文档内容
§2.
2 函数的基本性质
考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.
了解函数奇偶性的含义.3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x，x
1 2
定义 当x f ( x )，那么
1 2 1 2
就说函数f(x)在区间D上是增函
就说函数f(x)在区间D上是减函数
数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性， 区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ； (1)对于任意的x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M (2)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意
偶函数 一个x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就 关于 y 轴 对称
叫做偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意
奇函数 一个x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x) 关于原点对称
就叫做奇函数
4.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，
都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期．
微思考
1．函数y＝f(x)满足∀x，x∈D，x≠x，>0(<0)，能否判断f(x)在区间D上的单调性？
1 2 1 2
提示 能，>0(<0) f(x)在D上单调递增(单调递减)．
2．奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？
⇔
提示 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上
具有相反的单调性．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )(3)若y＝f(x)在区间D上单调递增，则函数y＝kf(x)(k<0)，y＝在区间D上单调递减．( ×
)
(4)若函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝2对称．( √ )
题组二 教材改编
2．下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
答案 C
解析 f(x)＝x－1为非奇非偶函数，f(x)＝x2＋x为非奇非偶函数，f(x)＝2x＋2－x为偶函数．
3．函数y＝在区间[2,3]上的最大值是________．
答案 2
解析 函数y＝＝1＋在[2,3]上为减函数，
当x＝2时，y＝取得最大值＝2.
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0
的解集为________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知，当00；当20.
综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．
题组三 易错自纠
5．函数f(x)＝(x＋1)是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
答案 非奇非偶
解析 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)不关于原点对称．
故f(x)为非奇非偶函数．
6．函数 y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且 f(a＋1)0，得－20，x－1<0，x－1<0，
2 1 1 2故当a>0时，f(x)－f(x)>0，即f(x)>f(x)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
1 2 1 2
当a<0时，f(x)－f(x)<0，
1 2
即f(x)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子
集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确
定简单函数的单调性．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
答案 [1,2]
解析 f(x)＝
画出f(x)的大致图象(如图所示)，
由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．
(2)已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递
增．
证明 方法一 (定义法)设x>x>0，
1 2
f(x)－f(x)＝x＋－x－
1 2 1 2
＝(x－x)＋
1 2
＝，
∵x>x>0，∴x－x>0，xx>0，
1 2 1 2 1 2
当x，x∈(0，]时，0a，
1 2 1 2∴xx－a>0，∴f(x)－f(x)>0，
1 2 1 2
∴f(x)>f(x)，
1 2
∴f(x)在[，＋∞)上单调递增．
方法二 (导数法)f′(x)＝1－＝(x>0)，
令f′(x)>0 x2－a>0 x>，
令f′(x)<0⇒x2－a<0⇒01, ，
3
∴ ，
即 .
(2)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log a＝4b＋2log b，则( )
2 4
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a4b＋2log b＋1，则( )
2 4
A．a>2b B．a<2b
C．ab2
答案 A
解析 4b＋2log b＋1＝22b＋ ＋1＝22b＋log b＋1＝22b＋log 2b，
4 2 2
∴2a＋log a>22b＋log 2b，
2 2
∵函数f(x)＝2x＋log x在(0，＋∞)上为增函数，
2
∴a>2b.
命题点2 求函数的最值
例4 (2021·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
答案
解析 令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，
∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t) ＝h(2)＝，
min
∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y的最大值为.
命题点3 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝x－log (x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
2
答案 (0,1)
解析 由f(x)＝x－log (x＋2)知，
2
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
即－20成立，那么实数a的取值范围是( )
1 2
A．(0,2) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D.
答案 D
解析 因为对任意x≠x，都有>0，
1 2
所以y＝f(x)在R上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数
的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x≠x 且x ，x∈(1，＋∞)时，
1 2 1 2
[f(x)－f(x)]·(x－x)<0恒成立，设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
2 1 2 1
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 依题意f(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，
且f(x)关于x＝1对称，
∴a＝f ＝f ，
∴f(e)f(x)，则实数x的取值范围是________．
答案 (－2,1)
解析 根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2f B．f(a2＋a＋2)－1的实数x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
答案 C
解析 f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，
∴f(2x－4)>－1可化为f(2x－4)>f(2)，
∴解得2≤x<3.5．(多选)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则实数a的取值可以是(
)
A．－1 B. C．1 D．2
答案 BC
解析 因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上单调递减，所以a≤1，又因为g(x)＝在[1,2]上单调递减，
所以a>0，所以0f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
答案 BC
解析 易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；
若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正确；
当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，
2]，故D不正确．
7．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1]和[0,1] (－1,0)和(1，＋∞)
解析 由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
8．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.
答案
解析 f(x)＝＝＝2＋在[3,4]上是减函数，
∴f(x) ＝f(4)＝4，f(x) ＝f(3)＝6，
min max
∴M＝6，m＝4，∴＝＝.
9．函数f(x)＝ex＋x－e，若实数a(a>0且a≠1)满足f <1，则a的取值范围为________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 f(x)＝ex＋x－e，∴f(x)在R上为增函数且f(1)＝1，∴f <1，可化为f 1时，符合题意．
∴a的取值范围是∪(1，＋∞)．
10．设函数 f(x)＝若函数 f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是
__________________．
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
解析 函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
11．已知函数f(x)＝ax－＋(a>0)，且f(x)在(0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值．
解 f(x)＝ax－＋(a>0)，
∴f(x)在(0,1]上为增函数，
∴f(x) ＝f(1)＝a＋，
max
∴g(a)＝a＋≥2，当且仅当a＝即a＝1时取等号，
∴g(a)的最小值为2.
12．已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)x＋m，
即2x－1，则下列说法正确的
1 2 1 2
是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令x－1 f(x)－f(x)<－(x－x) f(x)＋x0时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
解 (1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.
在R上任取x>x，则x－x>0，
1 2 1 2
所以f(x－x)>－1.
1 2
又f(x)＝f((x－x)＋x)＝f(x－x)＋f(x)＋1>f(x)，
1 1 2 2 1 2 2 2
所以函数f(x)在R上是增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，得f(x2＋x＋1)>f(3)，
因为函数f(x)在R上是增函数，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
