 D．当小车向左做减速直线运动时，电压表示数变小 【模型演练2】（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图所示电路中，电源电动势为E，内阻为 r。闭合开关S，电压表示数为U，电流表示数为I，电表均为理想电表，在滑动变阻器 的滑片P由b端 滑到a端的过程中，下列说法正确的是（ ） A．U先变大后变小 B．I先变小后变大 C．U与I比值先变大后变小 D．电源内部消耗的功率先减小后增大 121【模型演练3】（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）如图所示，电源电动势为E、内阻为r，滑动变阻器总电 阻为R，所有电表均为理想表。当滑片由左向右滑动时，关于各表示数变化描述正确的是（ ） A．A 示数可能先增大再减小 1 B．A 示数可能先减小再增大 2 C．A 示数一定先减小再增大 3 D．V示数一定一直增大 【模型演练4】（2023·江苏南京·统考三模）某牧场设计了一款补水提示器，其工作原理如图所示，水量增 加时滑片下移，电表均为理想电表。下列说法正确的是（ ） A．若选择电压表，水量增多时电压表示数变大 B．若选择电流表，水量增多时电流表示数变小 C．若选择电流表，与电压表相比，电路更节能 D．若选择电压表，增加 可提高灵敏度 【模型演练5】（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的电路中，E为电源，电源内阻为r，小灯泡L灯 丝电阻不变，电压表V为理想电表， 、 为定值电阻， 为滑动变阻器，若将滑动变阻器的滑片向下 移动，则（ ） 122A．通过 的电流变大 B．电压表的示数变小 C．电源内阻上的电压变大 D．小灯泡消耗的功率变小 二．含容电路模型 (1)电路简化 电路稳定后，把电容器所处的支路视为断路，简化电路时可以去掉，求电荷量时再在相应位置补上。 (2)电路稳定时电容器的电压 电路稳定时，电容器所在的支路中没有电流，与之串联的电阻相当于导线，其两端无电压。电容器两端的 电压等于与之并联的电阻两端的电压。 (3)电容器的带电荷量及变化 电容器两端电压的变化引起电容器充、放电。 ①利用Q＝UC计算电容器初、末状态所带的电荷量Q 和Q。 1 2 ②如果变化前后极板带电的电性相同，通过所连导线的电荷量为|Q－Q|。 1 2 ③如果变化前后极板带电的电性相反，通过所连导线的电荷量为Q＋Q。 1 2 【模型演练1】（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）如图，电源电动势为E、内阻为r， 为定值电阻，电 容器的电容为C，现将滑动变阻器的滑片由最上端缓慢地向下滑动，电压表示数变化量的绝对值分别为 、 ，电流表示数变化量的绝对值为 ，已知 ，滑动变阻器的最大阻值大于r，下列说法正 确的是（ ） 123A． 、 示数增大，A的示数减小 B． 、 、A的示数均增大 C． 两端电压增大 D．电容器增加的电荷量为 【模型演练2】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图所示的电路中，电源电动势为 E，内阻为r，开关S闭合后，平行板电容器中的带电液滴M处于静止状态，电流表和电压表均为理想电表， 则（ ） A．带电液滴M一定带正电 B． 的滑片向上端移动时，电流表示数减小，电压表示数增大， 功率增大 C．若仅将电容器下极板稍微向上平移，带电液滴M将向上极板运动 D．若将开关S断开，带电液滴M将向下极板运动 【模型演练3】（2023·重庆合川·统考模拟预测）在如图所示的电路中，当闭合开关S后，若将滑动变阻器 的滑片P向下调节，则正确的是（ ） A．电路再次稳定时，电源效率增加 B．灯L 变暗，电流表的示数减小 2 C．灯L 变亮，电压表的示数减小 1 124D．电容器存储的电势能增加 【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示电路中，直流电源内阻 ， 、 为定值电阻， 滑动变阻器最大阻值为 ， 。开关K闭合且电路稳定后，滑动变阻器的滑片P缓慢从b向a 滑动过程中（ ） A．电流表示数变小 B．电源的效率减小 C．滑动变阻器消耗的功率一直减小 D．通过 的电流方向为从c到d 【模型演练5】（2023·广东·模拟预测）热水器中，常用热敏电阻实现温度控制。如图是一学习小组设计的 模拟电路， 为加热电阻丝， 为正温度系数的热敏电阻（温度越高电阻越大），C为电容器。S闭合后， 当温度升高时（ ） A．电容器C的带电荷量增大 B．灯泡L变暗 C．电容器C两板间的电场强度减小 D． 消耗的功率增大 三．关于 ， 的物理意义模型 【引例分析】 125引例1：如图所示，电源的电动势为 ，内阻为 ，调整电路的可变电阻 的阻值，使电压表 的示数增 大 ，则在这个过程中（ ） A.通过 的电流增大，增加量一定等于 B 两端的电压减小，减少量一定等于 C.通过 的电流减小，但减少量一定小于 D.路端电压增大，增加量一定等于 分析与解答：电路结构为 与 并联，再与 串联，再连在电源两端。 ①， 由题意可得， 增大，由“串反并同”得 增大， 减小， 减小，如果规定 表示增加， 表示减少，则有： ②，如果规定 表示变化量的绝对值，由②—①式 可得： ，变形可得： ，即电压表V示数的增加量 等于 两端电压的减少量 和电源内阻上电压的减少量 。 为定值电阻，有 ，变形可 得 ， A 正 确 ； ， B 正 确 ； 为 定 值 电 阻 ， ， ，C正确； ， ，所以路端电压的 增加量 小于电压表V示数的增加量 ，D选项错误。 引例二 在如图所示电路中，闭合开头 ，当滑动变阻器的滑片 向下滑动时，四个理想电表的示数都发 生变化，电表的示数分别用 、 、 和 表示，电表示数变化量的大小分别用 、 、 和 表示.下列比值正确的是（ ） A、 不变， 不变 B、 变大， 变大 C、 变大， 不变 D、 变大， 不变 U  A U 2 R 1 R R V S 1  E 1 126 E S V 3 1 1 E U 1  I U 1 U 2 U 2   E S R 2 r R 2 V 2 r R 2 I I I E I r  I Rr 1分析与解答：将电路进行简化，可得 与 串联后接在电源两端。对定值电阻 来说，其导体的伏安特 性曲线为过原点的直线，由部分电路欧姆定律得图像上任意一点的坐标比值为定值电阻 的阻值，即 ；由图像形状可得，图像上任意一点的坐标比值等于该图像的斜率，即 ；所以，对定 值电阻 来讲，结论为 。对阻值变化的电阻 来说，其导体的伏安特性曲线的表达式为 ，形状为倾斜的直线，为了研究的方便，可将 看成唯一的外电路，其余部分等效成 内电路，其等效电路如图所示，等效电动势为E，等效内阻为 ，从等效电路图可以看出， 两 端的电压就是等效电源的路端电压，所以 的导体的伏安特性曲线（ ）就是等效电源的伏安特性 曲线，由等效电路图可得， ， 。由部分电路欧姆定律得图像上任意一点的坐标比 值为 在该时刻的阻值，即 ，由图像形状可得，图像的斜率为等效电源的内阻，即 ； 所 以 ， 对 阻 值 变 化 的 电 阻 来 讲 ， 结 论 为 ， ， 。将 和 的串联部分看成一个新的电阻 ， 为电源的外电路， 随 的减小而减 小，所以 的导体的伏安特性曲线就是电源的伏安特性曲线，所以， ， 随 的 减小而减小； 为定值。 总结：对任何导体均有：导体的伏安特性曲线上任意一点的坐标比值为电阻的阻值，即 ；对定值电 阻有：导体的伏安特性曲线的斜率同样表示导体的电阻 ，对阻值变化的电阻有：导体的伏安特性 127曲线的斜率表示将阻值变化的电阻做为唯一的外电路时的等效电源的内阻，即 【模型演练1】（2023·湖北·模拟预测）在如图甲所示电路中，闭合开关S，图乙中三条图线分别表示了三 个电压表示数与电流表示数随滑动触头P滑动的过程中变化的情况，以下说法正确的是（ ） A．滑动变阻器的滑动触头P向上滑动，电流表示数逐渐变大 B．图线a表示的是电压表 的示数随电流表示数变化的情况 C．此过程中电压表V 示数的变化量ΔU 和电流表示数变化量ΔI比值的绝对值为 的阻值 3 3 D．此过程中电压表V 示数的变化量ΔU，电压表V 示数的变化量ΔU，电压表V 示数的变化量ΔU 和电 1 1 2 2 3 3 流表示数变化量ΔI满足关系式 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示电路中， ， ，电源电动势 E=3V，内阻 。电流表示数为I，电压表示数为U。在滑动变阻器的滑动触头P从a滑到b的过程中， 电表均为理想电表，下列判断正确的是（ ） A．I减小，U减小 B． 不变， 不变 C．电源的最大输出功率为1.5W D． 获得的最大功率为1.5W 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）在如图所示电路中，电源的电动势为E，内阻为r，R 是定值 1 电阻，R 是滑动变阻器（R>R），闭合开关S，不同规格的灯泡L 和L 均正常发光，现将滑动变阻器的 2 2 1 1 2 128滑动片P向上移动一定的距离，理想电流表A、A、电压表的示数均会发生一定变化，其变化量分别用 1 2 ΔI、ΔI 和ΔU表示，则下列分析判断可能正确的是（ ） 1 2 A．电压表V示数变大，电流表A 示数变小 1 B．电流表A 示数不可能变为零 2 C．灯泡L、L 变暗 1 2 D．电源的内阻r= 【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 、 和 都是阻值为 的定值电阻，R是滑动 变阻器，电源内阻为r， 、 和 都是理想电压表和电流表，闭合开关S，当滑动变阻器的滑片由图示 位置向左缓慢滑动时， 、 分别表示电压表 、 示数的变化量， 表示电流表A的示数变化量， 则下列说法中正确的是（ ） A． 表示数减小 B． 表示数减小 C． 129D．电压表 示数的变化量 的绝对值小于电压表 示数的变化量 的绝对值 【模型演练5】（2023·河北石家庄·统考三模）在如图所示电路中，电源电动势 ，内阻 ，定 值电阻 ， ， ，滑动变阻器 的取值范围为0～ ，所打电表均为理想电表。 闭合开关S，在滑动变阻器的滑片从a端滑到b端的过程中，电压表 、电压表 、电流表A示数的变化 量分別为 、 、 。下列说法正确的是（ ） A． 大于 B． 不变， 增大 C． 的功率先增大后减小，最大值为0.36W D．电源的输出功率先增大后减小，最大值为4.5W 【模型演练6】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，电源的电动势和内阻分别为E、r，在滑动变阻器 的滑片由a向b移动的过程中，下列各物理量变化情况为（ ） A．电流表的读数逐渐减小 130B． 的功率先减小后增大 C．电源的输出功率逐渐增大 D．电压表与电流表读数改变量的比值 先减小后增大 【模型演练7】（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）交警使用的某型号酒精测试仪如图1所示， 其工作原理如图2所示，传感器的电阻值R随酒精气体浓度的增大而减小，电源的电动势为E，内阻为r， 电路中的电表均可视为理想电表。当一位酒驾驾驶员对着测试仪吹气时，下列说法正确的是（ ） A．电压表的示数变大，电流表的示数变小 B．酒精气体浓度越大，电源的效率越低 C．酒精气体浓度越大，电源的输出功率越小 D．电压表示数变化量的绝对值与电流表示数变化量的绝对值之比变小 四．电源的输出功率随外电阻变化的讨论及电源的等效思想 当外电阻为纯电阻电路时 1．电源的输出功率 P ＝I2R＝·R＝(输出功率随外电阻变化的图线如图所示)． 出 (1)当R＝r时，P ＝＝. 出最大 E r s (2)当P

r时，P 出 随R的增大而减小． R 图1 2．电源的效率 η＝＝＝，η随着R的增大而增大，当R＝r时，电源有最大输出功率时， 效率仅 为50%. 图2 3、图2所示的电路中，电源的电动势为E，内阻为r，R 为定值电阻，那 么负载 1 R 电阻R取何值时，负载R上将获得最大功率? E r R 1 将定值电阻R 和电源看成一个等效电源，如图3虚线框所示。 1 131则等效电源的电动势E'=E，内阻 r'=R 1 +r ， R=r'=R +r 由结论可知，当 1 时， E ' r ' E'2 E2 A B P = = E r R m 4r' 4(R +r) 1 1 R E E2 P=I2R=( R+R +r ) 2R= [R−(R +r)] 2 图3 1 1 +4(R +r) 验证： R 1 E2 P = R=R +r m 4(R +r) 显然， 1 时， 1 （正确） 、 4 图4所示的电路中，电源的电动势为E，内阻为r，R 为定值电阻，那么负 E r 1 R 1 载电阻R取何值时，负载R上将获得最大功率? R 图4 R E'=U = 1 E AB R +r 图5中，虚线框内等效电源的电动势 1 （U 为外电路从AB AB R r r'=R = 1 E r 并 R +r 处断开时的路端电压），内阻 1 。 ER 1 2 ( ) E'2 R +r P = = 1 R r m 4r' 4R r R=r'= 1 1 R +r R +r 因此，当 1 时， 1 验证： R R E ER P=( 1 I) 2R=( 1 ) 2R=( 1 ) 2R R+R R+R RR Rr+R r+RR 1 1 r+ 1 1 1 R+R 1 ER ER 1 1 2 ( ) ER R +r R +r ¿[ 1 ] 2R=[ 1 ] 2R= 1 R(R +r)+R r R r R r 1 1 R+ 1 (R− 1 ) 2 R +r R +r 4R r 1 1 1 + R R +r 1 132ER 1 2 ( ) R +r P = 1 R r m 4R r R= 1 1 R +r R +r 显然，当 1 时， 1 正确 【模型演练1】（2023·湖北·模拟预测）如图所示，曲线C 、C 是闭合回路中内、外电路消耗的电功率随 1 2 电流变化的图线。由该图可知下列说法中错误的是（ ） A．电源的电动势为E=4V内电阻为r=1 Ω B．短路电流为4A C．电源输出功率最大值为4 W D．曲线C 是外电路消耗的电功率随电流变化的图线，C 是内电路消耗的电功率随电流变化的图线。 1 2 【模型演练2】（2023·海南·统考模拟预测）如图，电阻丝 的总电阻为 ，其电阻率不随温度的变化而 改变。将它与电阻值为R的定值电阻串联接在内阻不计的电源两端，电压表为理想电表。闭合开关S，将 滑片P由a向b移动，则金属丝两端的电压U和功率P（ ） A．U不变 B．U增大 C．P减小 D．P先增大后减小 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）用标有“6V，3W”的灯泡L、“6V，6W”的灯泡L 与理想电 1 2 压表和理想电流表连接成如图甲所示的实验电路，其中电源电动势E＝9V。图乙是通过两个灯泡的电流随 两端电压变化的曲线。当其中一个灯泡正常发光时（ ） 133A．电流表的示数为1A B．电压表的示数约为6V C．电路输出功率为4W D．电源内阻为1Ω 【模型演练4】（2023·全国·高三专题练习）如图所示电路中，电源电动势 ，内阻 ，定值电 阻 ， ， ；滑动变阻器 的取值范围为 。闭合开关S，调节滑动变阻器的 滑片，使 取不同的阻值接入电路，则下列说法正确的是（ ） A． 时，定值电阻 消耗的功率最大，为 B． 时，电源内阻消耗的功率最小，为 C． 时， 消耗的功率最大，为 D． 时，电源的效率最高，为90％ 【模型演练5】．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图甲所示为一个超声波加湿器，如图 乙所示为其内部湿度监测装置的简化电路图。已知电源电压为 ，定值电阻 的阻值为 ，电流表的 量程为 ，电压表的量程为 ，湿敏电阻R的阻值随湿度 变化的关系图像如图丙所示，其 阻值最大为 （图中未画出）。则在电路安全工作的前提下，下列说法正确的是（ ） 134A．湿敏电阻R的电流最小值为 B．定值电阻R 的电功率范围为 0 C．电路消耗的总功率最大值为 D．此装置能监测的湿度范围为 【模型演练6】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示电路，电源电动势为E，内阻为r。闭合开关，调 节滑动变阻器滑片，电压表示数为U、电流表示数为I。电源的总功率P与电压U、电流I的关系正确的是 （ ） A． B． C． D． 五．电路故障的分析模型 电路故障一般是短路或断路，常见的情况有导线断芯、灯泡断丝、灯座短路、电阻器内部断路、接触 不良等，检查故障的基本方法有两种。 (1)电压表检测 若电压表示数等于电源电压，说明电路中有电流通过电压表，电路为通路(电压表作为一个大电阻把开关和 电源接通了)，则开关S和导线不断路，灯L断路即故障所在。 (2)假设法 已知电路发生某种故障，寻找故障发生位置时，可将整个电路划分为若干部分，然后逐一假设某部分电路 发生故障，运用欧姆定律进行正向推理。推理结果若与题述物理现象不符合，则故障不是发生在这部分电 路，若推理结果与题述物理现象符合，则故障可能发生在这部分电路。直到找出发生故障的全部可能为止， 135亦称排除法。 【模型演练1】（2023春·北京顺义·高三统考阶段练习）连接如图所示的电路，闭合电键S后，从a向b移 动滑动变阻器R的滑片，发现“小灯泡一直不发光，电压表的示数逐渐增大”，电路的故障可能为 （ ） A．小灯泡短路 B．小灯泡断路 C．电流表断路 D．滑动变阻器短路 【模型演练2】．（2023·北京通州·高三统考期末）在如图所示的电路中，干电池、开关和额定电压为 1.5V的灯泡组成串联电路。当闭合开关时，发现灯泡不发光。为了检验故障，某同学在开关闭合的情况下， 用多用电表的电压挡对电路进行检测。检测结果如下表所示，已知电路仅有一处故障，由此做出的判断中 正确的是（ ） 测试点 A、C A、D A、E A、F 多用表示数 0 0 约1.5V 约1.5V A．D、E间导线断路 B．B、F间导线断路 C．灯泡断路 D．A、C间导线断路 【模型演练3】．（2023·山东济南·高三济南市历城第二中学校考阶段练习）如图所示的电路中，闭合电键， 灯L、L 正常发光，由于电路出现故障，突然发现灯L 变亮，灯L 变暗，电流表的读数变小，根据分析， 1 2 1 2 发生的故障可能是（ ） 136A．R 断路 B．R 断路 C．R 短路 D．R 短路 1 2 3 4 【模型演练4】（2023·全国·模拟预测）在如图所示的电路中，开关闭合后，由于电阻元件发生短路或断路 故障，电压表和电流表的读数都增大，则肯定出现了下列哪种故障（ ） A． 短路 B． 短路 C． 短路 D． 断路 【模型演练5】．（2023·全国·高三专题练习）某学生在研究串联电路电压特点的实验时，连接成如图所示 的电路，接通S后，他将大内阻的电压表并联在A、C两点间，电压表示数为U，当并联在A、B两点间时， 电压表示数也为U，当并联在B、C两点间时，电压表的示数为零，则出现此种情况的原因可能是（R、R 1 2 的阻值相差不大）（ ） A．AB段断路或BC段短路 B．AB段短路或BC段短路 C．AB段短路或BC段断路 D．AB段断路或BC段断路 【模型演练6】（2023·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）如图所示的电路中，电源电动势为 E，内阻为r，电流表为理想电表， 、 、 、 均为定值电阻。灯泡L 和L 阻值一定且始终安全。现 1 2 闭合开关S，下列分析正确的是（ ） 137A．若 断路，则灯泡L 和L 均变亮，电流表示数变小 1 2 B．若 断路，则灯泡L 变暗，L 变亮，电流表示数变小 1 2 C．若 短路，则灯泡L 和L 均变亮，电流表示数变大 1 2 D．若 短路，则灯泡L 变亮，L 变暗，电流表示数变大 1 2 【模型演练7】．（2023·全国·高三专题练习）如图示的电路中，闭合开关 ，灯 、 正常发光。由于电 路出现故障，突然发现 变亮， 变暗，分析电路特点，若只有某个元件发生的故障，下列情况可能的是 （ ） A． 短路 B． 短路 C． 断路 D． 断路 专题 18 理想变压器、远距离输电模型 一.理想变压器基本模型 （1）理想变压器的构造、作用、原理及特征。 构造：两组线圈（原、副线圈）绕在同一个闭合铁心上构成所谓的变压器。 作用：在办理送电能的过程中改变电压。 138原理：其工作原理是利用了电磁感应现象。 特征：正因为是利用电磁感应现象来工作的，所以变压器只能在输送交变电流的电能过程中改变交流电压。 （2）理想变压器的理想化条件及规律 如图所示，在理想变压器的原线圈两端加交流电压U 后，由于电磁感应的原因，原、副线圈中都将产生感 1 应电动势。根据法拉第电磁感应定律，有 n Δφ n Δφ ε = 1 1,ε = 2 2 1 Δt 2 Δ 忽略原、副线圈内阻，有 U =ε ,U =ε 。 1 1 2 2 另外，考虑到铁心的导磁作用而且忽略漏磁，即认为任意时刻穿过原、副线圈的磁感线条数都相同，于是 又有 Δφ =Δφ 。 1 2 U n 1 1 由此便可得理想变压器的电压变化规律为 = 。 U n 2 2 在此基础上再忽略变压器自身的能量损失（一般包括了线圈内能量损失和铁心内能量损失这两部分，分别 俗称为“铜损”和“铁损”），有 ，而 ， 。 I n 1 2 于是又得理想变压器的电流变化规律为 = 。 I n 2 1 由此可见： ①理想变压器的理想化条件一般指的是：忽略原、副线圈内阻上的分压，忽略原、副线圈磁通量的差别， 忽略变压器自身的能量损耗（实际上还忽略了变压器原、副线圈电路的功率因素的差别）。 ②理想变压器的规律实质上就是法拉第电磁感应定律和能的转化与守恒定律在上述理想化条件下的新的表 现形式。 【模型演练1】（2023春·贵州黔东南·高三凯里一中校考阶段练习）如图甲所示，一理想变压器给一个小 灯泡供电。当原线圈输入如图乙所示的交变电压时，额定功率25W的小灯泡恰好正常发光，已知正常工作 时灯泡的电阻为100Ω，图中电压表为理想电表，下列说法正确的是（ ） 139A．变压器输入电压的瞬时值表达式为 B．变压器原、副线圈的匝数比为 C．电压表的示数为220V D．变压器的输入功率为110W 【模型演练2】（2023春·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考期中）在绕制变压器时，某人将两个线 圈绕在如图所示变压器铁芯的左右两个臂上，当通以交流电时，每个线圈产生的磁通量都只有一半通过另 一个线圈，另一半通过中间的臂，已知线圈1、2的匝数之比 ，在不接负载的情况下（ ） A．当线圈1输入电压为110V时，线圈2输出电压为220V B．当线圈1输入电压为110V时，线圈2输出电压为55V C．当线圈2输入电压为220V时，线圈1输出电压为110V D．当线圈2输入电压为220V时，线圈1输出电压为55V 【模型演练3】（2023·云南昆明·统考二模）某燃气灶点火装置的原理图如图甲所示。转换器将直流电压转 换为图乙所示的正弦交流电压，并加在理想变压器的原线圈上。变压器原、副线圈的匝数比为k，电压表 为理想交流电压表。当变压器副线圈电压的瞬时值大于5000V时，就会在钢针和金属板间弓发火花进而点 燃气体。下列说法正确的是（ ） 140A．副线圈输出电压一个周期内钢针只能点火一次 B． 时，交流电压表示数为零 C．当k小于 时，点火装置才能点火 D．转换器输出的交流电压频率为100Hz 【模型演练4】（2023·云南·模拟预测）如图所示为一含有理想变压器的交流电路， ，理想电流表 的示数为1A，两个标有“5V，10W”的灯泡正常发光，则下列说法正确的是（ ） A．流过电阻R的电流为2A B．理想变压器原、副线圈的匝数比为1:4 C．原线圈两端的电压峰值为 D．原线圈的输入功率为60W 【模型演练5】（2023·海南·统考高考真题）下图是工厂利用 的交流电给 照明灯供 电的电路，变压器原线圈匝数为1100匝，下列说法正确的是（ ） A．电源电压有效值为 B．交变电流的周期为 C．副线圈匝数为180匝 D．副线圈匝数为240匝 二．变压器原线圈接有负载模型----等效法 1.变压器原线圈接有负载R时，原、副线圈的制约关系依然成立，但电路输入的总电压 U不再等于变压器 原线圈的电压U ，而是U＝U ＋U ，显然U≠U.变压器原、副线圈两端的功率也始终相等，但电路输入 1 1 负载 1 的电功率P也不等于原线圈两端的功率P，而是P＝P＋P 1 1 负载． 1412.等效负载电阻法 变压器等效负载电阻公式的推导： 设理想变压器原副线圈的匝数之比为n：n，原线圈输入电压为 1 2 U，副线圈负载电阻为R，如图1（1）所示，在变压器正常工作 1 时，求a、b间的等效电阻。 先画出等效电路图如图1（2）所示，设变压器等效负载电阻为 在（1）中由变压器的分压规律： 得： ，所以负载电阻R消耗的功率为： 在（2）中等效电阻消耗的功率为： 因 ，所以等效电阻为： （重要结论） 【模型演练1】一含有理想变压器的电路如图所示，图中电阻R 、R 和R 的阻值分别为3 Ω、1 Ω和4 Ω， 1 2 3 A为理想交流电流表，U为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定。当开关S断开时，电流表的示数为 I；当S闭合时，电流表的示数为4I。该变压器原、副线圈匝数比为 A．2 B．3 C．4 D．5 【模型演练2】（2023春·山西运城·高三统考期末）在如图所示的交流电路中，理想变压器原、副线圈的 142匝数比为3︰1，电阻R=R=4Ω，R 为滑动变阻器。电源电压u随时间t变化的规律为 ， 1 2 3 电流表为理想电表，则下列说法正确的是（ ） A．当R=4Ω时，电流表的示数为2A 3 B．若将R 的滑片向下移动，则电流表的示数减小 3 C．若将R 的滑片向上移动，则副线圈两端的电压减小 3 D．改变滑动变阻器R阻值，使理想变压器的输出功率最大时，R=5Ω 3 【模型演练2】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）如图所示，一理想自耦变压器线圈AB绕在一个 圆环形闭合铁芯上，左端输入正弦交流电压 ， 、 为相同的灯泡，其电阻均为 且恒定不变，定值电阻的阻值 为灯泡阻值的 。当滑片P处于如图所示位置时，AB端与PB端 匝数比为 ， 、 闭合时，两灯泡均正常发光。下列说法正确的是（ ） A．灯泡正常发光的电流为 B．灯泡正常发光的电功率为 C． 、 均闭合时，将P沿顺时针方向转动， 一定变暗 D．断开 ，闭合 ，将P沿逆时针方向转动（灯泡一直没有损坏），定值电阻消耗的电功率一定变大 【模型演练4】（2023春·山东·高三统考学业考试）理想变压器原副线圈匝数之比为 ，原线圈上有一电 143阻 ，副线圈上电阻箱 的阻值调整范围是 ，使原线圈接在一交流电源上，若使 的功率最大， 则 的阻值应调节为（ ） A．0.5R B．R C．1.5R D．2R 【模型演练4】（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示的电路中，变压器为理想变压器，变压器 原副线圈的匝数比为1∶2，四个定值电阻阻值相同，在a、b端输入某一正弦交流电压，电键S断开时与S 闭合时变压器原线圈输入的电流之比为（ ） A．2∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．5∶6 【模型演练5】（2023·湖南衡阳·衡阳县第三中学校考模拟预测）如图所示，理想变压器所接的交变电压 ， ,原线圈匝数为 匝，绕过铁芯的单匝线圈接有一理想电压表， 开关S断开时理想电压表的示数为 、副线圈所在电路中理想电流表的示数为 。则开关S闭 合后电流表的示数为（ ） A． B． C． D． 144【模型演练6】（2023·山东·高三专题练习）在图甲所示的交流电路中，理想变压器原、副线圈的匝数比为 ，电阳 ， =8Ω， 为滑动变阻器，电流表为理想电流表，电源电压u随时间t按正弦规律变 化，如图乙所示。下列说法正确的是（ ） A．副线圈中电流方向每秒钟改变50次 B．该理想变压器原、副线圈中磁通量的变化率之比为 C．当电流表的示数为0.5A时， 接入电路的阻值为8Ω D．滑片P向上移动时，流过电阻 的电流增大 【模型演练7】（2023春·四川成都·高三成都实外校考期末）如图甲所示的电路中，理想变压器原、副线 圈匝数比为3：1，电路中的5个灯泡完全相同，当A、B端输入如图乙所示的正弦交变电压时，每个灯泡 消耗的电功率均为18W，下列说法正确的是（ ） A．每个灯泡两端的电压为40V B．通过每个灯泡的电流为0.6 A C．通过定值电阻R的电流为0.6A D．定值电阻R的电功率为54W 【模型演练8】（2023春·天津河北·高三统考期末）如图，理想变压器原、副线圈分别接有额定电压相同 的灯泡 和 。当输入电压 为灯泡额定电压的8倍时，两灯泡均能正常发光，则（ ） A．原、副线圈匝数之比为 145B．原、副线圈匝数之比为 C．此时 和 的电功率之比为 D．此时 和 的电流之比为 三．变压器副线圈接有二极管模型 变压器副线圈接有二极管时，由于二极管的单向导电性，使得cd端一个周期的时间内只有半个周期有电流， 依据这一特点可画出cd间I－t关系图象展开分析． 【模型演练1】如图所示，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为 n 、n.原线圈通过一理想电流表A接正 1 2 弦交流电源，一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端．假设该二极管的正向电阻为零， 反向电阻为无穷大．用交流电压表测得a、b端和c、d端的电压分别为U 和U ，则( ) ab cd A．U ∶U ＝n∶n ab cd 1 2 B．增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小 C．负载电阻的阻值越小，cd间的电压U 越大 cd D．将二级管短路，电流表的读数加倍 【模型演练2】如图甲所示的电路中，理想变压器原线圈匝数 匝，副线圈的匝数为 匝， 电阻 ，D为理想二极管（理想二极管具有单向导电性），原线圈接 的正弦交流电如图乙 所示，则（ ） A．原线圈接的交变电压瞬时值表达式为 B．变压器的输出电压为110V C．通过 的电流为2A 146D．变压器的输入功率为300W 【模型演练3】（2023秋·湖南岳阳·高三统考期末）如图乙所示，在AB间接入甲图所示正弦交流电，通过 理想变压器和二极管D、D 给阻值R=20Ω的纯电阻负载供电，已知D、D 为相同的理想二极管，正向电 1 2 1 2 阻为0，反向电阻无穷大，变压器原线圈n=110匝，副线圈n=20匝，Q为副线圈中心抽头，为保证安全， 1 2 二极管的反向耐压值至少为U，设电阻R上消耗的热功率为P，则有（ ） 0 A．U= V，P=20W B．U=40V，P=80W 0 0 C．U= V，P=20W D．U=20V，P=20W 0 0 【模型演练4】湖南省已有多条500千伏线路与外省电网联络，可吸纳三峡、葛洲坝等外省入湘电量。变 压器是远距离输电过程中用于改变电压的重要设备，如图甲所示的电路中，理想变压器原、副线圈的匝数 比 ，电阻 ，D为理想二极管（理想二极管具有单向导电性），原线圈接入如图乙 所示的正弦交流电，则下列说法正确的是（ ） A．原线圈所接的交变电压瞬时值表达式为 B．变压器的输出电压为100V C．通过电阻 的电流为 D．变压器的输入功率为1000W 【模型演练5】（2023·湖南长沙·雅礼中学校考二模）如图甲所示，在变压器输入端加上如图乙所示的交变 147电压 ，在副线圈的输出端串接上一只理想整流二极管D和滑动变阻器R，则（ ） A．当滑片P上移时，原线圈中的电流 变大 B．当滑片P上移时，原线圈的输入功率变小 C．当拿掉二极管后，副线圈中的交流电周期与原来相同 D．保持滑片P不动、R上电流有效值是无二极管时的 四．多组副线圈的理想变压器模型 如图所示，原线圈匝数为 ，两个副线圈的匝数分别为 、 相应的电压分别为 、 和 ，相应的 电流分别为 、 和 根据理想变压器的工作原理可得 ① ②可得 ③ 根据 得： ④将 148①③代入④得 整理得 【模型演练1】如图所示，接在理想变压器回路中的四个规格相同的灯泡都正常发光，那么，理想变压器 的匝数比n∶n∶n 为( ) 1 2 3 A．1∶1∶1 B．3∶2∶1 C．6∶2∶1 D．2∶2∶1 【模型演练2】如图所示，电路中变压器原线圈匝数 n ＝1 000，两个副线圈匝数分别为 n ＝500、n ＝ 1 2 3 200，分别接一个R＝55 Ω的电阻，在原线圈上接入U＝220 V的交流电源．则两副线圈输出电功率之比和 1 原线圈中的电流I 分别是( ) 1 A．＝，I＝2.8 A B．＝，I＝2.8 A 1 1 C．＝，I＝1.16 A D．＝，I＝1.16 A 1 1 【模型演练3】.在如图所示的电路中，理想变压器原副线圈的匝数比 n∶n∶n ＝6∶3∶1，电流表均为理想交流 1 2 3 电流表，两电阻阻值相同.当在原线圈两端加上大小为U的交变电压时，三个电流表的示数之比I∶I∶I 为( 1 2 3 ) A.1∶2∶3 B.1∶2∶1 C.1∶3∶6 D.5∶9∶3 【模型演练4】（2023春·山东烟台·高三统考期中）在如图所示的电路中，交流电源输出50Hz、电压有效 149值为220V的正弦式交流电，通过副线圈 、 分别向10只标称为“12V、1.5A”的灯泡和“36V、5A”的 电动机供电，原线圈所接灯泡L的额定电压为40V，副线圈 的匝数为60匝。电路接通后，各用电器都恰 好正常工作。则下列说法中正确的是（ ） A．交流电源的输出功率为360W B．灯泡L的额定电流为2.0A C．副线圈 所接灯泡中的电流方向每秒钟改变50次 D．原线圈 的匝数为1100匝，副线圈 的匝数为180匝 【模型演练5】如图所示，一理想变压器由一个原线圈和两个副线圈组成，匝数比 ， a、b端接正弦交流电，电路中电阻 ，其余电阻均不计。若 消耗的功率为 ，则 消耗的 功率为 25 A. 9P B. P 9 5 1 C. P D. P 3 9 150五．理想变压器动态分析模型 【模型结构】1．变压器动态分析流程图 →→→→ 2．涉及问题 (1)U＝U，当U 不变时，不论负载电阻R变化与否，U 都不会改变． 2 1 1 2 (2)输出电流I 决定输入电流I． 2 1 (3)输出功率P 决定输入功率P． 2 1 【解题方法】1．变压器原线圈通入交变电流时，原线圈是交流电源的负载，此时原线圈和与之串、并联 的用电器同样遵循串、并联电路的特点和性质．对直流电，变压器不起作用，副线圈输出电压为零． 2．变压器的副线圈是所连接电路的电源，其电源电动势U 由输入电压和匝数比决定． 2 3．对其他形状的铁芯(如“日”字)，应认真分析原、副线圈之间磁通量的关系，再结合其变压原理来分析 变压器的电压和匝数之间的关系． 【命题角度】角度1 匝数比不变，负载R变化(如图甲) (1)U 不变，根据＝，输入电压U 决定输出电压U，可知不论负载电阻R如何变化，U 不变． 1 1 2 2 (2)当负载电阻R变化时，I 变化，可推出I 的变化． 2 1 (3)I 变化引起P 变化，根据P＝P 知P 的变化． 2 2 1 2 1 角度2 负载电阻R不变，匝数比变化(如图乙) (1)U 不变，发生变化，故U 变化． 1 2 (2)R不变，U 改变，故I 发生变化． 2 2 (3)根据P＝，P＝P，可以判断P 发生变化时，P 变化，U 不变时，I 发生变化． 2 1 2 2 1 1 1 【模型演练1】如图所示，理想变压器原线圈接在交流电源上，图中各电表均为理想电表．下列说法正确 的是( ) A．当滑动变阻器的滑动触头P向上滑动时，R 消耗的功率变大 1 B．当滑动变阻器的滑动触头P向上滑动时，电压表V示数变大 C．当滑动变阻器的滑动触头P向上滑动时，电流表A 示数变大 1 D．若闭合开关S，则电流表A 示数变大，A 示数变大 1 2 151【模型演练2】如图，理想变压器原线圈加正弦式交流电，副线圈上接有电阻R灯泡 、 ，闭合开关 S，滑片P处于图示位置，灯泡正常发光。则（ ） A．保持开关S闭合，将滑片P向下移，灯泡变暗 B．保持开关S闭合，将滑片P向上移，灯泡变暗 C．保持滑片P位置不变，断开开关S，灯泡 变暗 D．保持滑片P位置不变，断开开关S，灯泡 变亮 【模型演练3】（2023·陕西·统考一模）如图所示为某小型发电站高压输电示意图。升压变压器原、副线圈 两端的电压分别为 和 ，降压变压器原、副线圈两端的电压分别为 和 。在输电线路的起始端接入 两个互感器，两个互感器原、副线圈的匝数比分别为 和 ，各互感器和电表均为理想的，则下列说 法正确的是（ ） A．左侧互感器起到降压作用，右侧互感器起到降流作用 B．若电压表的示数为 ，电流表的示数为 ，则线路输送电功率为 C．若保持发电机输出电压 一定，仅将滑片 下移，则输电线损耗功率增大 D．若发电机输出电压 一定，若用户数增加，为维持用户电压 一定，可将滑片 下移 152【模型演练4】(多选)如图所示，理想变压器原、副线圈匝数比为1∶2，正弦交流电源输出的电压的有效值 恒为U＝12 V，电阻R＝1 Ω，R＝2 Ω，滑动变阻器R 最大阻值为20 Ω，滑片P处于中间位置，则( ) 1 2 3 A．R 与R 消耗的电功率相等 1 2 B．通过R 的电流为3 A 1 C．若向下移动P，电源输出功率增大 D．若向上移动P，电压表读数将变小 【模型演练5】(多选)如图所示，电路中的变压器为理想变压器，U为正弦式交变电压，R为变阻器，R 、 1 R 是两个定值电阻，A、V分别是理想电流表和理想电压表，则下列说法正确的是( ) 2 A．闭合开关S，电流表示数变大、电压表示数变小 B．闭合开关S，电流表示数变小、电压表示数变大 C．开关S闭合时，变阻器滑片向左移动的过程中，电流表、电压表示数均变小 D．开关S闭合时，变阻器滑片向左移动的过程中，电流表、电压表示数均变大 【模型演练6】(多选)如图所示，一理想变压器的原线圈与稳定的正弦交流电源相连，副线圈与定值电阻 R 和均匀密绕的滑动变阻器R串联．若不考虑温度对R 、R阻值的影响．在将滑动变阻器的滑片P由a匀 0 0 速滑到b的过程中( ) A．原线圈输入功率增大 B．原线圈两端电压增大 C．R两端的电压减小 D．R 消耗的电功率减小 0 六．远距离输电的电模型 1.五个关系式 (1)＝，＝. (2)理想变压器的输入功率等于输出功率，P ＝P 入 出． (3)升压变压器原线圈的电流I ＝，副线圈的电流I ＝，U 为输送 电 1 2 2 153压． (4)功率损失：ΔP＝IR ＝，P＝P＋ΔP. 线 2 3 (5)电压关系：U＝IR ＋U. 2 2 线 3 2.解远距离输电问题的思路 (1)正确画出输电过程示意图并在图上标出各物理量． (2)抓住变压器变压前后各量间关系，求出输电线上的电流． (3)计算电路功率问题时常用关系式：P ＝IR ，注意输电线上的功率损失和电压损失． 损 线 (4)电网送电遵循“用多少送多少”的原则说明原线圈电流由副线圈电流决定. 3.输电线路功率损失的计算方法 (1)P ＝P－P′，P为输送的功率，P′为用户所得功率． 损 (2)P ＝IR ＝()2R ，I 为输电线路上的电流，R 为线路电阻． 损 线 线． 线 线 当输送功率一定时，输电电压增大到原来的n倍，输电线上损耗的功率就减小到原来的. (3)P ＝，ΔU为输电线路上损失的电压，R 为线路电阻． 损 线 (4)P ＝ΔUI ，ΔU为输电线路上损失的电压，I 为输电线路上的电流． 损 线 线 4.关于远距离输电问题的处理思路 (1)画出输电线路图，将已知量和未知量标在图中相应位置； (2)将输电线路划分为几个独立回路； (3)根据串并联电路特点、欧姆定律、电功率公式等确定各部分回路物理量之间的关系； (4)根据升压、降压，原、副线圈的电压、电流关系和功率关系列式求解。 5.远距离输电问题的分析思路及常见的“三个误区” （1）分析思路：对高压输电问题，应按“发电机→升压变压器→远距离输电线→降压变压器→用电器”， 或按从“用电器”倒推到“发电机”的顺序一步一步进行分析． （2）三个误区： (1)不能正确地利用公式P ＝2R计算输电线上的损耗功率导致错误； 损 (2)不能正确理解升压变压器的输出电压U 、降压变压器的输入电压U 和输电线上损失的电压ΔU的关系 2 3 导致错误，三者关系是U＝ΔU＋U； 2 3 (3)不能正确理解升压变压器的输入功率P 、降压变压器的输出功率P 和输电线上损失的功率P 的关系导 1 4 损 致错误，三者关系是P＝P ＋P. 1 损 4 【模型演练1】风力发电将风的动能转化为电能.某风力发电机的输出功率为10kW，输出电压为250V，用 户得到的电压是220V，输电线的电阻为20 ，升压变压器原、副线圈匝数比为1:10，输电线路如图所示. 变压器视作理想变压器，则下列说法正确的是（ ） 154A．用户得到的电功率为9kW B．降压变压器原、副线圈匝数比为11:1 C．通过输电线的电流为4A D．输电线上损耗的功率为320W 【模型演练2】如图所示，高铁的供电流程是将高压220kV或110kV经过牵引变电所进行变压（可视作理 想变压器），降至27.5kV，通过接触网上的电线与车顶上的受电器进行接触而完成受电，机车最终获得 25kV的电力使高铁机车运行，以下说法正确的是（ ） A．若电网的电压为220kV，则变电所的变压器原、副线圈匝数比 B．若电网的电压为110kV，则变电所的变压器原、副线圈匝数比 C．如果高铁机车功率为8000kW，牵引变电所至机车间的线路损耗的电功率为800kW D．如果高铁机车功率为8000kW，则自牵引变电所至机车间线路的等效电阻约为85.9Ω 【模型演练3】（2023春·重庆·高三校联考期末）发电厂通过较长距离输电线直接向学校供电，发电机的 输出电压为 ，发电厂至学校的输电线总电阻为R，通过输电线的电流为I，学校的输入电压为 ，下列 计算输电线损耗功率的表达式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【模型演练4】（2023春·天津南开·高三统考期末）2020年9月，中国发布“双碳战略”，计划到2030年 155实现碳达峰、2060年实现碳中和。碳排放问题的治本之策是转变能源发展方式，加快推进清洁替代和电能 替代，一座小型水电站向山下村镇供电的示意图如图所示，升压变压器 与降压变压器 都是理想变压器。 已知发电机输出电压 V，两个变压器的匝数比 ， ，输电线电阻 ， 发电机输出功率 。则下列说法正确的（ ） A．输电线上损失的电压为800V B．用户得到的电压为200V C．输电线上损失的功率为32kW D．深夜，用户的用电器减少时输电线上损失的功率将变大 【模型演练5】（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考期末）在远距离输电技术上，中国 1100kV特高压直流输电工程是目前世界上电压等级最高、输送容量最大、输送距离最远、技术水平最先进 的输电工程。输电线路流程可简化为： 如虚线框所示，若直流输电线电阻为 ，直流电输送功率为 ，不计变压器、整流与逆变等造成 的能量损失，则（ ） A．直流电输电线路上的电流为500A B．直流电输电线路上损失的电压为100kV C．降压变压器的输出功率是 D．若将1100kV直流输电降为550kV直流输电，受端获得功率将比原来减少 156【模型演练5】（2023春·山西运城·高三统考期末）绿色环保低碳出行已经成为一种时尚，新能源汽车越 来越受市民的喜爱，正在加速“驶入”百姓家，某家用交流充电桩的供电电路如图所示。已知总电源的输 出电压为U=250V，输电线的总电阻r=20Ω，变压器视为理想变压器，其中升压变压器原副线圈的匝数比 1 为n：n=1：8，汽车充电桩的额定电压为U=220V，额定功率为9.5kW。当汽车以额定电压充电时，下列 1 2 4 说法中正确的是（ ） A．通过输电线的电流为5A B．电源的输出功率为10.5kW C．输电线因发热而损失的功率为输送功率的4% D．降压变压器原、副线圈的匝数之比为100：11 专题 19 电磁感应中的单导体棒模型 一.阻尼式单导体棒模型 【模型如图】 1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为 时，电动势 2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小： 3．加速度特点：加速度随速度减小而减小, 1574．运动特点：速度如图所示。a减小的减速运动 5．最终状态:静止 6．四个规律 (1)全过程能量关系： , 速度为 时的能量关系 电阻产生的焦耳热 (2)瞬时加速度： ， (3)电荷量 (4)动量关系： (安培力的冲量 ) 安培力的冲量公式是 ① 闭合电路欧姆定律 ② 平均感应电动势： ③ 位移： ④ ①②③④得 【模型演练1】（2023春·山西晋城·高三校联考期末）舰载机利用电磁阻尼减速的原理可看作如图所示的 158过程，在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，有间距为L的水平平行金属导轨ab、cd，ac 间连接一电阻R，质量为m、电阻为r的粗细均匀的金属杆MN垂直于金属导轨放置，现给金属杆MN一水 平向右的初速度v，滑行时间t后停下，已知金属杆MN与平行金属导轨间的动摩擦因数为μ，MN长为 0 2L，重力加速度为g，下列说法中正确的是（ ） A．当MN速度为v 时，MN两端的电势差为 1 B．当MN速度为v 时，MN的加速度大小为 1 C．当MN速度为v 时，MN的加速度大小为 1 D．MN在平行金属导轨上滑动的最大距离为 【模型演练2】（2023·北京·高三专题练习）如图所示，宽度为L的平行金属导轨水平放置，一端连接阻值 为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。将质量为m，电阻为r的导体棒 MN放在导轨上，与导轨接触良好，其长度恰好等于导轨间距，导轨的电阻忽略不计，导轨足够长。在平 行于导轨的拉力F作用下，导体棒从静止开始沿导轨向右运动。当导体棒速度为v时： （1）求导体棒两端的电压U； （2）求导体棒所受安培力的功率； （3）若已知此过程中导体棒产生的电热为 ，因摩擦生热为 ，求拉力F做的功W。 159【模型演练3】（2023春·安徽宣城·高三安徽省宣城市第二中学校考期末）如图所示，两条足够长的金属 导轨水平放置，相距为L，处于磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场中，导轨左端接 一电阻R，将长为L的金属杆CD置于导轨上，质量为m，电阻为r，与水平导轨间的动摩擦因数为μ。现 给金属杆一个水平向右的初速度为v，杆在运动距离x后停下，运动过程中杆与导轨始终保持垂直且接触 良好，重力加速度为g，不计导轨电阻，求： （1）刚开始运动时金属杆CD产生的电动势及其加速度大小； （2）整个过程中电阻R上产生的焦耳热和流经R的电量； （3）整个过程中金属杆CD运动所用的时间。 【模型演练4】（2023春·云南楚雄·高三统考期末）速度均匀变化的运动是最简单的变速运动，速度随时 间均匀变化的直线运动叫作匀变速直线运动，速度随位移均匀变化的直线运动叫作另类匀变速线运动。如 图甲所示，质量为 的金属棒放在宽度为L的平行光滑导轨上，整个装置处于竖直向下、磁感应强度大小 为B的匀强磁场中，回路中的总电阻为R。给金属棒一个向右的初速度 ，金属棒沿导轨做另类匀减速直 线运动，其 图像如图乙所示，求： （1）金属棒的最大加速度 ； （2）金属棒在停止运动前通过电路中某截面的电荷量q； （3）金属棒在导轨上运动的距离 。 160【模型演练5】（2023春·北京顺义·高三统考期末）在物理学的研究过程中，对变速运动的研究是从最简 单的变速直线运动开始的。最简单的变速直线运动，速度应该是均匀变化的。速度随时间均匀变化的直线 运动叫做匀变速直线运动，加速度 为一定值。若某种变速运动的速度v是随位移x均匀变化的， 请解答以下问题： （1）类比速度随时间均匀变化的运动中加速度a的定义，写出速度随位移均匀变化的运动中加速度 的 定义式，使 也为定值； （2）如图所示，质量为m的金属棒放在宽度为L的光滑导轨上，导轨左侧连接阻值为R的电阻，金属棒 和导轨电阻均不计。整个装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中。给金属棒一个水平向右的初速度 ， 运动过程中金属棒始终与导轨垂直。 ①证明金属棒运动的速度v随位移x是均匀变化的，加速度 为定值； ②a．请从牛顿运动定律的角度分析金属棒的加速度 的变化情况； b．请从 不变的角度分析金属棒的加速度 的变化情况。 二．发电式单导体棒模型 【模型如图】 1611．电路特点：导体棒相当于电源，当速度为 时，电动势 2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大. 3．加速度特点：加速度随速度增大而减小. 4．运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动 5．最终特征：匀速运动 6．两个极值(1) 时,有最大加速度： 时,有最大速度： (2) 7．稳定后的能量转化规律 8．起动过程中的三个规律 动量关系： (1) (2)能量关系： (3)电荷量 9．几种变化 (1) 电路变化 162(2)磁场方向变化 (3) 导轨面变化（竖直或倾斜） 10.若 的作用下使导体棒做匀加速直线运动则 随时间线性变化。 证明：根据法拉第电磁感应定律 ..................................................................（1） 闭合电路欧姆定律 ..................................................................(2) 安培力F＝BIL...............................................................（3） 由（1）（2）（3）得 ......................................（4） 由牛顿第二定律 .................................（5）得 由运动学公式 ............................................(6) (5)(6)联立得 ....................................(7) 由（7）式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即 【模型演练1】（2023春·福建福州·高三校考期末）固定在水平桌面上的平行光滑金属导轨如图甲所示， 导轨间距 ，左端与 的电阻相连，导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，导体棒 垂直 放在导轨上。现给导体棒施加一水平向右的恒力 ，测得导体棒速度随时间变化的图像如图乙所示。已知 导体棒质量 ，有效阻值 ，磁场磁感应强度 ，其它电阻不计。 163（1）求导体棒运动过程中通过电阻 的最大电流，此时 多大； （2）求 时导体棒加速度的大小； （3）若导体棒开始运动后 内通过的位移 ，求该时间内电阻 上产生的热量。 【模型演练2】（2023春·湖南长沙·高三周南中学校考期末）如图甲所示，两平行导轨是由倾斜导轨（倾 角为θ）与水平导轨用极短的圆弧导轨平滑连接而成的，并处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀 强磁场中，两导轨间距为L，上端与阻值为R的电阻连接。一质量为 、电阻为r的金属杆MN在t=0时 由静止开始在平行倾斜导轨平面方向向下的拉力（图中未画出）作用下沿导轨下滑。当杆MN运动到 处时撤去拉力，杆MN在水平导轨上继续运动，其速率v随时间t的变化图象如图乙所示，图中 和 为 已知量。若全过程中电阻R产生的总热量为Q，杆MN始终垂直于导轨并与导轨保持良好接触，导轨的电 阻以及一切摩擦均不计，重力加速度为g，求： （1）杆MN中的最大感应电流 的大小和方向； （2）拉力做的功 ； （3）撤去拉力后杆MN在水平导轨上运动的路程s。 164【典例分析3】（2023春·安徽合肥·高三统考期末）如图所示，倾角30°、宽为 的足够长U形光滑金属导 轨固定在磁感应强度为 、范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上，重力加速度为 。 现用一平行于导轨向上的拉力 ，牵引一根长为 、质量为 、电阻为 的金属棒 ，由静止开始沿导轨 向上做匀加速运动，加速度大小为 。金属棒 始终与导轨垂直且接触良好， 边电阻为 ，导轨 其他部分电阻不计。 （1）写出拉力 的大小随时间 变化的关系式； （2）求在时间 内通过导体某一横截面的电荷量； （3）若在时间 内拉力 做的功为 ，求这一过程金属棒 中产生的热能是多少。 【模型演练4】（2023春·山东菏泽·高三统考期末）如图甲所示，两条足够长的平行金属导轨间距为 l=0.5m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为R=0.8Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直 于斜面向上、大小为B=1T的匀强磁场。将质量为m=0.5kg、电阻值为r=0.2Ω的金属棒在AB处由静止释放， 其下滑过程中的v-t图像如图乙所示。金属棒下滑过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计导轨的电阻， 取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求金属棒与导轨间的动摩擦因数； （2）求金属棒在磁场中能够达到的最大速率； （3）金属棒从进入磁场至速率最大的过程中，通过电阻R的电荷量为9.1C，求此过程中电阻R上产生的 165焦耳热。 【模型演练5】（2023·福建南平·统考模拟预测）如图甲，倾角 的足够长光滑导轨，导轨间距 ，该端接有 的定值电阻，导轨处在磁感应强度大小 ，方向垂直导轨平面向上的匀强磁 场中。质量 、阻值 的金属棒，在平行于导轨的拉力F作用下，由静止开始从CD处沿导轨 向上加速运动，金属棒的速度—位移图像如图乙所示，金属棒始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻忽略 不计，重力加速度 ，求： （1）通过金属棒的电荷量为1C时，金属棒的位移大小； （2）速度 时，电阻R的发热功率； （3）金属棒从CD处沿导轨向上运动 的过程中，外力F做的功。 【模型演练6】（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）相距 m的足够长平行金属导轨 竖直放置，质量为 kg的金属棒 和质量为 kg的金属棒 均通过棒两端的套环水平地套在 金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场 磁感应强度大小相。 棒光滑， 棒与导轨间动摩擦因数为 ，两棒电阻均为 ，导轨电阻不 166计。 时刻起， 棒受到一外力F（方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化）作用下，从静止开 始沿导轨匀加速运动，同时也由静止释放 棒。 m/s2. （1）求磁感应强度B的大小和 棒加速度大小； （2）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中金属棒 产生的焦耳热； （3）求出 棒达到最大速度时所对应的时刻。 【模型演练8】（2023春·河南郑州·高三统考期末）如图甲所示，两根平行且足够长的粗糙金属导轨间距 ，和阻值 的定值电阻组成的回路平面与水平面的夹角 。匀强磁场垂直于导轨平面 向上，磁感应强度 。一质量为 、电阻为r、长 的导体棒ab垂直放置在导轨上，从 静止释放后，金属棒沿导轨向下运动 时达到最大速度，此过程中金属棒的加速度a和速度v的关系 如图乙所示，金属棒在运动中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻， ，求：（已知 ， 不考虑电磁辐射） （1）金属棒与导轨间的动摩擦因数 ； （2）金属棒的电阻r； （3）导体棒从静止释放到速度达到最大所经历的时间t和此过程中电阻R上产生的焦耳热 。 167三．无外力充电式单导体棒模型 基本 模型 规律 (电阻阻值为R，电容器电容为C) 电路特点 导体棒相当于电源，电容器被充电. 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器被充电 电流特点 U 变大，当BLv＝U 时，I＝0，F ＝0，棒匀速运动. C C 安 运动特点和最终 a减小的加速运动，棒最终做匀速运动，此时I＝0，但 特征 电容器带电荷量不为零. 电容器充电荷量：q＝CU 最终电容器两端电压U＝BLv 最终速度 对棒应用动量定理： mv－mv＝BL·Δt＝BLq 0 v＝. v－t图象 【模型演练】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为 l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨 接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v，使杆向 0 右运动．则( ) A．当杆ab刚具有初速度v 时，杆ab两端的电压U＝，且a点电势高于b点电势 0 B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大 C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v，使杆 0 向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝ D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势 四．无外力放电式单导体棒模型 基本 模型 规律 168(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动. 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时 电流的特点 阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时U ＝ C BLv. 运动特点及最终 a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0. 特征 电容器充电荷量：Q＝CE 0 放电结束时电荷量： Q＝CU＝CBLv m 电容器放电荷量： 最大速度v m ΔQ＝Q－Q＝CE－CBLv 0 m 对棒应用动量定理： mv ＝BL·Δt＝BLΔQ m v ＝ m v－t图象 【模型演练1】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）如图所示，固定在水平面上的足够长的光滑平行直导轨处 于垂直平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B。一端连接着一个电容器和电源，电容为C，电源 电动势为E。导轨上放着一根质量为m，长度为L与导轨间距相同，有固定阻值的均匀导体棒。与电容器 连接的单刀双掷开关先与左边闭合，待充电结束后，某时刻与右边闭合，随后导体棒在运动的过程中始终 与导轨接触良好，不计其他位置的电阻，求： （1）判断导体棒运动规律，求出稳定后的最大速度v； （2）稳定后电容器所带电量Q。 【模型演练2】（2023·河南开封·统考三模）如图所示，间距为 的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左端 接有一个单刀双掷开关S，1端接有阻值为 的定值电阻，2端接有电容为 （末充电）的电容器，两导轨 间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 。当开关 接位置1时，放在导轨上的质量为 、阻值 为 的均匀金属杆 ，在水平向右的恒力 作用下由静止开始运动，经时间 开始做匀速直线运动，运动 169过程中金属杆ab始终与两导轨垂直且保持良好接触。已知重力加速度为 ，导轨足够长且电阻不计，求： （1）金属杆 匀速运动时的速度大小； （2）金属杆 由静止到匀速时运动的位移大小； （3）若开关 接位置2时，金属杆 仍在恒力 作用下由静止开始运动，经时间 金属杆的速度大小。 五．有外力充电式单导体棒模型 【模型结构】 【情景】：轨道水平光滑，单杆 质量为 ，电阻 ，两导轨间距为 ，拉力 恒定 设金属棒运动的速度大小为 ，则感应电动势为 (1) 经过 速度为 ，此时感应电动势 2) 时间内流入电容器的电荷量 .......(3) 电流 ,(4) 安培力 .(5) 由牛顿第二第定律 (6) (7) 所以杆以恒定的加速度匀加速运动 对于导体棒 ，克服安培力做多少功，就应有多少能量 转化为电能，则有: (8) 170(9) 由 (7) (8) (9) 式得: 所以在 t 秒内转化为电能的多少是: 【反思】由模型可知: 只要导体棒受恒定外力，导体棒必做匀变速运动，且加速度为 ; 如 果外力不恒定，则导体棒做非匀变速运动; 如果不受外力，则导体棒匀速运动或静止．反之，只要导体棒 速度均匀变化( a 恒定) ，感应电动势就均匀变化，电容器的带电量就均匀变化，回路中的 电流就恒定不 变( ) ，导体棒所受安培力就恒定不变 ( ，外力就恒定不变． 【模型演练1】(多选)(2021·河南三门峡市一模)如图所示，间距为L的两根平行光滑导轨竖直放置，导轨间 接有电容器C，装置处于垂直轨道平面的匀强磁场B中，质量为m、电阻为R的金属杆ab接在两导轨之间 并由静止释放，ab下落过程中始终保持与导轨接触良好，设导轨足够长，电阻不计，下列说法正确的是( ) A．ab做自由落体运动 B．ab做匀加速运动，且加速度为a＝ C．ab做匀加速运动，若加速度为a，则回路的电流为I＝CBLa D．ab做加速度减小的变加速运动，最后匀速运动，最大速度为v ＝ m 【模型演练2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图甲所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大 小 的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距 ，左端连接阻 值 的电阻。质量 的导体棒ab垂直跨放在导轨上，与导轨间的动摩擦因数 ，从 时刻开始，通过一小型电动机对棒施加一个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运 动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，除R以外其余部分的电阻均不计，重力加速度g取 （1）若电动机保持恒定功率输出，棒的 图象如图乙所示（其中OA是曲线，AB是直线），已知 171内电阻R上产生的热量 ，求：导体棒达到最大速度 时牵引力大小及导体棒从静止开始达 到最大速度 时的位移大小； （2）若电动机保持恒定牵引力 ，且将电阻换为 的电容器（耐压值足够大），如图丙所示， 证明导体棒做匀加速运动，并求出加速度。 【模型演练3】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，足够长的两条光滑平行倾斜金属导轨与两条粗糙平 行水平金属导轨的间距均为L，倾斜导轨与水平面的夹角为 、上端接有一阻值为R的电阻，水平导轨左 端接有一电容为C的电容器，倾斜导轨与水平导轨间通过开关（图中未画出）平滑相连接。导轨均处于匀 强磁场中，磁场方向均垂直于导轨平面向上，磁感应强度大小均为B。在倾斜导轨上某处由静止释放一质 量为m的金属棒，经过时间t，金属棒沿倾斜导轨下滑到底端，此时金属棒已做匀速运动，进入水平导轨 时开关受到触发而断开。已知金属棒在滑动过程中始终与导轨垂直并接触良好，与水平导轨间的滑动摩擦 因数为 ，重力加速度为g，不计金属棒和导轨的电阻。求： （1）金属棒下滑到倾斜导轨底端时，金属棒的速度大小v。 （2）金属棒下滑过程中，通过电阻R的电荷量q。 （3）金属棒在水平导轨上滑行的位移大小x。 【模型演练4】（2023春·浙江舟山·高三统考期末）如图1所示，空间存在方向竖直向下、磁感应强度大 小B=0.5T的匀强磁场，有两条平行的长直导轨MN、PQ处于同一水平面内，间距L=0.2m，左端连接阻值 的电阻。质量m=0.1kg的导体棒ab垂直跨接在导轨上，与导轨间的动摩擦因数 。从t=0 172时刻开始，通过一小型电动机对棒施加—个水平向右的牵引力，使棒从静止开始沿导轨方向做加速运动， 此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。除R以外其余部分的电阻均不计。 （1）若电动机以恒定功率输出，棒在t=10s时达到最大速度 ，此后保持匀速。求导体棒达到最 大速度 时牵引力的大小； （2）第（1）问中已知0～10s内电阻上产生的热量Q=30J，求导体棒从静止开始达到最大速度 时的位 移大小； （3）若电动机对棒保持恒定牵引力F=0.3N、且将电阻换为C=10F的电容器（耐压值足够大），如图2所 示，求t=10s时牵引力的功率。 六．含“源”电动式模型 1.开关S刚闭合时，ab杆所受安培力F＝，此时a＝.速度v↑⇒E 感 ＝BLv↑⇒I↓⇒F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E 感 ＝E时，v最大，且v ＝ m 2.动力学观点：分析最大加速度、最大速度 3.能量观点：消耗的电能转化为动能与回路中的焦耳热 4.动量观点：分析导体棒的位移、通过的电荷量 【模型演练1】（2023春·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期末）将电源、开关、导体棒与足够长的 光滑平行金属导轨连接成闭合回路，整个回路水平放置，俯视图如图所示，虚线右侧存在竖直向上的匀强 磁场。已知磁感应强度为B，电源电动势为E、内阻为r。导体棒的质量为m，电阻为r，长度恰好等于导 轨间的宽度L，且与导轨间接触良好，不计金属轨道的电阻。 （1）求闭合开关瞬间导体棒的加速度的大小a； （2）分析说明开关闭合后，导体棒的运动过程，并求导体棒最终的速度大小v； （3）当导体棒的速度从0增加到v 的过程中，通过导体棒的电量为q，求此过程中导体棒产生的焦耳热 1 173Q。 【模型演练2】（2023·安徽芜湖·芜湖一中校考模拟预测）如图1所示，固定于水平面的足够长光滑U形导 体框处于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，导体框两平行导轨间距为L，左端接一电动势为 E、内阻为r的电源。一质量为m、电阻为R、长度也为L的导体棒 垂直导体框放置并接触良好。闭合开 关S，导体棒从静止开始运动。忽略一切阻力和导体框的电阻，重力加速度为g。 （1）闭合开关S后，导体棒由静止开始到达到稳定状态的过程中，求通过导体棒 的电荷量q和整个回 路产生的焦耳热 ； （2）如果将导体棒左侧通过轻绳和光滑定滑轮连接一质量为M的重物（如图2所示），闭合开关S，导体 棒向右运动的过程中可以将重物提升一定高度，这就是一种简化的直流电动机模型，被提升的重物M即为 电动机的负载。电动机达到稳定状态时物体匀速上升，求此时导体棒 两端的电势差 及速度 的大小。 【模型演练3】（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考期中）如图所示，水平放置且足够长 的两条平行金属导轨，一端由电源和开关相连，导轨间距 ，电源的电动势和内阻分别为 、 。一根电阻 的金属杆垂直于导轨放置。无限大匀强磁场与导轨平面垂直，磁感应强度 。不计导轨电阻，金属杆质量 ，与导轨的动摩擦因数 ，重力加速度 。 （1）求开关刚闭合瞬间流过金属棒的电流 和最终流过金属棒的电流 ； （2）定性绘制出金属棒的加速度随时间变化图像曲线，并求当金属棒获得 的速度时金属棒的加 174速度大小； （3）若在金属杆的运动过程中不计任何阻力，求整个过程中流过金属杆的总电荷量q。 专题 20 电磁感应中的双导体棒和线框模型 一.无外力等距双导体棒模型 【模型如图】 1．电路特点 棒2相当于电源；棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势. 2．电流特点： 随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度 变小，回路中电流也变小。 时：电流最大， 。 时：电流 3．两棒的运动情况 175安培力大小： 两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1做加速度变小的加速运动，棒2做加速度变小的减速 运动，最终两棒具有共同速度。 4．两个规律 (1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零, 系统动量守恒. (2)能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞） 两棒产生焦耳热之比： ； 5．几种变化： (1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3)两棒都有初速度（两棒动量守恒吗？） (4)两棒位于不同磁场中（两棒动量守恒吗？） 【模型演练1】（2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习）如图所示，MN、PQ是相距为 的两平行光滑金属轨道，倾斜轨道MC、PD分别与足够长的水平直轨道CN、DQ平滑相接。水平轨 道CN、DQ处于方向竖直向下、磁感应强度大小为 的匀强磁场中。质量 、电阻 、长 度 的导体棒a静置在水平轨道上，与a完全相同的导体棒b从距水平轨道高度 的倾斜轨道 上由静止释放，最后恰好不与a相撞，运动过程中导体棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计， 重力加速度g取 。下列说法正确的是（ ） 176A．棒b刚进入磁场时的速度大小为 B．棒b刚进入磁场时，棒a所受的安培力大小为 C．整个过程中，通过棒a的电荷量为 D．棒a的初始位置到CD的距离为 【模型演练2】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）如图所示，水平面上固定有足够长的两平行 光滑金属导轨，导轨间的正方形区域abcd有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，该区域边 长为L=1m。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。质量为 的金属棒P和另一根质量为 的金属棒Q分别静置在导轨上的不同位置，如下图所示。现将金属棒P从离水平面高度h（单 位为米）处静止释放。若两棒发生碰撞，则所有碰撞均为弹性碰撞。已知两金属棒的电阻值均为 ， 重力加速度取 ，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计，两根金属棒运动过程中始终与导 轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（ ） A．P刚进入磁场时受到的安培力F的大小为 B．每当P完整穿过磁场区域，P的速率就减小5m/s C．当 ，P和Q不会发生碰撞 D．当 ，P和Q恰好不发生第二次碰撞 177【模型演练3】（2023·河北沧州·河北省吴桥中学校考模拟预测）如图所示，固定足够长的间距为L的平行 光滑金属导轨由水平段和倾角为 的倾斜段平滑相接构成，正方形 区域内存在垂直于倾斜导轨向上、 磁感应强度大小为B的匀强磁场；水平导轨间从EF向右区域内存在一个竖直向上的匀强磁场，磁感应强 度大小也为B。一根质量为m、阻值为R、长度为L的金属棒a在倾斜导轨上磁场区域的上边界AB处由静 止释放，经过时间t穿过 区域后，与水平导轨上另一根质量为2m、阻值为R、长度为L的静止在EF 左侧的金属棒b发生弹性碰撞。已知两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，两金属棒碰撞后金属棒a运动 至倾斜导轨底端时被固定，不再上滑，不计导轨电阻，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ） A．金属棒a穿过 区域的过程中，通过回路的电荷量为 B．金属棒a穿过 区域的过程中，产生的焦耳热为 C．碰撞后瞬间金属棒a速度的大小为 D．金属棒b最终停在EF的右边 处 【模型演练4】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）如图（a），水平面内有两根足够长的光滑平行固定 金属导轨，间距为d。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。同种材料制成、 粗细均匀、长度均为d的两导体棒M、N静止放置在导轨上。已知M的质量为m，阻值为R，导轨电阻不 计。现给M棒一水平向右的初速度v₀，其速度随时间变化关系如图（b）所示，两导体棒运动过程中，始 终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ） A．导体棒N的质量为 B．导体棒N的阻值为 178C．在0~t₁内，导体棒M产生的热量为 D．在0~t₁内，通过导体棒M的电荷量为 【模型演练5】如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 B＝0.5 T．在匀强磁场区域内，有 一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距 L＝1 m，电阻可忽略不计．质量均为 m＝1 kg，电阻均为R＝2.5 Ω的金属导体棒MN和PQ垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好．先将PQ暂 时锁定，金属棒MN在垂直于棒的拉力F作用下，由静止开始以加速度a＝0.4 m/s2向右做匀加速直线运动， 5 s后保持拉力F的功率不变，直到棒以最大速度v 做匀速直线运动． m (1)求棒MN的最大速度v ； m (2)当棒MN达到最大速度v 时，解除PQ锁定，同时撤去拉力F，两棒最终均匀速运动．求解除PQ棒锁 m 定后，到两棒最终匀速运动的过程中，电路中产生的总焦耳热． (3)若PQ始终不解除锁定，当棒MN达到最大速度v 时，撤去拉力F，棒MN继续运动多远后停下来？(运 m 算结果可用根式表示) 【模型演练6】（2023·安徽芜湖·统考二模）如图所示， 和 是两根足够长且电阻不计的固定光 滑平行金属轨道，其中 和 为轨道的水平部分， 和 是倾角 的倾斜部分。在 右侧 空间中存在磁感应强度大小 ，方向坚直向上的匀强磁场，不计导体棒在轨道连接处的动能损失。将 质量 ，单位长度电阻值 的导体棒 于倾斜导轨上，距离斜面轨道底端高度 ，另 一完全相同的导体棒 静止于水平导轨上，导轨间距均为 ，导体棒长度均为 。 时， 导体棒 从静止释放，到两棒最终稳定运动过程中， 棒未发生碰撞，且两导体棒始终与导轨保持 垂直，g取 。求： （1） 棒刚滑到斜面轨道底端时回路中产生的电流； （2）两导体棒的最终速度大小； （3）从开始计时到两棒最终稳定运动过程中，通过回路的电荷量。 179【模型演练7】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，间距L=1m的粗糙倾斜金属轨道与水平面间的夹 角 ，在其顶端与阻值为2R的定值电阻相连，间距相同的光滑金属轨道固定在水平面上，两轨道都 足够长且在 处平滑连接， 至 间是绝缘带，保证倾斜轨道与水平轨道间电流不导通。倾斜轨道 处有垂直轨道向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场，水平轨道处有竖直向上、磁感应强度大小为 的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m=0.1kg，两棒接入电路部分的电阻均为R。初始时刻， 导体棒1放置在倾斜轨道上，且距离 足够远，导体棒2静置于水平轨道上。已知倾斜轨道与导体棒1 间的动摩擦因数 ，R=1Ω。现将导体棒1由静止释放，运动过程中未与导体棒2发生碰撞。 ， ，重力加速度g取 ，两棒与轨道始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，不 计金属棒1经过 时的机械能损失。求： （1）导体棒1滑至 瞬间，导体棒2的加速度大小； （2）整个运动过程中通过导体棒2的电荷量。 【模型演练8】（2023·福建宁德·校考三模）如图所示，相距 的平行轨道由两部分组成，其中圆弧 轨道光滑，水平轨道粗糙。水平轨道 区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度 。光滑导体 棒 的质量 ，电阻 ；另一导体棒 的质量 ，电阻 ，放置在足够长 的水平轨道上，导体棒 与水平导轨间的动摩擦因数 ，光滑足够长斜面的倾角 ，斜面顶端 固定一轻质光滑小定滑轮，滑轮与水平轨道等高。一绝缘轻绳绕过滑轮一端与导体棒 相连，另一端与处 于斜面上的小物块相连，且 与物块恰好均保持静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现让 棒从距 水平轨道高为 处由静止释放，在之后的运动过程中， 棒恰好能与水平轨道上的 棒相遇，全 程两棒均未出磁场区域。已知重力加速度 ，求： （1）小物块的质量 ； 180（2）导体棒 的初始位置与水平轨道最左端 间的距离 ； （3）整个过程中，导体棒 产生的焦耳热 。 二．有外力等距双导体棒模型 【模型如图】 1．电路特点：棒2相当于电源，棒1受安培力而起动. 2．运动分析：某时刻回路中电流： 安培力大小： 。棒1： 棒2： 最初阶段， , 只要 , ； ； ； ； 当 时， 恒定， 恒定， 恒定，两棒匀加速 3．稳定时的速度差 181， ， ， ， 【模型演练1】（2023·河北张家口·统考三模）如图所示，水平固定的两足够长平行金属导轨处于足够大的 匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于轨道平面竖直向上（未画出），轨道间距为L、导体棒 ab、cd用绝缘细线连接，垂直导轨放置且与导轨接触良好，接入电路的电阻均为R。现给导体棒cd施加平 行于导轨方向的恒力F，使之以速度 做匀速运动。某时刻剪断导体棒间的细线，从剪断细线开始计时， 经过时间t，导体棒cd达到最大速度，ab仍具有一定的速度。已知两导体棒质量均为m，与导轨间的动摩 擦因数均为μ，重力加速度为g。从剪断细线到导体棒cd达到最大速度的过程中，下列说法正确的 （ ） A．导体棒ab、cd组成的系统动量守恒 B．导体棒cd的最大速度为 C．通过ab的电荷量为 D．ab、cd相对滑动的距离为 【模型演练2】（2023·广东清远·校考模拟预测）如图所示，间距为 的两光滑平行金属导轨固定在水平绝 缘台上，导轨足够长且电阻不计，质量分别为 、 的金属棒 垂直导轨静止放置，导轨间金属棒的 电阻均为 ，整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为 的匀强磁场中。现用水平恒力 向右拉金 属棒 ，运动过程中 始终垂直导轨并与导轨保持良好接触，最终 运动保持稳定状态，则（ ） 182A． 所受的安培力大小为 B． 中电流为 C． 和 的速度差恒为 D． 和 之间的距离保持恒定 【模型演练3】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某物理小组想出了一种理想化的“隔 空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度， 这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固 定水平平行导轨上放有两个金属棒 和 ,磁感应强度 的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方 向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图为模型俯视图，导轨间的距离 ，每根金属棒质量 均为 ，电阻都为 ，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良 好，在 时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为 恒力作用于金属棒 上，使金属棒 在导轨上滑动，经过 ，金属棒 的加速度 ，求： （1）此时金属棒 的加速度是多少？ （2）此时两金属棒的速度各是多少？ （3）金属棒 和 的最大速度差是多少？ 【模型演练4】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在水平面上固定有两光滑平行金属导轨， 如图（a）所示。虚线MN左侧存在着竖直向下的匀强磁场，导体棒 垂直静止在导轨上且接触良好， 导体棒 用轻质绝缘杆相连，三根导体棒的长度以及导轨宽度均为 。现固定导体棒 ，对导 183体棒 施加一个与其垂直的力 ，使导体棒 做匀加速直线运动， 随导体棒 速度 的变化图像如图 （b）所示，经时间 撤去拉力，同时释放导体棒 ，经过一段时间三根导体棒运动状态达到稳定， 此时导体棒 间的距离 。已知三根导体棒质量相同，均为 ，电阻相同，均为 ， 其余电阻不计。求： （1）磁场的磁感应强度和撤去拉力时导体棒 的速度； （2）从撤去 到运动状态达到稳定过程中导体棒 上产生的焦耳热； （3）导体棒 穿出磁场时的速度和轻杆对导体棒 拉力的大小。 【模型演练5】（2023·湖北·模拟预测）如图，两条足够长的平行金属导轨间距L＝0.5m，与水平面的夹角 θ＝30°，处于磁感应强度B＝0.2T、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量 分别为m＝0.3kg、m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F a b 沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取 重力加速度g＝10m/s2.已知当a棒中产生的焦耳热Q＝0.12J时，其速度v＝1.0m/s，求： a a （1）此时b棒的速度大小； （2）此时b棒的加速度大小； （3）a棒从静止释放到速度达到1.0m/s所用的时间。 三．不等距导轨双导体棒模型 1.a棒减速，b棒加速，E＝BL 1 v a －BL 2 v b 由v a ↓v b ↑⇒E↓⇒F 安 ↓⇒a↓，当BL 1 v a ＝BL 2 v b 时，a＝0，两棒匀速 1842.动力学观点：最终速度 3.能量观点：动能转化为焦耳热 4.动量观点： BIL t＝mv－mv 1 0 a BIL t＝mv－0 2 b 【模型演练1】（2023·福建泉州·福建省德化第一中学校联考一模）如图，水平面内固定着足够长的光滑平 行导轨 ， 导轨宽度是 导轨宽度的2倍， 导轨宽度为L，导轨处于方 向垂直于轨道平面向里的匀强磁场中，金属棒PQ和MN分别垂直导轨放置在导轨 段和 段 上，金属棒PQ和MN的质量之比为2:1，长度分别为2L和L，两金属棒电阻均为R。现给金属棒MN一个 向右的初速度，运动过程中两棒始终没有离开各自的导轨段，并与导轨接触良好，其余部分的电阻均不计， 则（ ） A．运动过程中金属棒PQ和MN的加速度大小之比为1:2 B．运动过程中金属棒PQ和MN所受的安培力的冲量大小之比为2:1 C．运动到速度稳定时金属棒PQ和MN的速度之比为1:2 D．运动到速度稳定时金属棒PQ和MN两端的电压之比为2:1 【模型演练2】（2023·全国·高三专题练习）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两 侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电 阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两 棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在 弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的足（ ） 185A．弹簧伸展过程中、回路中产生顺时针方向的电流 B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为 C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1 D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为 【模型演练3】（2023春·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）如图所示，光滑的平行金属导轨固定在绝 缘水平面上，导轨处在垂直于水平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，左侧导轨间的距离为 ， 右侧导轨间的距离为L，导体棒1、2垂直放置于导轨之间，导体棒1放置在左侧导轨上，导体棒2放置在 右侧导轨上，且与导轨接触良好，导体棒1、2的材料相同，且两棒的电阻相等。初始时导体棒2静止在导 轨上，导体棒1以初速度 开始向右运动，导体棒1始终在宽导轨上，导轨都足够长，导体棒2的质量为 m，导轨电阻不计，则（ ） A．初始状态，导体棒1两端的电压为 B．导体棒1最终以速度 匀速运动 C．系统稳定后两棒的电动势均为 D．从静止开始到系统稳定导体棒2的发热量为 【模型演练4】（2023·海南·统考模拟预测）如图所示，水平金属导轨左右两部分宽度分别是 和 ，导 轨处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 ，两根导体棒 的质量分别为 和 ， 有效电阻分别是 和 ，垂直于导轨放置在其左右两部分上，不计导轨电阻，两部分导轨都足够长， 与导轨间的动摩擦因数均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 。若 在水平拉力 作用下向右做匀速直线运动，运动中与导轨垂直且接触良好，而 恰好保持静止，则（ ） 186A． 做匀速直线运动的速度大小为 B． 做匀速直线运动的速度大小为 C．水平拉力大小为 D．水平拉力大小为 【模型演练5】（2023·山东·模拟预测）如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、 大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质 量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始 时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度 ，不计导轨电阻，则（ ） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电量为 【模型演练6】（2023·福建·模拟预测）如图所示，固定在水平绝缘桌面上的光滑金属导轨 ，宽 处间距为L，窄处间距为 ，导轨所在区域分布有磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。由同 187种材料制成、横截面积相同的金属杆cd（长为L）和ef（长为 ），分别垂直导轨宽处和窄处静止放置， 两杆与导轨始终接触良好。现给金属杆cd水平向右、大小为 的初速度，不考虑杆cd进入导轨窄处后的 运动过程。已知金属杆ef的质量为m、电阻为R，不计导轨电阻。在金属杆cd开始运动后的足够长时间内， 下列说法正确的是（ ） A．回路中的最大电流为 B．金属杆cd的最小速度为 C．回路中产生的焦耳热为 D．通过杆某一横截面的电荷量为 【模型演练7】（2023·湖南·模拟预测）如图所示，光滑水平导轨分为宽窄两段（足够长，电阻不计），相 距分别为0.5 m和0.3 m，两个材料、粗细都相同的导体棒 分别放在两段导轨上，导体棒长度分别与导 轨等宽，已知放在窄端的导体棒 的质量为0.6 kg，电阻为0.3 Ω，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强 磁场中，磁感应强度为1 T，现用 的水平向右的恒力拉动 ，一段时间后，回路中的电流保持不变， 下列说法正确的是（ ） A．在整个运动过程中，两棒的距离先变大后不变 B．回路中稳定的电流大小为5 A C．若在回路中的电流不变后某时刻， 的速度为4 m/s，则 的速度为20 m/s 188D．若在回路中的电流不变后某时刻， 的速度为4 m/s，则整个装置从静止开始运动了3.5 s 【模型演练8】（2023·河北邯郸·统考三模）两金属棒a、b垂直放置在如图所示足够长的光滑水平导轨上， 金属棒a、b的质量分别为m和2m，电阻分别为r 和r，导轨左边间距为l，右边间距为3l，两导轨所在的 1 2 区域处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。两金属棒与导轨接触良好且运动时始终与导轨垂直。 某时刻金属棒a受到水平向右的恒力F作用，a始终在导轨MN上运动，b始终在导轨PQ上运动，不计导 轨电阻，经过足够长的时间后，下列说法正确的是（ ） A．金属棒a与b均做匀变速直线运动且距离保持不变 B．金属棒a的加速度为 C．流过金属棒a的电流大小为 D．回路中的感应电动势保持不变，大小为 【模型演练9】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，导体棒 、 水平放置于足够长 的光滑平行金属导轨上，导轨左右两部分的间距分别为 ， ，导体棒 、 的质量分别为 、 ，接入 电路的电阻分别为 和 ，其余部分电阻均忽略不计。导体棒 、 均处于方向竖直向上、磁感应强度大 小为 的匀强磁场中， 、 两导体棒均以 的初速度同时水平向右运动，两导体棒在运动过程中始终与 导轨垂直且保持良好接触，导体棒 始终在窄轨上运动，导体棒 始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到 稳定状态。求： （1）导体棒中的最大电流。 （2）稳定时导体棒 和 的速度。 （3）电路中产生的焦耳热及该过程中流过导体棒 的某一横截面的电荷量。 189四．线框模型 （空气阻力不计） 【模型演练1】如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长 为a(a