文档内容
专题 02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：求线面角.......................................2
题型二：已知线面角求参数...............................4
题型三：求线面角最值（范围）...........................7
三、专项训练..............................................8
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫
做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线 是平面 的一条斜线，斜足为 ，斜线上一点 在平面 上的射影为 ，
则直线 是斜线 在平面 上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定
义可知：斜线与平面所成角的范围为 ；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为 ；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为 .3、向量法
设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则
， .
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，动点 ， 分别在
棱 ， 上，且满足 ，当 的体积最小时， 与平面 所成角的
正弦值是 ．
2．（23-24高二上·江西赣州·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方
形，PA⊥底面ABCD， ，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为
．
3．（23-24高二上·北京·期末）在空间直角坐标系中，若直线 的方向向量是 ，
平面 的一个法向量是 ，则直线 与平面 所成角的正弦值等于 .
4．（23-24高二上·四川成都·期末）正方体 的棱长为2，BC棱上一点P满足 ，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 ．
1
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体 的底面 为正方形，四边形
是平行四边形， ， ， 是 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 是等边三角形，求直线 与平面 所成角的正弦值.
6．（2024·全国·模拟预测）如图所示，棱锥 中， 平面 ， ，
， ， ， ， 为 中点， ．
(1)证明：B，C，M，N四点共面；
(2)求直线AC与平面 所成线面角的正弦值．题型二：已知线面角求参数
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面
是矩形， ， ， 是 上的点，直线 与平面 所成角的
正弦值为 ，则 的长为 .
2．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥 的底面 是梯形，
平面 ， ， ， ， ， 为线段 上一
个动点，且 ，若 与平面 所成的角为 ，则 ．
3．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，
为棱 的中点，且 为棱 上的一点，若 与平
面 所成角的正弦值为 ，则 .4．（2024·山西晋城·二模）如图1，在 中， ， ，点D是线段
AC的中点，点E是线段AB上的一点，且 ，将 沿DE翻折到 的位
置，使得 ，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)若直线CF与平面 所成角的正弦值为 ，求线段BF的长．
5．（2024·辽宁·二模）如图，在三棱锥 中，侧面 是全等的直角三角
形， 是公共的斜边，且 ， ，另一个侧面是正三角形．
(1)求证： ；
(2)在图中作出点 到底面 的距离，并说明理由；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使 与平面 成 角？若存在，确定 的位置；
若不存在，说明理由．6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 为 的中点，线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正
弦值为 .若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面
， ，点 分别是棱 ， 的中点，点 是线段 上一点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)若直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求此时 的长度.题型三：求线面角最值（范围）
1．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点 是圆台 的上底面圆 上的动点， 在下
底面圆 上， ，则直线 与平面 所成角的余弦值
的最小值为 ．
2．（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在 中， ，在直角梯形
中， ， ，记二面角 的大小为
，若 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
3．（23-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体 中， 在线段
上运动，直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .4．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面
．设平面 与平面 的交线为l．若 ，Q为l上的点，则PB与平
面 所成角的正弦值的最大值为 ．
5．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）在长方体 中， ，线段
有一动点 ，过 作平行于 的平面交 与点 .当直线 与平面 所成角最
大时， .
6．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在正方体 中， 为线段 的中
点，点 在线段 上，则直线 与平面 所成角的正弦值的范围是 ．
三、专项训练
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱 中， ， 是 的中
点，点 在 上，且满足 ，当直线 与平面 所成的角取最大值时，
的值为 ．
2．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在 中， ， ．若空间点满足 ，则直线 与平面 所成角的正切的最大值为 .
3．（23-24高二上·上海·期末）已知平面 的一个法向量 ，直线 的方向向量
，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体 的棱长为2，P是过顶点
的圆上的一点， 为 的中点．当直线 与平面 所成的角最大时，点
的坐标为 ；直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是 ．
5．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在 中， ，
过 中点 的动直线 与线段 交于点 ，将 沿直线 向上翻折至 ，使
得点 在平面 内的射影 落在线段 上，则斜线 与平面 所成角的正弦
值的取值范围为 .
6．（23-24高二上·福建福州·期中）在正方体 中，点 在线段 上运
动，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
7．（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在三棱锥 中， 与 都为等边
三角形，平面 平面 分别为 的中点，且 在棱
上，且满足 ，连接 ．(1)求证： 平面 ；
(2)设 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱
形， 是侧棱 的中点，侧面 为正三角形，侧面 底面 ．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
9．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱 中，
，侧面 是正方形，二面角 的大小是 ．(1)求 到平面 的距离．
(2)线段 上是否存在一个点D，使直线 与平面 所成角为 ？若存在，求出
的长；若不存在说明理由．
10．（2024·天津河东·一模）在正方体 中（如图所示），边长为2，连接
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)底面正方形 的内切圆上是否存在点 使得 与平面 所成角的正弦值为
，若存在求 长度，若不存在说明理由．
11．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是矩
形， ， 平面 ，E为棱 的中点．(1)若 与平面 所成的角为 ，求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 ．
12．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图1，已知 是直角梯形， ，
， ，C、D分别为BF、AE的中点， ， ，将直角梯形
沿 翻折，使得二面角 的大小为 ，如图2所示，设N为 的中点.
(1)证明： ；
(2)若M为AE上一点，且 ，则当 为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦
值为 .
13．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图， ， 分别是直径 的半圆 上的点，且满足 ， 为等边三角形，且与半圆 所成二面角的大小为 ，
为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在弧 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存
在，求出点 到平面 的距离；若不存在，说明理由．
14．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 和
均为正方形， ，平面 ⊥平面 ，点M是 的中点，N为线段AC上
的动点；
(1)若直线 平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
