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专题01 勾股定理中的最短路径模型
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活
实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两
大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先
画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，
然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
.........................................................................................................................................1
模型1.圆柱中的最短路径模型.................................................................................................................1
模型2.长方体中的最短路径模型.............................................................................................................4
模型3.阶梯中的最短路径模型.................................................................................................................8
模型4.将军饮马与空间最短路径模型....................................................................................................11
.......................................................................................................................................14
模型1.圆柱中的最短路径模型条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点
B。
结论：彩带最短需要 厘米．
证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是 的长度，
由勾股定理得， ，则这条丝线的最短长度是 厘米，
注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处
沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【答案】B
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形 ，则从圆柱底部 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部
处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线 的长．
圆柱的底面周长是 ，高是 ， ， ．故选B．
例2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图,这是一个供滑板爱好者使用的 型池,该 型池可以看作
是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为 m的半圆,其边缘
,点 在 上, ,一位滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是 m（边缘部分的厚度可以忽略不计， 取 ）
【答案】
【详解】解:其侧面展开图如下图所示:
∴ ,∵ ,∴ ,
在 中, ,故他滑行的最短距离是20m．
变式1．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个圆柱高 ，底面周长为 ，一只蚂蚁从点
A沿圆柱表面爬到点B处觅食，要爬行的最短路程为 ．
【答案】 /15厘米
【详解】解：底面周长为 ，半圆弧长为 ，展开得：
又 ， ，根据勾股定理得： ．故答案为： ．变式2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方
B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是 ，高是 ，那么所需彩带最短的长度是 ．
【答案】100
【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展
开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带长为 ，
∵易拉罐底面周长是 ，高是 ， ，
解得： ，所以彩带最短是 ，故答案为：100．
模型2.长方体中的最短路径模型条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞
b）。
结论：蚂蚁爬行的最短路程是
证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时， ；
则 ；
如图，当长方体的侧面按图乙展开时， ；
则 ；
如图，当长方体的侧面按图丙展开时， ；
则 ；
∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故 ＞ ＞
∴蚂蚁所行的最短路线长为 ，
注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
例1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，已知长方体的三条棱 、 、 分别为4，5，2，蚂蚁
从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程是（ ）
A． B． C． D．11
【答案】C
【详解】解：如图①： ，
如图②： ；如图③： ．
故最短路程是 ．故选C．
【点睛】此题主要考查了平面展开图，求最短路径，解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体
为平面”，用勾股定理解决．
例2．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，
若 米，点P到 的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过P作 于G，连接 ，
（米）， （米）， （米），
（米）， （米）
这只蚂蚁的最短行程应该是 米，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
变式1．（23-24八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为 ， ， ，
在 中点 处有一滴蜜糖，有一只小虫从 点爬到 处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为 ．
【答案】
【详解】解：①如图，连接 ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，此时 ；
②如图，连接 ，在 中， ， ，
由勾股定理得： ；
∵ ，∴从 处爬到 处的最短路程是 ．故答案为：
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定
的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．
变式2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，某长方体的底面为正方形 ， ， ，
现用一根绳子从点A开始，沿着长方体的表面环绕长方体2圈，最后在点 处结束，则这根绳子的最小长
度为（ ）A． （或 ）m B． （或 ）m C． （或 ）m D． （或 ）m
【答案】C
【详解】解：如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点 ，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8和4，
根据勾股定理可知所用绳子最短需要 m．故选C．
【点睛】本题考查的是平面展开−最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关
键．
模型3.阶梯中的最短路径模型条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，
点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。
结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程为
证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h，
∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线的长，
则由勾股定理得 ；
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是 ．
注意：展开—定点—连线—勾股定理
例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为 、 、
，则它爬行的最短路程为 ．
【答案】 /13分米
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即
可得到答案；
【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示，
则 的长即为它爬行的最短路程，由勾股定理得， ，
∴它爬行的最短路程为 ，故答案为： ．例2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片 折叠，如图所示，已知
， ， ，则蚂蚁从点A处到达点C处
需要走的最短路程是 ．
【答案】26
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，
解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短
连接 即可．
【详解】如图，根据题意可得：展开图中的 ， ．
在 中，由勾股定理可得： ，
即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．故答案为：26．
变式1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，
已知 米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A
爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．19米 B． 米 C．15米 D． 米
【答案】C
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的宽，长为 米；宽为9米．于是最短路径为： （米）．故选C．
变式2．（2023春·广东八年级课时练习）棱长分别为 两个正方体如图放置，点P在 上，且
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______．
【答案】 cm．
【详解】解：如图，有两种展开方法：
方法一∶ ，方法二∶ ．
故需要爬行的最短距离是 cm．故答案为： cm．
【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
模型4.将军饮马与空间最短路径模型条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离
容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，
结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为： 厘米。
证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点 ，过 作 交B的延长线于D，
则四边形 是矩形，∴ ， ，连接 ，则 即为最短距离，
∵由题意得， （ ）， =a（ ）， （ ），
在 中， （ ）．
注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定
理求解。
例1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿
的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
【答案】10
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 即为最短距离， 的长度即为所求，接下来结
合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出 的长了．
本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【详解】解：如图：作 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 即为最短距
离，
∵高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器
外壁且距离容器上沿 的点B处，
∴ ， ，∴ ，
在 中， ，故答案为：10．
变式1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看
成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，其边缘
．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则
他滑行的最短距离约为（ 取3） ．
【答案】
【详解】解：其侧面展开图如图：作点C关于 的对称点F，连接 ，∵中间可供滑行的部分的截面是半径为 的半圆，
∴ ， ，∴ ，
在 中， ，
故他滑行的最短距离约为 ．故答案为： ．
变式2.（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 ，
高 ，水深 ，在水面上紧贴内壁的 处有一块面包屑， 在水面线 上，且
，一只蚂蚁想从鱼缸外的 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的 处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为
．
【答案】
【详解】解：如图所示作出A关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点Q，小虫沿着 的
路线爬行时路程最短．
在直角 中， ，∴
∴最短路线长为 cm.故答案为： ．
1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在一个长为 、宽为 、高为 的长方体上，居中截去一个
长为 、宽为 、深为 的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点
处，沿着几何体的表面到几何体上和 相对的顶点 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接 ，则蚂蚁需要爬行的最短路径为 的长，根据题意得： ， ，
由勾股定理得： ， ，
蚂蚁需要爬行的最短路径的长为 ，故选 ．
2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为 ，底面半圆直径
为 ，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是
多少（ 取3）（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形，
其中 为半圆的弧长 ， 为半径的长 ， ，
根据勾股定理可得 ，故爬行的最短路程为 ．故选：D
3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁
离杯底 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 且与蜂蜜相对的点A处，则
蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（ ） ．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接 ，过点B作 于
D，由已知得： ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 ．故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．
4．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，
若 米，点P到 的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可将教室的墙面 与地面 展开，连接 ，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求
解即可．
【详解】解：如图，过P作 于G，连接 ，（米）， （米）， （米），
（米）， （米）
这只蚂蚁的最短行程应该是 米，故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面
图形的两点间的线段长来进行解决．
5．（2024·广东茂名·八年级校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为 ，沿其
相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面
从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为 ，将图②展开，连接 交 于点 ，线段 的长度
即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知： 为等边三角形， 为等腰直角三角形，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵正方体的棱长为 ，∴ ， ，
在 中， ，在 中， ，
∴ ；故选A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题关键是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径．
6．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为 ， 是正方体的一个顶点， 是侧
面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点 爬到点 的最短路径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点 作 于点 ，在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，过点 作 于点 ，正方体的棱长 ，
∵立体几何是正方体，每个面都是正方形，对角线的交点 为对角线的中点，根据正方形的性质可得
为等腰直角三角形，且 ，∴ 是 的垂直平分线， ，
∴在 中， ， ，∴ ，
∴从点 爬到点 的最短路径是 ，故选： ．
【点睛】本题主要考查立体几何图形的展开图与勾股定理的运用，理解立体几何图形的展开图，掌握最短
路径的计算方法，勾股定理等知识解题的关键．
7．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁在 处发现 处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】A
【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股
定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，∵ ， ，
∴根据勾股定理可得： ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽
是解题的关键．
8．（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从
点A爬到点B的最短路程是（ ）A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，则 的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B
点的最短路程，求出 和 的长，根据勾股定理求出斜边 即可．
【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，则 的长是蚂蚁在圆柱表
面从A点爬到B点的最短路程，∵圆柱的底面周长为6，高为4，∴ ，
∴ ，∴从点A爬到点B的最短路程是5，故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成平面图形，利用勾股定理进行
求解是解题的关键．
9．（2023秋·湖北·八年级专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表
面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段 的长即可．
【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接 ，则最短路径 ，故选A
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最
短是解题的关键．
10．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，四边形 是长方形地面，长 ，宽 ，中
间竖有一堵砖墙高 ，一只蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何体平面展开最短路线问题，勾股定理的应用；把中间墙在平面内展开，则原长方
形的长增加 ，宽不变，连接 ，由勾股定理即可求得 长，从而问题求解．
【详解】解：如图，将墙展开，长方形长度增加 ，则 ，连接 ，
∵四边形 是长方形，∴ ，∴ ，
，
∴蚂蚱从点 爬到点 ，它必须翻过中间那堵墙，它至少要走 ．故选：A．
11．（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，一圆柱高 ，底面周长为 ，现需按如图方式缠绕一
圈彩带进行装饰，则彩带最短要用 ．【答案】
【分析】根据题意，画出圆柱的展开图，从而可以得到彩带最短需要多少米，本题得以解决．
【详解】解：将圆柱展开，如图所示，
彩带最短需要： ，故答案为：10．
【点睛】本题考查平面展开 最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，会画圆柱的展开图．
12．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，
从顶点 到顶点 镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为 ，底面边长为 ，则这图金属丝的长度至
少为 ．
【答案】17
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，将三棱柱沿 展开，其展开图如图：
∴ ，∴这图金属丝的长度至少为 ，故答案为：17．”
【点睛】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题，解题关键是先根据题意把立体图形展开成平面图形
后，再确定两点之间的最短路径．
13．（2023春·山东济宁·八年级校考期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，
每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长
均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米．
【答案】5
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，
借助于勾股定理．
【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
圆柱高3米，底面周长2米， ， ，
每根柱子所用彩灯带的最短长度为 ．故答案为5．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形
的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾
股定理解决．
14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块．已知
米， 米，该木块的较长边与 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 爬过木块到达 处需要走的最短路程是 米．
【答案】10
【分析】本题主要考查了平面展开 最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点
之间线段最短解答．
【详解】解：如图，将木块展开， 即为所求，
则 （米）， 米，
最短路径为： （米）．故答案为：10．
15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一个圆柱体高 ，底面半径 ，蚂蚁在圆柱表面从
点A爬到点B处，要爬行的最短路程是 （ 取3）．
【答案】10
【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出 的长就是蚂蚁在圆柱
表面从A点爬到B点的最短路程．过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，则 的长是蚂蚁在
圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出 和 的长，根据勾股定理求出斜边 即可．
【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接 ，
则 的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
∵圆柱体高 ，底面半径 ， 取3，∴ ， ， ，
由勾股定理得： ．故答案为：10．
16．（23-24七年级上·山东烟台·期中）底面是等边三角形的三棱柱，底面边长为5，棱柱高为8，按如图
方法缠绕一周的最短长度是 ．
【答案】17
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据“两点之间，线段最短”，可得 即为缠绕一周的最短
长度，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：将三棱柱侧面展开，得到如图所示的长方形，根据两点之间，线段最短得，
即为缠绕一周的最短长度，由勾股定理得， ，故答案为：17．
17．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方
体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 的半圆，其边缘 ，点E在
上， ，一滑行爱好者从 点滑行到 点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为
平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接 ，则 是最短路径，根据
，计算求解即可．
【详解】解：将半圆面展开如图：连接 ，则 是最短路径，
∴ ， ，
由勾股定理得， ．∴滑行的最短距离约为 ，故答案为：20．
18．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长
为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱
侧面爬行的最短路程是多少？
【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B
对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段 的长．【方法应用】（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为 ，底面周长为 ，在外侧距下底 的点S处
有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥
的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
（2）如图4，长方体的棱长 ， ，假设昆虫甲从盒内顶点 开始以 的速度
在盒子的内部沿棱 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆
虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
【答案】（1）34cm；（2） 秒．
【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段 就是蜘蛛走的最短路线．
由题意可得在 中， ， ， ，
∴ ，∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm．
（2）设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径 爬行，爬行捕
捉到昆虫甲需x秒．如图2，在 中，
∵长方体的棱长 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，解得 ．答：昆虫乙至少需要 秒才能捕捉到昆虫甲．19．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践
【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别
为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着
台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成
平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程．
【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点
A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______．
【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处
有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处
到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm
【详解】解：（1）由勾股定理，得： ；故答案为：25；
（2）将圆柱体展开，如图，由题意，得：
， ，由勾股定理得： ；故答案为：17 cm．
（3）如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接 ，由题意得： ， ，
∵底面周长为 ， ， ，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
20．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践
长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形 的
长方体盒子， ， ， ．该小组把长方体的两侧面 ， 剪下来，沿着
和 剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”．
【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为 ，小正方形 的面积为16．求大正方形
的面积；
【探究二】（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）；
【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽
度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：
将长方体盒子侧面 ， 展开成图③所示的平面图形，连接 ，在 中，
，即l的最小值为 ．上述探究结果是否正确？若不正
确，画图并求出l的最小值．【答案】（1） ；（2）见解析；（3）不正确；
【详解】解：（1）∵小正方形 的面积为16，∴ ，
∵每个直角三角形较小锐角为 ，∴ ，∴根据勾股定理得： ，
∴大正方形 的边长为 ，∴大正方形 的面积为： ．
（2）∵小正方形 的边长为c，∴小正方形 的面积为 ，
∵大正方形 的边长为 ，∴大正方形 的面积为： ，
∵四个全等的直角三角形的面积为： ；∴小正方形 的面积可以表示为：
，∴ ；
（3）不正确；理由如下：将长方体盒子侧面 ， 展开成平面图形，如图所示：
连接 ，在 中， ，
∵ ，
∵ ，∴ ，∴ ，即l的最小值为 ．
