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专题 06 分式方程
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：分式方程的概念................................................................................................................................2
考点二：分式方程的实际应用........................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：解分式方程........................................................................................................................................3
题型一：解分式方程【常规方法】....................................................3
题型二：解分式方程【特殊方法】....................................................4
题型三：错看或错解分式方程问题....................................................7
题型四：新定义解分式方程..........................................................7
题型五：利用分式方程的解求参数....................................................8
题型六：根据分式方程有解或无解求参数..............................................8
题型七：已知分式方程有增根求参数..................................................9
题型八：已知分式方程有整数解求参数................................................9
考点二：分式方程的应用..............................................................................................................................10
题型一：由实际问题抽象出分式方程.................................................10
题型二：利用分式方程解决实际问题.................................................12专题 06 分式方程
模块一：基础知识
考点一：分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
考点二：分式方程的实际应用
1.用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
2.与分式方程有关应用题的常见类型：常见题型 常见数量关系及公式 等量关系 补充
工作总量=工作时间×工作效率 多个工作效率不同的对象
在工程问题中，一般将工
工程问题 工作时间=工作总量÷工作效率 所完成的工作量的和等于
作总量看作单位1.
工作效率=工作总量÷工作时间 工作总量
利润=售价-进价（成本）
商品打几折就是按照原价
利润问题 总利润=单件利润×销售量 由题可知
的百分之几出售
利润率=利润÷成本价×100%
较大量=较小量+多余量
和差倍分问题 由题可知 弄清和、差、倍、分关系
总量=倍数×一份量
全路程=甲走的路程+乙走 相向而行，注意出发时间
相遇问题
的路程 、地点
路程=速度×时间
追及问题 前者走的路程=追者走的路
速度=路程÷时间
（同地不同时出发） 时间=路程÷速度 程 同向而行，注意出发时间
行程问题 追及问题 前者走的路程+两地间距离、地点
（同时不同地出发） =追者走的路程
顺水速度=静水速度+水流速度 注意两地距离，静水速度
航行问题 路程=速度×时间
逆水速度=静水速度-水流速度 不变
模块二：题型分类
考点一：解分式方程
题型一：解分式方程【常规方法】
1.解方程： ＝ ．
2.解方程： ＝ ．
3.解方程： ﹣ ＝0．
1 3x
4.将方程 +3= 去分母，两边同乘(x−1)后的式子为（ ）
x−1 1−x
A．1+3=3x(1−x)B．1+3(x−1)=−3x
C．x−1+3=−3x D．1+3(x−1)=3x
2 1 1
5.关于x的分式方程 − = 的解是 ．
x−1 x+1 1−x
1 x+6
6.方程 + =1的解为 ．
x+2 x2−4x 3
7.解分式方程： −1= ．
x+1 x−14 3
8.解方程： − =0．
x2+x x2−x
3 2
9.代数式 与代数式 的值相等，则x＝ ．
x+2 x−1
2 1 5
10.方程 + = 的解为 ．
x x(x−2) 2x
x x−3
11.小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁：
小迪：
解：去分母，得
解：去分母，得x+(x−3)=1
x−(x−3)=x−2
去括号得x+x−3=1
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项得2x−3=1
合并同类项，得3=x−2
解得x=2
解得x=5
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
∴原方程的解是x=5
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你
的解答过程．
题型二：解分式方程【特殊方法】
题组一：消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与
一次项分别相同时,可考虑用换元法.
1.在分式方程 中，设 ，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
x+1 2x−1
2.用换元法解： − =0．
2x−1 x+1
3.用换元法解分式方程 x 2x2−2 3时，若设 x ，则原方程可以化为整式方程
+ = = y
x2−1 x 5 x2−1
.4.阅读与思考
阅读下面的材料，解答后面的问题．
x−1 4x
解方程： − =0．
x x−1
x−1 4
解：设y= ，则原方程可化为y− =0，方程两边同时乘y得y2−4=0，
x y
解得y=±2，
4 x−1
经检验：y=±2都是方程y− =0的解，∴当y=2时， =2，解得x=−1，
y x
x−1 1 1
当y=−2时， =−2，解得x= ，经检验：x=−1或x= 都是原分式方程的
x 3 3
解，
1
∴原分式方程的解为x=−1或x= ．上述这种解分式方程的方法称为“换元
3
法”．
问题：
x−1 x x−1
(1)若在方程中 − =0，设y= ，则原方程可化为________________．
2x x−1 x
x−1 27
(2)模仿上述换元法解方程： − −9=0．
x+2 x−1
题组二：分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
3 4 1 2
1.解方程： − = −
x−2 x−1 x−4 x−3
题组三：分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
x+5 x+2 x+3 x+4
1.解方程： + = +
x+4 x+1 x+2 x+3
题组四：裂项相消法
1 1 1
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“ = − ”化积为差，裂项相消，简化难
n(n+1) n n+1
度.1 1 1 1 1 1 1 1
1.因为 =1− , = − ,…, = − ，
1×2 2 2×3 2 3 19×20 19 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 19
所以 + +…+ =1− + − +…+ − =1− = ．解答下列问题：
1×2 2×3 19×20 2 2 3 19 20 20 20
1 1 1
(1)在和式 + + +…中，第九项是______________；第n项是______________．
1×2 2×3 3×4
1 1 1 1
(2)解方程： + +…+ = ．
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+2001)(x+2002) x+2002
1 1 1
2.我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 = − ，
6 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ； = − ， = − ，……，请用观察到的规律解方程
12 3 4 20 4 5 6 2 3
2 2 2 5
+ +⋅⋅⋅+ = ，该方程解是多少？
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+9)(x+10) x+10
3.探索研究：
请观察：
1 1 1 1
① = = − ；
x2+3x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2
1 1 1 1
② = = − ；
x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+2 x+3
1 1 1 1
③ = = − ；
x2+7x+12 (x+3)(x+4) x+3 x+4
1 1 1 1
④ = = − ；
x2+9x+20 (x+4)(x+5) x+4 x+5
……
(1)请写出第n个等式；
1 1 1 1 1 1
(2)解方程： + + + +⋯+ = ；
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6 x2+7x+12 x2+15x+56 x+8
1 1 1 1 1
(3)当m为正整数时， + + + +⋯+ = ．
2 6 12 20 m2+17m+72
4.探索发现：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ; = − ; = − ……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
根据你发现的规律，回答下列问题：1 1
（1） ＝ ， ＝ ；
4×5 n×(n+1)
1 1 1 1
（2）利用你发现的规律计算： ⋅+ + +⋯⋯+
1×2 2×3 3×4 n×(n+1)
（3）利用规律解方程：
1 1 1 1 1 2x−1
+ + + + =
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+3)(x+4) (x+4)(x+5) x(x+5)
题型三：错看或错解分式方程问题
? 1
1.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： +3= .
x−2 2−x
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
1 2x
2.小明解分式方程 = −1的过程下．
x+1 3x+3
解：去分母，得 3=2x−(3x+3)．①
去括号，得 3=2x−3x+3．②
移项、合并同类项，得 −x=6．③
化系数为1，得 x=−6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3.如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
3−x
先化简，再求值： +1，其中x=
x−4
3−x
解：原式= ⋅(x−4)+(x−4)
x−4
=3−x+x−4
=−1
题型四：新定义解分式方程
1 1 2x+1
1.定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= + ．若(x+1)⊗x= ，则x的值为
a b x
．1 1
2.对于非零实数a，b，规定a⊕b＝ − ，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
a b
1 1 4 3
3.定义运算m※n=1+ ，如：1※2=1+ = ．则方程x※(x+1)= 的解为（ ）
m+n 1+2 3 2
1 1
A．x=1 B．x=−1 C．x=− D．x=
2 21
4.对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算，例如：
a−b2
1 1 2
1⊗3= =− ，则方程x⊗2= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
题型五：利用分式方程的解求参数
1.已知关于x的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
3x m
2.若关于x的分式方程 ＝ +5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
x−2 2−x
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
3.若方程 的解使关于 的不等式 成立，则实数 的取值范围是________．
m 3
4.已知关于x的分式方程 +2=− 的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
x−1 1−x
A．3 B．4 C．5 D．6
5.若关于x的分式方程 有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或4
1 a−2
6.关于x的分式方程 + =1的解为正数，则a的取值范围是 ．
x−2 2−x
2x−m 3
7.已知关于x的分式方程 − =1的解是正数，则m的取值范围是 ．
x−1 1−x
8.关于x的方程 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
x+1 x a
9.要使关于x的方程 − = 的解是正数，a的取值范围是 ．.
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
题型六：根据分式方程有解或无解求参数
1.关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．52 m
2.若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
3.若关于x的方程 无解，则m的值为__．
k 3
4.已知关于x的分式方程 － ＝1无解，则k＝（ ）
x−2 2−x
A．－3 B．1 C．2 D．3
a a−x
5.已知关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为 ．
2x+3 x−5
题型七：已知分式方程有增根求参数
1.关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
m+4 3x
2.若关于x的分式方程 = +2有增根，则m的值为（ ）
x−3 x−3
A．2 B．3 C．4 D．5
3.若关于x的分式方程 有增根，则 _________．
6 ax
4.若关于x的分式方程 −1= 有增根，则a的值为（ ）
x−2 2−x
7
A．−3 B．3 C．2 D．−
2
6−x 2m
5.若关于x的方程 − =0有增根，则m的值是 ．
x−3 x−3
题型八：已知分式方程有整数解求参数
x−2 mx
1.若关于x的分式方程 ＝ 有正整数解，则整数m为 ．
x−1 1−x
y−a 3 y−4
2.若关于x的一元一次不等式结¿的解集为x≤a；且关于y的分式方程 + =1有正整数解，则
y−2 y−2
所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
3−y m
3.如果关于x的不等式组¿的解集为x>3，且关于y的分式方程 + =3有非负整数解，则符合条
2−y y−2
件的整数m的值的和是（ ）A．−4 B．−3 C．−1 D．−7
9−ay 21
4.如果关于y的分式方程 +2= 有整数解，且关于x的不等式组¿有且只有两个整数解，那么符
y−3 3−y
合条件的所有整数a的值之和是 ．y a+2
5.关于x的不等式组¿的解集为x≥3，且关于y的分式方程 + =−1有非负整数解，则所有满足
y−1 1−y
条件的整数a的和为 ．
考点二：分式方程的应用
题型一：由实际问题抽象出分式方程
1.用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输
入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．
这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是
（ ）
2640 2640 2640 2640
A． = +2 B． = −2
2x x 2x x
2640 2640 2640 2640
C． = +2×60 D． = −2×60
2x x 2x x
2.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原
计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x
400 300 300 400 400 300 300 400
棵．则下列方程正确的是（ ）A． = B． = C． = D． =
x−50 x x−50 x x+50 x x+50 x
3.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩
形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬
的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
1.4−x 8 1.4+x 8 1.4−2x 8 1.4+2x 8
A． = B． = C． = D． =
2.4−x 13 2.4+x 13 2.4−2x 13 2.4+2x 13
4.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所
用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
360 480 360 480 360 480 360 480
A． = B． = C． = D． =
x x+60 x−60 x x x−60 x+60 x
5.我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，
结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
30 30 30 30
A． − =20 B． − =1.2
x 1.2x x x−2030 30 30 30
C． − =20 D． − =1.2
1.2x x x−20 x6.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，
学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购
单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
20000 20000×(1−15%) 20000 20000×(1−15%)
A． = B． =
x x−10 x−10 x
20000 20000×(1−15%) 20000 20000×(1−15%)
C． = D． =
x x+10 x+10 x
7.为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比
每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球
的价格为x元，那么可列方程为（ ）
1500 800 1500 800 800 1500
A． − =5 B． − =5 C． − =5 D．
x+20 x x−20 x x x+20
800 1500
− =5
x x−20
8.一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目
的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ）
420 420 420 420
A． = +1 B． +1=
x x−10 x x+10
420 420 420 420
C． = +1 D． +1=
x x+10 x x−10
9.已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头
所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水
中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ）
36 36 36 36 36 36 36 36
A． − =2B． − =2 C． = +2 D． + =2
x+3 x−3 x−3 x+3 x+3 x−3 x+3 x−3
10.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．
若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，
则依题意可列方程为（ ）
6 1 10 6 10 6 10 1 6 10
A． + = B． +20= C． − = D． − =20
3x 3 4x 3x 4x 3x 4x 3 3x 4x
1
11.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的 ．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运
4
1
送货物，两车又共同运送货物 天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送
2这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（ ）
A．1 1 B．1 1(1 1)
+ =1 + + =1
4 2x 4 2 4 x
C．1( 1) 1 D．1 (1 1)1
1+ + =1 + + =1
4 2 x 4 4 2 x题型二：利用分式方程解决实际问题
题组一：行程问题
1.阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世
界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地
点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲
同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是 米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽
车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，
则所列方程正确的是（ ）
A． - =20 B． - =20 C． - = D． =
3.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 地沿相同路线骑行去距 地
30千米的 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从 地出发，则甲、乙恰好同时到达 地，求甲骑行的速度．
4.学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其
余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
5.小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了
5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不
计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？题组二：工程问题
1.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工
程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，
则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
2.某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用
天，现在甲、乙两队合做 天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为
天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做
130个零件．设甲每天做 个零件，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使
“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完
成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作
多少个摆件？
5.为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2
天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队
同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队
修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．
求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？题组三：方案问题
1.某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货
物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满
足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
2.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电
视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化
衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有
几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现
（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
3.为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队
的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙
队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
4.重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新
的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度
4
是甲施工队每天修建的长度的 ，而乙施工队单独修建这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程
3
需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工
队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万
元？5.某校足球队需购买 、 两种品牌的足球．已知 品牌足球的单价比 品牌足球的单价高20元，且用
900元购买 品牌足球的数量用720元购买 品牌足球的数量相等．
（1）求 、 两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买 、 两种品牌的足球共90个，且 品牌足球的数量不小于 品牌足球数量的
2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买 品牌足球 个，总费用为 元，则该队共有
几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
6.某商店购进 、 两种商品，购买1个 商品比购买1个 商品多花10元，并且花费300元购买 商
品和花费100元购买 商品的数量相等．（1）求购买一个 商品和一个 商品各需要多少元；（2）商
店准备购买 、 两种商品共80个，若 商品的数量不少于 商品数量的4倍，并且购买 、 商品
的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
题组四：和差倍分问题
1.北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快
销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那
么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
2.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场
5
上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
4
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗
的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购
买最少花费多少钱．3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽
子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲
种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最
多购进多少个甲种粽子？
4.扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场
需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的
A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分
别为多少元？
题组五：销售利润问题
1.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测 A粽子能够畅销．根
据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额
购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克
20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克 A粽子获得利润最大？最大利润是
多少？2.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7200
乙 3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
3.某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商
品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型
商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多
少？
4.某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进
价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为
88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按
原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，
问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？题组六： 分式与函数结合问题
1.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先
行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者
的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是 ．
2.按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天
比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC=OD=4米，
人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM=10.8米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行
道宽度设计是否达标？说明理由．
+
3.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某
商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A
厂家购买应付y 元，去B厂家购买应付y 元，其函数图象如图所示：
1 2
①分别求出y ，y 与x之间的函数关系；
1 2
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
4.某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，已知A型口罩每包价格a元，B型口罩
每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．
(1)求a的值．
(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如
图所示，B型口罩一律按原价销售．
①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多
少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？题组七：结合实时情境实际应用
1.春节档电影《满江红》热映，进一步激发观众爱国之情．帝都南阳与名将岳飞有着一段传颂至今的历史
——公元1138年，岳飞统军过南阳到武侯祠敬拜诸葛亮，雨夜含泪手书前后《出师表》，为南阳留下了
千古绝唱“三绝碑”．
某超市采购了两批同样的《出师表》纪念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批
每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价
为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，
求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
2.随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为
新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地．据测
试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用4C技术提高
了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400公里的
充电时间节省2分钟，求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
3.某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，
所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．
(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？
(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于 1150元，则每个“兔
圆圆”玩具的标价至少是多少元？
4.京东发布的《2025春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购物品类更加多元，也在节日之外更
“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分别用2000元和1600元购进A，B
两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类
预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．
(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；
(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预
制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼
盒后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．题组八：结合古代数学文化问题
1.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三
文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费
是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
2.《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，
原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意
为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到 100里时，超过不善行者
20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
3.欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：
两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如
果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称），”第二个农妇答道：
2
“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得6 个克罗索．”
3
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？
4.张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建
出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至A处时，与鹿所在的B处还差36步（古代：1里=300
步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着AD追去，追了50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步
（点A、C、D在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，
已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，请解答这个问题．
