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专题26.4 反比例函数与一次函数、实际问题的综合之四大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 一次函数与反比例函数图象综合判断】........................................................................................1
【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】............................................................................................4
【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】............................................................................................6
【考点四 实际问题与反比例函数】................................................................................................................9
【过关检测】...........................................................................................................................................13
【典型例题】
【考点一 一次函数、二次函数与反比例函数图象综合判断】
例题：（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
和反比例函数 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象推出 ，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可
得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 经过第一、三、四象限，反比例函数 经过第二、四象限，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应
的系数关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）已知二次函数 的图像如图，则一次函数
与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图像与系数的关系，确定二次函数 中系数的符号，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，二次函数 中， ，对称轴 ，
∴ ，
∴ ，
∵二次函数 与 轴有交点，
∴ ，
从图像可知 时，二次函数 ，
∴一次函数 的图像经过第一、二、四象限，反比例函数 的图像经过第二、四
象限，
∴ 选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；
选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数，反比例函数图像的综合，掌握二次函数图像、一次函数图像、
反比例函数图像与系数的关系是解题的关键．
2．（2023·江西宜春·校考二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数 的图象
如右图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象可得 ，根据反比例函数可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、三、四象限，
∴ ，
∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴在 轴的右侧，与 轴交于负半轴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解
题的关键．
【考点二 一次函数与反比例函数的交点问题】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，反比例函数 与一次函数 相交于 ，
两点，若 ，则x的取值范围是（ ）A． B．
C． D． 或
【答案】D
【分析】把A点坐标代入 可求出m的值，进而可求出B点坐标，根据 ，即可求出答案．
【详解】解：把 代入 得，
，
解得： ，
∴反比例函数的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得： ，
∴ ，
当 时，正比例函数图象在反比例图象下方，
∴ 或 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题意求出B点坐标是解题关键．
【变式训练】
1.（2023·浙江宁波·统考一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
，当 时， 的取值范围是（ ）A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】先把 代入 ，求出n值，再根据图象直接求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得
，解得： ，
∴ ，
∵图象交于 、 两点，
∴当 时， 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握利用图象法求自变量的取值范围是解题的关
键．
2.（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数 的图象
与反比例函数 的图象交于点 ， ，当 时，x的取值范围是( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】利用待定系数法求得点A的坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时，x的取值范围是 或 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函
数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解
题的关键．
【考点三 一次函数与反比例函数的实际应用】
例题：（2023春·浙江·八年级期末）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时
间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃
毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为 ；药物燃烧时的函数解析式为 ；
(2)没有效，见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用 时分别代入求出答案．【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴药物燃烧时的函数解析式为 ；
设药物熄灭后y关于x的函数关系式是 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴药物燃烧时的函数解析式为 ；
（2）当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
∵ ，
∴这次消毒没有效．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023春·全国·八年级阶段练习）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y
（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，
车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
(1)求部分双曲线 的函数表达式；
(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上 能否驾车
去上班？请说明理由．【答案】(1) ；
(2)第二天早上 不能驾车去上班．
【分析】（1）首先求得线段 所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可
求解；
（2）把 代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，
∵直线 过 ，
∴ ，
解得
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
设双曲线的解析式为 ，将点 代入求得： ，
∴ ；
（2）解：由 得，当 时， ，
从晚上 到第二天早上 时间间距为 小时，
∵ ，
∴第二天早上 不能驾车去上班．
【点睛】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点，熟练相关性质是解题的关键．
2.（2023·山西晋中·统考二模）实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，
上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标
y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当 时，图象是反比例函数的一部分．(1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线 的表达式；
(2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分
钟．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设反比例函数的表达式为 ，将点C代入确定反比例函数解析式，然后即可确定
，设 的表达式为 ，利用待定系数法代入求解即可；
（2）求出当 时，两个函数的值，然后即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为 ，
将 代入得： ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ．
∴ ．
设 的表达式为 ，
将 ， 代入，
得： ，解得 ，∴
（2）当 时， ，解得 ，
，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．
【考点四 实际问题与反比例函数】
例题：（2023春·八年级单元测试）当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，
单位为 ）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为 ）存在一定的关系，某兴趣小组通
过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表：
n（
1.5 2 2.5 3 4
）
M（ ） 400 300 240 200 150
(1)以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结．
(2)能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取
值范围）；如果不能，请说明理由．
(3)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于 ，但不超过 ，求此场景中该发动机转
数n的取值范围．
【答案】(1)见详解
(2)能，M关于n的函数表达式为
(3)【分析】（1）根据题意可直接进行画出函数图象；
（2）由（1）可知M和n符合反比例函数关系，则设M关于n的函数表达式为 ，然后问题可求解；
（3）根据题意及结合函数图象可直接进行求解．
【详解】（1）解：由题意可得如下函数图象：
（2）解：由（1）可设M关于n的函数表达式为 ，则把点 代入得：
，
∴M关于n的函数表达式为 ；
（3）解：由题意可得：
当 时，则有 ，解得： ；
当 时，则有 ，解得： ；
∴n的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）已知 ， 的长和 边上的高 分别是 和 ，
它的面积是 ．
(1)求出 与 之间的函数关系式；
(2)若自变量的取值范围是 ，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2) 没有最大值，最小值是
【分析】（1）利用三角形的面积公式即可解决问题；
（2）先列表，然后描点，连线即可画出函数图象，观察图象即可解决问题；【详解】（1）解：由题意：
∴ ．
（2）列表：
… …
… …
描点、连线如图所示：
自变量的取值范围是 ，则 没有最大值，当 时， 的最小值是 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
2.（2023·山东临沂·统考二模）如图，某人对地面的压强 （单位： ）与这个人和地面接触面积
（单位： ）满足反比例函数关系．
(1)图像上点A坐标为 ，求函数解析式和这个人的体重．
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为 ，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为 ，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于
下陷（木板的质量忽略不计）？【答案】(1)函数解析式为 ，这个人的体重 ．
(2)人双脚站立时对地面的压强为 ．
(3)木板面积至少为 ．
【分析】（1）由图象可知压强与接触的受力面积成反比，故可得到对应的反比例函数 ，再将点
代入解析式即可求得反比例函数的解析式，由反比例函数的解析式可分析得到人的体重．
（2）首先换算单位 ，根据 ，带入解析式即可求得此人双脚站立
时对地面的压强大小．
（3）根据 得： ，将地面能承受的最大压强代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于
下陷．
【详解】（1）解：由图示图像可知函数解析式为： ，
∵ 时， ，
由 ，人的体重 ，
∴ ．
答：函数解析式为 ，这个人的体重 ．
（2）解：先换算单位 ，根据 ，代入反比例函数中得：人双脚站
立时对地面的压强为： ．
答：人双脚站立时对地面的压强为 ．
（3）解：根据 得： ，木板面积至少为： ．
答：木板面积至少为 ．
【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式，反比例函数与实际问题，能够通过函数图象判断函数类别以及正确求解函数解析式是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·河北保定·统考一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 （单位： 变化时，气
体的密度 （单位： 随之变化．已知密度 与体积 是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正
确的是（ ）
A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】利用待定系数法确定反比例函数的解析式，再逐一判定即可．
【详解】解：设 ，
将 代入 得 ，
解得 ，，故A选项错误，不符合题意；
是体积单位，故B选项说法不符合题意；
将 代入 得 ．
当 时， 正确，故C选项符合题意；
将 代入 得 ，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据题意确定反比例函数的解析式，难度不大．
2．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 （k是常数，
且 ）与反比例函数 的图象交于 两点，则不等式 的解集是（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
【分析】一次函数 落在反比例函数 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】解：∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于 两点，
∴不等式 的解集是 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
3．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）若函数 的图象如图所示，则函数
和 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数 的图象开口向下，得出 ，与 轴交点在 轴的正半轴，得出 ，
利用对称轴 ，得出 ，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解： 二次函数 的图象开口向下，
，
二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，
，
对称轴x ，
，
， ，
一次函数 经过一、二、四象限，
，
反比例函数y 位于二、四象限，
观察四个选项可知，只有C选项符合要求，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象得出
a，b，c的正负是解题的关键．
4．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数
换算为人的质量 ，已知 随着 的变化而变化（如图2）， 与踏板上人的质量m的关系见图3．
则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内， 越大， 越小 B．当 时， 的阻值为
C．当 时，踏板上人的质量为 D．若电压表量程为 ，为保护电压表，该电子
体重秤可称的最大质量是
【答案】D
【分析】根据所给函数图像即可判断选项A、B，根据函数图象得当 时， 的阻值为 ，根据
与m之间的关系得， ，进行计算即可判断选项C，当 时， 的阻值为 ，此时m
有最大值，即 ，进行计算即可判断选项D，综上，即可得．
【详解】解：根据图2得，在一定范围内， 越大， 越小，当 时， 的阻值为 ，
故选项A、B说法正确，
当 时， 的阻值为 ，根据 与m之间的关系得，
，
，
即当 时，踏板上人的质量为 ，
故选项C说法正确，
当 时， 的阻值为 ，此时m有最大值，即，
，
即电压表量程为 ，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 ，
故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．
二、填空题
5．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，
且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现
在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了 度．
【答案】150
【分析】设函数的解析式为 ，由 时， 可求 ，进而可求函数关系式，然后求得
焦距为0.4米时的眼镜度数，相减即可求得答案．
【详解】解：设函数的解析式为 ，
度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
，
解析式为 ，
当 时， ，
小慧原来戴400度的近视眼镜，
小慧所戴眼镜的度数降低了 度，
故答案为：150．
【点睛】考查了反比例函数的应用，根据题意求得反比例函数的解析式是解答本题的关键，难度不大．
6．（2023秋·湖北·九年级校考周测）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强
是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的压强大于 时，气球将爆炸，
为了安全起见，气体的体积V的范围是 ．【答案】
【分析】先设反比例函数为 （ ），将点 代入，求出解析式，再求出当 时V的值，
即可得到答案．
【详解】设反比例函数解析式为 （ ），将点 代入，得
，
∴ ，且P随V的增大而减小，
当 时， ，
∴当气球内的气压大于 时，气球将爆炸，
∴气体的体积V的范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7．（2023春·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）某品牌饮水机中原有水的温度为 ，通电
开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温 与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到
时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温 与开机时间x分成反比例关系），当水温降至
时，饮水机又自动开始加热，……，重复上述程序（如图所示），那么开机后100分钟时，水的温度
是 ．【答案】40
【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当 时，水温y与开机时间x
的函数关系式；由点 ，利用待定系数法即可求出当 时，水温y与开机时间x的函数关系式，
再将 代入该函数关系式中求出x值即可，由 ，将 代入反比例函数关系式中
求出y值即可得出结论．
【详解】解：当 时，设水温y与开机时间x的函数关系为： ，
依据题意，得 ，
解得： ，
故此函数解析式为： ；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为： ，
依据题意，得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∵ ，
∴当 时， ，
即开机后100分钟时，水的温度是 ．故答案为：40．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象
上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
8．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）某标准游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游
泳池蓄水能游泳时，水深不低于 米．
（1）游泳池的排水管每小时排水 立方米，那么将游泳池最低蓄水量排完用了 小时．
①写出 与 的函数关系式为 ；
②当 时， 的值为 ；
（2）在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时，每小时排水量最少增加 立方米．
【答案】
【分析】（1）①∵游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游泳池蓄水能游泳时，水深不低于
米，即可得游泳池最低蓄水量 立方米，则 与 的函数关系式为： ；②当 时，
，即可得；
（2）根据在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时得 ，计算得 ，即每小时的
排水量至少 立方米，即可得．
【详解】解：（1）①∵游泳池的尺寸为长 米，宽 米，深度为3米，游泳池蓄水能游泳时，水深不低
于 米，
∴游泳池最低蓄水量： 立方米，
∴ 与 的函数关系式为： ；
②当 时， ，
故答案为： ； ；
（2）∵在（1）的情况下，如果最低蓄水量排完不超过5小时，
∴ ，
，即每小时的排水量至少 立方米，
∴ （立方米），
∴小时排水量最少增加 立方米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数．
三、解答题
9．（2023·青海·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数 的图象
如图所示.
(1)求一次函数的解析式；
(2)当 时，直接写出不等式 的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函
数的解析式．
（2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集．
【详解】（1）解：由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为 ，
则交点的纵坐标为2．
将 代入 得， ．
所以一次函数的解析式为： ．
（2）解：当 ，即图象在 轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线 的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，所以不等式 的解集为： ．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给
出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键．
10．（2023秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气
体的压强 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)当气体体积为 时，气压是多少？
(3)当气球内的压强大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
【答案】(1)
(2)气压是
(3)为了安全起见，气体的体积应不小于
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把坐标 代入可得函数解析式；
（2）把 代入（1）得到的函数解析式，可得 ；
（3）把 代入得到 即可．
【详解】（1）解：设 ，由图象可知 ，
所以 ，
故这个函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ；（3）解：当 时， ．
所以为了安全起见，气体的体积应不小于 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义是解题的关键．
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，
所需天数 （单位：天）与每天完成的工程量 （单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线
的一部分．
(1)请根据题意，求 关于 的函数解析式；
(2)若该工程队有 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 ，则该工程队需用多少天才能完成此项任
务？
【答案】(1)
(2) 天
【分析】（1）将点 代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间．
【详解】（1）解：设解析式为 ，
∵点 在其图象上，
将 代入反比例函数的解析式，得 ,
解得： ，
∴所求函数关系式为 ．
（2）解：由题意知， 台挖掘机每天能够开挖水渠 （米），当 时， ，
故该工程队需要用 天才能完成此项任务．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．
12．（2023秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如
图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度 （ ）随时间 （ ）变化的函数图象，其中
段是恒温阶段， 段是双曲线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求 的值；
(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于 的时间有多少小时？
【答案】(1)
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于 的时间有 小时
【分析】（1）直接将点 坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有 的点，而且 段是恒温阶段， ，所以计算 和 两段
当 时对应的 值，相减就是结论．
【详解】（1）把 代入 中得： ；
（2）如图，
设 的解析式为： ．把 、 代入 中得：
，解得： ，
的解析式为： ，
当 时， ， ．
，
解得： ，
．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于 的时间有 小时
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
13．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）为了预防流感，某学校对教室采用药
薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比例，药物
燃烧后， 与 成反比例，如图所示，现测得药物 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量
为 ，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时和药物燃烧后 关于 的函数关系式；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能杀灭空气中的毒，
那么这次消毒是否有效？为什么？
【答案】(1)药物燃烧时， 关于 的函数关系式为 ；药物燃烧后， 关于 的函数关系式
为
(2)消毒无效，见详解
【分析】（1）设药物燃烧时，即 时， 关于 的函数关系式为 ，将点 代入求解即可；设药物燃烧后，即 时， 关于 的函数关系式为 ，将点 代入求解即可；
（2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可．
【详解】（1）解：设药物燃烧时，即 时， 关于 的函数关系式为 ，
将点 代入，可得 ，解得 ，
∴药物燃烧时， 关于 的函数关系式为 ；
设药物燃烧后，即 时， 关于 的函数关系式为 ，
将点 代入，可得 ，解得 ，
∴药物燃烧后， 关于 的函数关系式为 ；
（2）对于函数 ，
当 时，可得 ，解得 ，
对于函数 ，
当 时，可得 ，解得 ，
∴空气中每立方米的含药量不低于 的持续时间 ，
∵ ，
∴这次消毒无效．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题的关
键．
14．（2023秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中，学生
的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力
保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时
间 （分钟）的变化规律如图所示（其中 ， 分别为线段， 轴， 为双曲线的一部分），其
中 段的关系式为 ．(1)根据图中数据，求出 段双曲线的关系式；
(2)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适
当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【答案】(1)
(2)能
【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和20比较，大于20则能讲完，否则不能．
【详解】（1）解： 段的关系式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
设 、 所在双曲线的解析式为 ，
把 代入得， ，
．
（2）令 ，
，
令 ，
，
，
经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的
变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．15．（2023秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台
成本为5万元，设第 场产品的销售量为 （台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；
信息2：产品的每场销售单价 （万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第
5场浮动价与销售场次 成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次 成反比，经过统计，得到如下数据：
（场） 2 5 10
（万 1
7 7.5
元） 0
(1)求销售量 与销售场次 之间的函数关系式；
(2)求销售单价 与销售场次 之间的函数关系式；
(3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)第6场获得的利润最大，最大利润约为 万元
【分析】（1）根据每增加一场，产品就少卖出2台，即可列出关系式；
（2）根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（3）设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可
得出结果．
【详解】（1）解：依题意得： ，其中x为正整数，且 ；
∴销售量 与销售场次 之间的函数关系式为 ．
（2）解：设基本价为b，
①∵第1场~第5场浮动价与销售场次x成正比，
∴设p与x的函数关系式为 ，
依题意得 ，解得 ，
∴ ；
②∵第6场~第10场浮动价与销售场次x成反比，由①知 ，
∴设p与x的函数关系式为 ，
依题意得 ，解得 ，
∴ ；
综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为：
；
（3）解：设每场获得的利润为w万元，
①当 时， ，
∵ ，
∴当 时，w最大，最大利润为210万元；
②当 时， ，
∵ ，
∴w随x的增大而减小，
∴当 时，w最大，最大利润 (万元)，
∵ ，
∴在这10场产品促销会中，第6场获得的利润最大，最大利润约为 万元 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题
意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
16．（2023·河南·九年级统考自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图 所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数 已知电源电压 为 ，定值电阻
为 ，电阻 为力敏电阻，其阻值 与所受压力 符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图 中补全点，画出 与 的关系图象，并写出阻值 与压力
的函数关系式．
______ ______
(2)已知电路中电流 与电阻、电源电压的关系式 ，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到
量程的最大值 若电流表的量程为 ，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力 与所测物体的质量 的关系为 若力敏电阻阻值的变
化范围为 ，则所测物体的质量 的变化范围是______ ．
【答案】(1)100，40，图见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据反比例函数中 为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可；
（2）求出 ，结合（1）可得 的值；
（3）用 表示出 ，再代入 得关于 的不等式组，即可解得答案．
【详解】（1） ， ，补全表格如下：6
120 100 50 40 30
0
1
5 6 12 15 20
0
阻值 与压力 的函数关系式为 ；
故答案为：100，40；
（2）电流表的示数为 时， ，
解得 ，
把 代入 得：
，
解得 ，
该台秤最大可称 的物体；
（3） ， ，
，
，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解 ， ， ， 的关系．
