文档内容
专题 31 轴对称、平移、旋转
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：轴对称................................................................................................................................................3
考点二：平移....................................................................................................................................................3
考点三：旋转....................................................................................................................................................4
考点四：中心对称与中心对称图形................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................5
考点一：轴对称................................................................................................................................................5
题型一：轴对称图形的识别..........................................................5
题型二：根据成轴对称图形的特征进行判断............................................5
题型三：根据成轴对称图形的特征进行求解............................................6
题型四：轴对称中的光线反射问题....................................................8
题型五：折叠问题..................................................................9
题型六：求对称轴条数.............................................................18
题型七：画轴对称图形.............................................................19
题型八：设计轴对称图案...........................................................21
题型九：点关于坐标轴对称点的坐标.................................................23
题型十：与轴对称有关的规律探究问题...............................................24
题型十一：轴对称的综合问题.......................................................25
考点二：图形的平移......................................................................................................................................27
题型一：生活中的平移现象.........................................................27
题型二：利用平移的性质求解.......................................................28
题型三：利用平移解决实际生活问题.................................................29
题型四：作平移图形...............................................................31
题型五：求点坐标轴平移后的坐标...................................................33
题型六：由平移方式确定点的坐标...................................................33
题型七：由平移前后点的坐标判断平移方式...........................................34
题型八：已知图形的平移求点的坐标.................................................34
题型九：与平移有关的规律问题.....................................................35
题型十：平移的综合问题...........................................................36
考点三：图形的旋转......................................................................................................................................39
题型一：找旋转中心、旋转角、对应点...............................................39
题型二：根据旋转的性质求解.......................................................40
题型三：根据旋转的性质说明线段或角相等...........................................42
题型四：画旋转图形...............................................................43
题型五：求旋转对称图形的旋转角度.................................................45
题型六：旋转中的规律问题.........................................................46
题型七：求绕原点旋转90°点的坐标.................................................48
题型八：求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标.......................................49
题型九：求绕原点旋转一定角度点的坐标.............................................50
题型十：旋转综合题...............................................................51
题型十一：判断中心对称图形.......................................................56
题型十二：画已知图形关于某点的对称图形...........................................56
题型十三：根据中心对称的性质求面积、长度、角度...................................58题型十四：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案...............................59专题 31 轴对称、平移、旋转
模块一：基础知识
考点一： 轴对称
1.轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
图形 A D A
B C
B C E F
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的
定义 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称
关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 图形.这条直线就是它的对称轴.
（1）轴对称是指两个图形折叠重合. （1）轴对称图形是指本身折叠重合.
区别 （2）轴对称对称点在两个图形上. （2）轴对称图形对称点在一个图形上.
（3）轴对称只有一条对称轴. （3）轴对称图形至少有一条对称轴.
（1）定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.
联系 （2）如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对
称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
性质 （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
（2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
判定 （1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
（2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.
2.常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.
3.做轴对称图形的一般步骤：
（1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；
②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称
点.
（2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：
①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）
②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点
③连.按原图对应连接各对称点
4.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
5.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相
关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之
间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨
论的数学思想方法．
考点二：平移
1.平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．
平移不改变图形的形状和大小．
2.平移的三大要素：（1）平移的起点，（2）平移的方向，（3）平移的距离．
3.平移的性质：
（1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
（2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.
（3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.4.作图步骤：
（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
（2）找出原图形的关键点；
（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
考点三：旋转
1.定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫
旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
2.三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3.性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
4.作图步骤：
（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
（2）找出原图形的关键点；
（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
考点四：中心对称与中心对称图形
1.中心对称与中心对称图形：
中心对称 中心对称图形
D
A
图形
C
B
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自
定义 形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对 身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图
称. 形，这个点叫做它的对称中心.
区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图
联系 形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，
那么这“两个图形”中心对称.
2.中心对称的性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平
分；
中心对称的两个图形是全等图形.
3.作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤：
（1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，
并延长一倍确定关键点的对称点.
（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称
的图形.
4.找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.模块二：题型分类
考点一：轴对称
题型一：轴对称图形的识别
1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：根据成轴对称图形的特征进行判断
1.如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．2.如下1图，△ABC与△A B C ，关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与A A 共线），下列结
1 1 1 1
论不正确的是（ ）
A．AP=A P B．△ABC与△A B C 的面积相等
1 1 1 1
C．MN垂直平分线段A A D．直线AB,A B 的交点不一定在MN上
1 1 1
3.如上2图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．AB//DF D．AD的连线被MN垂直平分
4.如上3图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一个轴对称图形，对称轴为直线l，
则下列结论不一定正确的是（ ）
A．点C和点D到直线l的距离相等 B．BC=BD
C．∠CAB=∠DAB D．四边形ADBC是菱形
5.每个网格中均有两个图形，其中一个图形关于另一个图形轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
题型三：根据成轴对称图形的特征进行求解
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，点D在AB上，且点D与点B关于直线l对称，则
∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．14° C．38° D．52°
2.如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC
上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）A．√3 B．2 C．2√3 D．43.如下1图，在正方形ABCD中，已知边长AB=5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接
AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
5√2 5
A．5 B．5√2−5 C． D．
2 2
4.如上2图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，
则¿+CF的最小值为 ．
5.如下1图，∠AOB=60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是OA，OB上的动点，
则△PMN周长的最小值是（ ）
A．2√19 B．3√13 C．9 D．5√3
6.如上2图，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则
AP+PQ的最小值为 ．
7.如下1图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中
点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．2√5 D．5
8.如上2图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，
则AM+MN的最小值为 ．题型四：轴对称中的光线反射问题
1.如下1图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地
面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角α为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.如上2图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3.通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，
经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4.根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α,β是两面互相
平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜
面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是 ．
5.如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC．光线垂直
AB射入，且只在CD和EA上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出．若两次
1
反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率n= )
sinθ
1 1 1 1
A． B． C． D．
cos22.5° cos45° sin45° sin22.5°6.如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且∠AOB=60°点P为距离地面OB为8cm的一个光源，光线射
出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径长最短为10cm时，PD的长为 ．
题型五：折叠问题
题组一：三角形折叠问题
1.如下1图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝
80°，则∠CDE＝ °．
2.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如上2图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在
BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P．若
BC=12，则MP+MN= ．
3.如下1图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直
线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ．
4.如图，已知平行四边形纸片ABCD(AD>AB)，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边
AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上，连接BF，若AE=4,BF=8，则四边形ABEF
的面积为（ ）
A．64 B．48 C．32 D．165.如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝
80°，则∠CDE＝ °．
6.如图，在△ABC中，AB=4√2，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
7.如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不
与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．
(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．题组二：四边形折叠问题
1.如下1图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为
（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
2.如上2图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，
则∠E为( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
3.如下1图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．将纸片折叠，使点B落在AD
边上的点G处，折痕为EF．若∠BFE=45°，则BF的长为（ ）
√3
A．5 B．3√5 C．5√3 D．
5
4.如上2图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为(−2,4)．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，
则点D的坐标是（ ）
(6 12) (6 5) (3 12) (3 5)
A． , B． , C． , D． ,
5 5 5 2 2 5 2 2
5.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（
）√2+1 √5+1 4
A．√2 B． C． D．
2 2 36.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，则
∠EFC等于（ ）
A．65° B．110° C．115° D．130°
7.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，
垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如
图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，
使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此
▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=2√5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考
此问题，直接写出结果．
8.矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
AP
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求 的值；
DE
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．题组三：圆的折叠问题
1.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为
（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．4√3
2.将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长
和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
π π π π
A． ，540° B． ，720° C． ，1080° D． ，2160°
2 4 4 3
3.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交
AB于点D，则∠ACD的度数等于( )．
A．40° B．50° C．80° D．100°
4.如上2图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC，弧AD折叠
后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为 ．
5.如上3图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使
得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
4√3
A．32√3cm2 B．8√3cm2 C．8πcm2 D．( +3π)cm2
36.如图所示，在扇形AOB中，半径OA=4，点P在OA上，连接PB，将△OBP沿PB折叠得到△O BP．
1
若∠O=75°，且BO 与弧AB所在的圆相切于点B．
1
(1)求∠APO 的度数；
1
(2)求AP的长．
7.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在A´B上的点C处，图中阴影部分的
面积为（ ）
9√3 9√3
A．3π−3√3 B．3π− C．2π−3√3 D．6π−
2 2
题组四：抛物线与几何图形综合
1 2√3
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝− x2+ x+3的图象与x轴交于点A、点B．与y轴交于点
3 3
C．
（1）求抛物线与x轴的两交点坐标．
（2）连接AC、BC．判断△ABC的形状，说明理由．
（3）过点C作直线l//x轴，点P是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P作直线PQ//y轴交直线l于点
Q，连接CP．若将△CPQ沿CP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M落在坐标轴上？
若存在，求出此时点Q的坐标．若不存在，请说明理由．2.综合与探究
1 3
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2− x−4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y
4 2
轴交于点C．将△ABC沿BC所在的直线折叠，得到△DBC，点A的对应点为D．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)求直线BD的函数表达式．
(3)在抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
3.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F :y=x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点
1
C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线F 交于点E，且OD=OA．
1
(1)求抛物线F 的解析式；
1
(2)如图②，点P是抛物线F 上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP，CP与直线l交于点Q，设
1和 的面积为 和 ，求S 的最大值；
△EPQ △ECQ S S 1
1 2 S
2
(3)如图③，将抛物线F 沿直线x=m翻折得到抛物线F ，且直线l与抛物线F 有且只有一个交点，求m的
1 2 2
值．
4.如图，二次函数y=−x2+bx+2的图象与y轴交于点C，抛物线的顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）
且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接
CA、AB．
（1）填空：b=______，点A的坐标是______；
（2）当∠ACB=45°时，求点P的坐标；
（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB（点A的对应点为点D），问点D能否恰好落在坐标轴上?若能，请
直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．
1 3
5.抛物线y=− x2+ x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D(3，2)
2 2
为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M是抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点
M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．1
6.如图，二次函数y= x2+bx+c与x轴交于O(0,0)，A(4,0)两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是
2
线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线段A'C与x轴交于点
D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
DB
(2)①求证：△OCD∽△A'BD；② 的最小值；
BA
(3)当S =8S 时，求直线A'B的解析式．
△OCD △A'BD
7.如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴正半轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C
作CD⊥x轴于点D(2,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点，是否存在点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．题型六：求对称轴条数
1.下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．圆
2.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
3.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
4.下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5.瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形即为中
心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6.下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）A． B． C． D．
题型七：画轴对称图形
1.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中面出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行
四边形EFGH的面积为4．连接DH，请直接写出线段DH的长．
2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ΔOAB的三个顶
点O(0,0)、A(4,1)、B(4,4)均在格点上．
（1）画出ΔOAB关于y轴对称的ΔOA B ，并写出点A 的坐标；
1 1 1
（2）画出ΔOAB绕原点O顺时针旋转90∘后得到的ΔOA B ，并写出点A 的坐标；
2 2 2
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A(2，4)，B(1，2)，C(4，1)，△≝¿各顶
点的坐标为D(4，−4)，E(5，−2)，F(2，−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
(2)若△ABC与△≝¿关于点P成中心对称，则点P的坐标是___．
4.如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A B C ．
1 1 1
1
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A B C ，请在y轴的右侧画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2 2
(3)在y轴上存在点P，使得△OA P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB中点．
(1)尺规作图：求作一点E，使得点B，E关于直线CD对称；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)连接DE，求证：∠CDE=2∠A．
6.如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A B C ．
1 1 1
1
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A B C ，请在y轴的右侧画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2 2
(3)在y轴上存在点P，使得△OA P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
1
题型八：设计轴对称图案
1.如图，在4×4正方形网络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，使构成的黑色部分的图形构成一个轴
对称图形的概率是 ．
2.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原
来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．10 B．6 C．3 D．23.嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置
用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是
（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
4.在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对
称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图 2的四幅图就视为同一种设计方案（阴
影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
5.阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线
是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．6.在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图
形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
题型九：点关于坐标轴对称点的坐标
1.在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．(−3,2) B．(−2,3) C．(2,−3) D．(3,−2)
2.在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−4,2) B．(4,2) C．(−4,−2) D．(4,−2)
3.若点A(a,−1)与点B(2,b)关于y轴对称，则a−b的值是（ ）
A．−1 B．−3 C．1 D．2
k
4.已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y= 的图像上，则实数k的值为（ ）
x
1 1
A．3 B． C．-3 D．-
3 3
5.在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B'的坐标
为（ ）
A．(2，2) B．(-2，2) C．(-2，-2) D．(2，-2)
6.若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1题型十：与轴对称有关的规律探究问题
1.第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A ；
1
第二次：作点A 关于x轴的对称点A ；
1 2
第三次：将点A 绕点O逆时针旋转90°得到A ；
2 3
第四次：作点A 关于x轴的对称点A …，
3 4
按照这样的规律，点A 的坐标是（ ）
2025
A．(﹣3，2) B．(﹣2，3) C．(﹣2，﹣3) D．(3，﹣2)
2.如图，已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为
(1,3)、(1,1)、(3,1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此
这样，连续经过2024次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．(2026,2) B．(2026,−2) C．(2024,2) D．(2024,−2)
3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．规
定“把▱ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，
▱ABCD的顶点D的坐标变为（ ）
A．（3，﹣2019） B．（﹣3，﹣2019）
C．（3，﹣2018） D．（﹣3，﹣2018）
4.如图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为
一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．(2023,√3+1) B．(2023,−√3−1) C．(2024,√3+1) D．(2024,−√3−1)5.如图，已知▱OABC的顶点O(0,0)，B(2,2)，C(1.6,0.8)，若将▱OABC先沿y轴进行第一次对称
变换，所得图形沿x轴进行第二次对称变换，轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进
行，则经过第2026次变换后，▱OABC顶点A坐标为（）
A．(−0.4,1.2) B．(−0.4,−1.2) C．(1.2,−0.4) D．(−1.2,−0.4)
6.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(1,2)，则经过
第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．(1,−2) B．(−1,−2) C．(−1,2) D．(1,2)
题型十一：轴对称的综合问题
1.在平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−n)x−2m−2与y=x2−(m+2n)x+n关于直线x=1对称，
则符合条件的m，n的值可以为（ ）
6 2
A．m=− ，n=− B．m=−1，n=1
7 7
C．m=1，n=9 D．m=2，n=2
2.如图，已知直线y=kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC(A、B、C三点逆时针
排列)，D、E两点坐标分别为(−6,0)、(−1,0)，连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6 B．5+√3 C．6.5 D．71
3.如下1图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S PBC＝ S PAD，则
2
△ △
PA＋PD的最小值为 ．
4.如上2图，△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B
顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（ ）
A．2+2√3B．2+√3 C．4+√3 D．4+2√3
5.如上3图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值
为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．9
6.已知一张三角形纸片ABC（如图①），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB
边上的点E处，折痕为BD，点D在边AC上（如图②）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D
重合，折痕为EF（如图③）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
7.我们不妨约定：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，其中C为顶点，当△ABC为等
腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”．
1 5
(1)证明y= x2−3x+ 为“等腰直角函数”；
2 2
(2)如图1，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过AB中点F的直线l 与二次函数相交于D，E两点，求
1
△CDE面积的最小值；1
(3)如图2，M、N为“等腰直角函数”y= x2−2上不重合的两个动点，且关于过原点的直线l 对称，当
2 2
点M的横坐标为1时，求出点N的坐标．
8.如下1图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，
1
当AM＝ AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
3
A．3√3 B．2√7 C．2√3＋2 D．3√3＋3
9.如上2图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当
△DEG的周长最小时，则∠EGD=（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
10.如上3图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y=√3x上的一个动点，以AQ
为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4√3 C．8 D．6√3
考点二：图形的平移
题型一：生活中的平移现象
1.数学来源于生活，下列图案是由平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①② B．②③ C．①②④ D．②题型二：利用平移的性质求解
1.如下1图，△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，已知EC=2，BF=8，则CF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如上2图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的
刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四
边形ACC' A'的面积是（ ）
A．96 B．96√3 C．192 D．160√3
3.如下1图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到△≝¿，已知
EF=8，BE=3，CG=3．则图中阴影部分的面积 ．
4.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如上2图，
将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图
案，则点D，B'之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(√2－1)cm D．(2√2－1)cm
5.如上3图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，
得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
6.如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线
y=2x−3上，则点A移动的距离是 ．7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A
k
的对应点是C，O的对应点是E，函数y= (k≠0)的图像经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
x
8.如图， ABC的边BC长为4cm．将 ABC平移2cm得到 A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为
cm2． △ △ △
题型三：利用平移解决实际生活问题
1.如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩
形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为5310m2，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，
则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A．(92−2x)(60−x)=5310 B．92×60−2×60x−92x−2x2=5310
C．92×60−2×60x−92x=5310 D．92×60−2×92x−60x+2x2=5310
2.如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种
植花草，则种植花草的面积 平方米．
3.在长方形ABCD中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是
cm2；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 （填“有变化”或“不改变”）．4.小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、
乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长 B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长 D．三种图形的制作所用铁丝一样长
5.某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若a=901，b=1，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
6.如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），
设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽
依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．题型四：作平移图形
1.如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，
3)．
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
2.如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°
后的图形．
3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A B C ，请画出平移后的△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A B C ，请画出旋转后的△A B C ；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知，△A B C 与△A B C 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 24.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−2，3)，B(−3，0)，C(−1，−1)．将△ABC平移后得到
△A'B'C'，且点A的对应点是A' (2，3)，点B、C的对应点分别是B' ，C'．
(1)点A、A'之间的距离是__________；
(2)请在图中画出△A'B'C'．
5.如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
(3)如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
6.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶
点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上
（1）将ΔABC向左平移5个单位得到ΔA B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出ΔA B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到的ΔA B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2（3）在（2）的条件下，求ΔA B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
1 1 1
题型五：求点坐标轴平移后的坐标
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2)，将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，
点A的对应点C的坐标是 ．
2.在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，
那么点A的坐标是（ ）
A．(3,2) B．(3,−2) C．(−3,−2) D．(−3,2)
3.将点A（-3，-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点A'，若点A'在直线y=x+b上，则b的值为
A．6 B．4 C．-6 D．-4
题型六：由平移方式确定点的坐标
k
1.在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数y= 的图
x
像上，则k的值是 ．
2.在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(1,0)两点，将线段AB沿一定方向平移，设平移后A点的对应点为
A'(2,5)，B点的对应点为B'，则直线B'B的表达式为（ ）
A．y=x−1 B．y=−3x+11 C．y=x+3 D．y=−3x+3
3.如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐
标是（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
4.如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A′B′C′，平移后点P与其对应点P'关于x轴对
称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（﹣2，﹣1） D．（m，﹣1）5.如下1图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
6.如上2图，平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A(−5,0)，B(0,−3)，若将线段AB平移至线
段A B ，且A (−3,m)，B (2,1)，则m的值为_____．
1 1 1 1
题型七：由平移前后点的坐标判断平移方式
1.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右
侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
2.如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，D(2,3)，要把顶点A平移到顶点C
的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移 个单位．
题型八：已知图形的平移求点的坐标
1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（1，3），B（2，1），若点A的对应点A′的坐标
为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（0，﹣2）
2.如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平移到△CED，若四边形ABDC
的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）3.如下1图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)．将正
方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
(3 ) (11 )
A． ,2 B．(2,2) C． ,2 D．(4,2)
2 4
4.如上2图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A B C 的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A
1 1 1 1
（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1
5.如上3图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A(0,2)，B(2,−1)．平移△ABC
得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为(−1,0)，则点B的对应点B'的坐标是 ．
题型九：与平移有关的规律问题
1.定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样
的图形运动叫作图形的γ(a,θ)变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重
合，点C在x轴的正半轴上，△A B C 就是△ABC经γ(1,180°)变换后所得的图形，若△ABC经
1 1 1
γ(1,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经γ(2,180°)变换后得到△A B C ，△A B C 经
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
γ(3,180°)变换后得到△A B C ，依此类推••••••，△A B C 经γ(n,180°)变换后得到
3 3 3 n−1 n−1 n−1
△A B C ，点A 的坐标为 ．
n n n 2025
2.如上2图，等边△ABC的顶点A(1,1)，B(3,1)，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单
位”为一次变换，这样连续经过2025次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
(−2024,√3+1) (−2024,√3−1) (−2023,√3+1)(−2023,−√3−1)
3.如上3图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1
个单位”为一次变换，如果这样连续经过2018次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ．
题型十：平移的综合问题
1.如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC//x轴．直线y=x从原点O出发沿x轴正
方向平移．在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如
图2所示．那么▱ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3√2 C．6 D．6√2
2.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE
的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2
(1)如图①，求点E的坐标；
(2)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为C',O',D',E'．
设OO'=t，矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E'，D'E'分别与AB相交于点M，
F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当√3≤S≤5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．3.如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，
△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与
点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请写出y与x之间的
函数关系式 ．
4.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的
顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为
C' ，O' ，D' ，E'．设OO'=t，矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M，F，试
用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当√3⩽S⩽5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．5.如图①，直线y=−x−1交x轴于点A，经过点A的抛物线y =−x2+bx+c交直线y=−x−1于另一点
1
B(4,−5)，交x轴于点C．点P是抛物线y =−x2+bx+c对称轴上的点．
1
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．
(2)当PA=PB时，求点P的纵坐标m的值．
(3)过点P作x轴的平行线，交抛物线y =−x2+bx+c于点E、F，交线段AB于点Q，当点Q将线段AB分
1
得的两段线段长度比为2：3时，直接写出点P的纵坐标的值．
(4)将线段AC先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线
y =a(−x2+bx+c)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
2
6.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=−1．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，D为线段AC上的点，过点D的直线EF∥OC，交抛物线于E点，交AO于F点，设点D的横
坐标为t，且−30)沿y轴翻折得到直线l'，平移直线l与抛物线相交于N，P两点，平移直线l'与抛物线相交于N，Q两点，M为PQ的中点，设点N的横坐标为n，点M的横坐标为m，求n与m的数
量关系．考点三：图形的旋转
题型一：找旋转中心、旋转角、对应点
1.如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（ ）
A．点B与点D是对应点 B．∠BCD等于旋转角C．点A与点E是对应点 D．△ABC≌△DEC
2.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的
中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合，则角α可以为_____度．（写出一个即可）
3.如下1图，在直角坐标系中，线段A B 是将△ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定角度后得到的
1 1
△A B C 的一部分，则点C的对应点C 的坐标是( )
1 1 1 1
A．(−2,4) B．(−1,6) C．(−1,4) D．(−1,5)
4.如上2图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定
角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到
△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）6.如图，△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的，若∠C=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转
角的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．10°
题型二：根据旋转的性质求解
1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E
恰好落在边BC上．
(1)求证：AE平分∠CED；
(2)连接BD，求证：∠DBC=90°．
2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好
落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
1 1 3 3
A．90°+ α B．90°− α C．180°− α D． α
2 2 2 23.如下1图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到
△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线
A'C的距离等于
A．3√3 B．2√3 C．3 D．2
4.如上2图，在 ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将 ABM绕点A逆时针旋转得到 ACN，点
M的对应点为点△N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）△ △
A．AB=AN B．AB∥NC C．∠AMN=∠ACND．MN⊥AC
5.如上3图，在ΔABC中，AB0)的图像上，将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°后得到
x
点A'，若点A'恰好在直线y=2√2上，则点A的坐标为 ．
题型十：旋转综合题
题组一：线段问题
1.如下1图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接
DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
2.如上2图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存
在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ．
3.如上3图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将
点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ）
A．6 B．4√2+2 C．2√2+4 D．2√3+44.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋
转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（ ）
A．4√3 B．5√3 C．10 D．5
5.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将
线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
6.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线
EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG的最小值是 ．
题组二：面积问题
1.如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5，连
接BD、CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当∠DBA最大时，S = ．
△ACE
2.如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=√6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在
旋转过程中，当∠AED=75°，连接AD，BC，此时四边形ABCD的面积是 ．
3.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√2、1、√10，则正方形ABCD的面积为 ．
4.如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上的点，且AE=BF=DG，连接EF，
GE，GF．
(1)△BEF可以看成是△AGE绕点M逆时针旋转α角所得，请在图中画出点M，并直接写出α角的度数；
(2)当点E位于何处时，△EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；
(3)试判断直线CD与△EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．
5.（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM
绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 ；
（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点
O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；
（3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线
25
OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为 时，直接写出线段BN的长．
2题组三：角度问题
1.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若
点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．
2.如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0<θ<90°)，得到
BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．30° B．45° C．60° D．随若θ的变化而变化
3.如图，正方形ABCD中∠PAQ分别交BC，CD于点E，F，连接EF．
(1)如图①，若∠1=28°，∠2=73°，试求∠3的度数；
(2)如图②，以点A为旋转中心，旋转∠PAQ，旋转时保持∠PAQ=45°．当点E，F分别在边BC，CD上
时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)如图③，在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结
论，不需说明理由．4.图1是边长分别为a和b(a>b)的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的
图形．
(1)操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则∠ECA=
______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____．
(2)操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结
AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数
量关系；
②求∠APB的度数．
(3)若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角α(0<α<360°)，当α等于多少度时，△BCD
的面积最大？请直接写出答案．
5.问题背景：
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α(0°<α<180°)，点P为平面内不与点A，C
重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP．点E，F分别为
EF
BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 的值AB和β的度数．
AP
EF
(1)【问题发现】如图1，α=60°时， = ，β= ；
AP
EF
(2)如图2，α=90°时， = ，β= ．
AP
EF
(3)【类比探究】如图3，α=120°时，请探究出 的值和β的度数并证明；
APEF
(4)【拓展延伸】通过以上的探究请直接写出你发现的规律： = （用含m、n的式子表示）；β= （用
AP
含α的式子表示）．题型十一：判断中心对称图形
1.下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．禁止驶入 B．靠左侧道路行驶 C．向左和向右转弯 D． 环岛行驶
2.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之
旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型十二：画已知图形关于某点的对称图形
1.已知 ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
△
(1) ABC绕点C顺时针旋转90°得到 A B C；
1 1
(2)△画 A B C关于点O的中心对称图△形 A B C ．
1 1 2 2 2
△ △2.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A'B'C'．
3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）；
(2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB．
4.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
(3) 在 轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．5.如图，在平面直角坐标系中，A(−1,4)，B(−4,0)，C(−1,0)．
(1) △A B C 与△ABC关于原点O对称，画出△A B C 并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
(2) △A B C 是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A B C 并写出点A 的坐标．
2 2 2 2 2 2 2
题型十三：根据中心对称的性质求面积、长度、角度
1.如下1图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC=3，OD=4．则AB的
长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
2.如上2图，BD为▱ABCD的对角线，点P为△ABD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△ABP
和△BCP的面积分别为3和13，则△BDP的面积为 ．
1
3.点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝ AB；G、H分别是
2
1
BC边上的点，且GH＝ BC；若S ,S 分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S ,S 之间的等量关系是
3 1 2 1 2
4.如上2图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F分别为AD，BC上的点，AE＝2，且EF过矩形ABCD的对称中心O．若点P，Q分别在AB，CD边上，且EF，PQ将矩形ABCD的面积四等分，
则BP的长为 ．
8
5.如下1图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线y=− x+4与坐标轴的交点，点
3
B(−2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某
点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
6.如上2图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白
部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为 ．
题型十四：利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
1.小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形
的图案（如图），则旋转角度α的最小值为 ．
2.如图，在4×4的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与ΔABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与ΔABC成轴对称且与ΔABC有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．3.如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边
形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形．
(1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线．
(2)请在图2中画一个以AB为边，面积为2√3的三角形．
4.规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就
称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对
角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转
角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称
图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充
完整．
