文档内容
3.1 图形的平移 第2课时 教学设计
1.教学内容
本课源自北师大版八年级数学下册第三章“图形的平移与旋转”3.1 图形的平移（第 2 课时），
主要围绕(1)沿 x 轴方向平移 a 个单位：(x,y)→(x±a,y)(2)沿 y 轴方向平移 b 个单位：
(x,y)→(x,y±b)
(3)坐标变化与平移方向、距离的一一对应关系.
2.内容解析
本节在第一课时已借助方格纸直观体验“平移不改变形状与大小”。本课时转入平面直角坐标系，
通过“画鱼—移鱼”情境，引导学生从“图形动—坐标变”与“坐标变—图形动”两条路径探究规律：
① 若横坐标统一加（减）a，即 (x,y)→(x+a,y)（或(x-a,y)），则图形沿 x 轴正（负）向
平移 a；
② 若纵坐标统一加（减）b，即 (x,y)→(x,y+b)（或(x,y-b)），则图形沿 y 轴正（负）向
平移 b。
通过列表比较、口述规律、操作验证，学生完成从实验感知到符号表达的过渡，体会“几何变换—代
数表示”的互译价值。典例与练习则突出“坐标→图形”“图形→坐标”双向应用，为后续“平移与
旋转”及“函数图象平移”奠定基础。
1.教学目标
•能由坐标系中图形的位置变化说出对应点的坐标之间的变化情况（一次变化）；
•能由对应点坐标之间的变化说出坐标系中图形的位置变化情况（一次变化）。
•掌握图形平移在平面直角坐标系中的坐标变化规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系.
2.目标解析
•通过“描点—连接—平移”操作，观察同一顶点平移前后连线的水平/竖直性质，列坐标差值表，学
生能准确说出“横坐标变、纵坐标不变”或反之。
•在已有坐标变化式 (x,y)→(x-4,y)等的基础上，让学生口述图形应沿哪条轴、向何方向、移动
多远，实现从“代数→几何”的迁移。
•借助归纳、类比、符号表述，形成一般化结论，并能在典型题（如轨迹面积、对应点坐标求解）中应
用，真正体验几何与代数结合的数学思想。
3.重点难点
学科网（北京）股份有限公司•教学重点：坐标增减与图形平移方向、距离的对应关系。
•教学难点：在综合情境中灵活运用平移规律解决面积、轨迹、综合选择题等问题。
八年级学生已掌握平面直角坐标系、一次函数及基本几何性质，具备读图与计算坐标的基础。上
一课时已对平移的直观特征有初步感知。但他们普遍存在：
1）“图形动”与“坐标变”未能建立清晰映射；
2）对符号“+a、-a”与“向右、向左”易混淆；
3）在解题时易忽视“方向”与“距离”双重要素；
4）对利用平移解决面积、对称等综合问题的能力尚待培养。
因此，本课需通过操作体验、列表比较与典例剖析，引导学生实现从感性到理性的飞跃，突出“一次
变化”情形，为后续多次平移、函数图象平移等内容打下坚实基础。
创设情景，引入新课
问题情境：
①知识回顾
1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形
状和大小.
2.一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线
段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等.
3.图形的平移由移动的方向和距离所决定.
②问题情境
在直角坐标系中描出以下各点：(0,0)、 (5,4) 、(3,0) 、(5,1) 、(5,-1) 、(3,0) (4,-2) 、(0,0)并用线段依次
连接,看一看是什么图案.
你能画出将这条“鱼”向右平移5个单位长度的图形吗？你能发现平移前后图形对应点的坐标之间有
什么关系吗？
学科网（北京）股份有限公司【设计意图】温故而知新，快速唤醒有关“平移”本质属性的记忆，为坐标变化规律的探究奠定概念
基础。
探究点1：沿x轴平移的坐标变化
1.操作思考
（1）画出“鱼”向右平移5个单位长度的图形.
（2）在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表.
（3）你发现对应点的坐标之间有什么关系？
平移后图形对应点的横坐标都加上5，纵坐标不变.
如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢?先想一想,然后再具体做一做.
问题：对应点的坐标之间又有什么关系？
平移后图形对应点的横坐标都减去4，纵坐标不变.
教师提问：在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度后的图形与原图形对应
点的坐标之间有什么关系？
2.知识归纳
学科网（北京）股份有限公司沿x轴平移的坐标变化:
在平面直角坐标系中，一个图形沿x轴方向向右(或向左)平移a（a>0）个单位长度，平移后的图形与
原图形对应点的横坐标都加上(或减去)a，纵坐标保持不变.
原图形向右(或向左)平移a个单位长度：(a>0)
原图形上的点P(x,y) 向右平移a个单位P (x+a,y)
1
原图形上的点P (x,y) 向左平移a个单位P (x-a,y)
2
3.练一练
如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度，那么这个图案上的点的坐标变化为( )
A.横坐标不变，纵坐标减少3个单位长度
B.纵坐标不变，横坐标减少3个单位长度
C.横、纵坐标都没有变化
D.横、纵坐标都减少3个单位长度
解：B
【设计意图】通过动手画图、填表对比、归纳规律、巩固练习的递进环节，让学生从直观操作过渡到
抽象概括，自主发现沿x轴平移时坐标“横变纵不变” 的规律，理解左右平移与横坐标增减的对应关
系，培养数形结合思想与归纳推理能力。
探究点2：沿y轴平移的坐标变化
1.观察思考
(1)如果将图中的“鱼”向上或向下平移若干单位长度，那么平移前后的两条“鱼”中，对应点的坐标
之间有什么关系？
解：平移前后的两条“鱼”中，对应点的横坐标都不变，纵坐标都加上(向上)或减去(向下)对应的单位
长度.
在平面直角坐标系中，一个图形沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度后的图形与原图形对应点的坐标之
间有什么关系？
2.知识归纳
沿y轴平移的坐标变化:
学科网（北京）股份有限公司在平面直角坐标系中，一个图形沿y轴方向向上(或向下)平移b（b>0）个单位长度，平移后的图形与
原图形对应点的横坐标保持不变，纵坐标都加上(或减去)b.
原图形向上（下）平移b个单位长度：(b>0)
原图形上的点P(x,y) 向上平移b个单位P (x,y+b)
3
原图形上的点P(x,y)向下平移b个单位P (x,y-b)
4
3.练一练
（1）将点A（3，2）向上平移2个单位长度，得到A1，则A1的坐标为______.
（2）将点A（3，2）向下平移3个单位长度，得到A2，则A2的坐标为______.
解：(3,4)，(3,-1)
【设计意图】借助类比探究、观察归纳与即时练习，引导学生自主得出沿y轴平移坐标“纵变横不
变” 的规律，强化数形结合思想，提升对比归纳与知识迁移能力。
探究点3：坐标变化下的图形平移
1.尝试思考
（1）如果将图中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，所得到的“新鱼”与原
来的“鱼”相比，有什么变化？
解：“新鱼”是由原来的“鱼”沿x轴向右平移3个单位长度得到的.
（2）如果是纵坐标保持不变，横坐标分别减2呢？
解：“新鱼”是由原来的“鱼”沿x轴向左平移2个单位长度得到的.
（3）如果将图中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3，所得到的“新鱼”与原
来的“鱼”相比，有什么变化？
解：“新鱼”是由原来的“鱼”沿y轴向上平移3个单位长度得到的.
（4）如果是横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？
解：“新鱼”是由原来的“鱼”沿y轴向下平移2个单位长度得到的.
2.知识归纳
坐标变化下的图形平移
1.在平面直角坐标系中，如果把图形中所有点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标保持不变，
相应的新图形就是把原来的图形沿着x轴向右(或向左)平移a个单位长度．
2.在平面直角坐标系中，如果把图形中所有点的纵坐标都加上(或减去)一个正数b，横坐标保持不变，
相应的新图形就是把原来的图形沿着y轴向上(或向下)平移b个单位长度．
3.练一练
将△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去1，得到△DEF，则△DEF是原△ABC( ).
A. 向左平移1个单位长度得到的
B.向右平移1个单位长度得到的
C.向上平移1个单位长度得到的
学科网（北京）股份有限公司D.向下平移1个单位长度得到的
解：D
4.典例分析
例1 如图所示，在方格纸中(小正方形的边长均为1)，△ABC的三个顶点均为格点，将△ABC沿x轴
向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系(O是坐标原点),解答下列问题:
(1)画出平移后的△A'B'C',并直接写出点A',B',C'的坐标;
(2)求出在整个平移过程中,△ABC扫过的部分的面积.
解: (1)平移后的△A'B'C'如图所示.
点A',B',C'的坐标分别为(-1,5),(-4,0),(-1,0).
1 65
(2)△ABC扫过的部分的面积=S
梯形AA'B'C
=
2
×(5+8)×5=
2
.
例2 如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3)、B(3,1)、C(1,2)．
(1)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到点A 、B 、C ，依次连接A 、B 、C ，
1 1 1 1 1 1
所得△A B C 与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
1 1 1
解：(1)根据题意，得点A (－1,3)、B (－2,1)、C (－4,2)，所得△A B C 与△ABC的大小、形状完全一
1 1 1 1 1 1
样，只是把△ABC向左平移了5个单位长度．
(2)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去4，横坐标不变，分别得到点A 、B 、C ，依次连接A 、B 、C ，
2 2 2 2 2 2
所得△A B C 与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？
2 2 2
学科网（北京）股份有限公司解：(2)根据题意，得点A (4，－1)、B (3，－3)、C (1，－2)，所得△A B C 与△ABC的大小、形状完
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全一样，只是把△ABC向下平移了4个单位长度．
【设计意图】从坐标变化反向推导图形平移，实现“平移→坐标”与“坐标→平移”的双向转化，帮
助学生完整建立数形对应关系，深化对平移本质的理解，提升逆向思维与应用能力。
1. 在平面直角坐标系中，点P(2，－3)向左平移4个单位长度后所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解：C
2.在平面直角坐标系中,将三角形上各点的纵坐标都减4,横坐标保持不变,所得图形与原图形相比( )
A.向右平移了4个单位长度 B.向左平移了4个单位长度
C.向上平移了4个单位长度 D.向下平移了4个单位长度
解：D
3.如图所示,已知一个三角尺的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(0,3).现将该三
角尺向右平移使点A与点O重合,得到△OCB',则点B的对应点B'的坐标是 ( )
A.(1,0) B.(√3，√2) C.(1,3) D.(-1,√3)
解：C
4.将点P(2m＋1，2－m)向左平移3个单位长度得到点Q，且Q在y轴上，则点P的坐标为( )
A.(3，1) B.(1，3) C.(0，1) D.(3，0)
解：A
5.在平面直角坐标系中，将点（－2，－3）向上平移3个单位，则平移后的点的坐标为____．
解：(-2,0)
6.如图，将一块直角三角尺的直角顶点C与原点重合，另两个顶点A,B的坐标分别为(3,0),(0,√3).现将
三角尺沿x轴向左平移，使点A与点A'(1,0)重合，则点B的对应点B'的坐标是_____ .
学科网（北京）股份有限公司解：(-2,√3)
7.若点A(a-1,a+2)在x轴上,将点A向上平移4个单位长度得到点B,则点B的坐标是_____.
解：(-3,4)
8.点P(-3,2)到点P'(2,2),是向______平移了______个单位长度.
解：右，5
9.如图所示，△A B C 是由△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A
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(1,1)，B (4,2)，C (3,4).
1 1
(1)请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标;
(2)求出△AOA 的面积.
1
解:(1)△ABC如图所示,A(-3,1),B(0,2),C(-1,4).
1
(2)如图，连接OA，OA ，S = ×4×1=2.
1 △AOA 1 2
10.在如图所示的平面直角坐标系中,每个小方格的边长均为1个单位长度,把△ABC向上平移3个单位
长度,得到△A'B'C'.
(1)请在图中画出△A'B'C',并写出点A',B',C'的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)点P在y轴上,且△BCP与△ABC的面积相等,求点P的坐标.
学科网（北京）股份有限公司解: (1)如图所示，A'(-2,4),B'(-3,1),C'(1,1).
1
(2)S△ABC= ×4×3=6.
2
(3)设点P的坐标为(0,y).
1
∵BC=4,由题意得 ×4×|y-(-2)|=6,解得y=1或y=-5,
2
∴点P的坐标为(0,1)或(0,-5).
11.四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，2)，B(-2，0)，C(0，-2)，D(2，0).
(1)将四边形ABCD向右平移6个单位长度，得到四边形A B C D ，写出四边形A B C D 各顶点的坐
1 1 1 1 1 1 1 1
标;
(2)将四边形A1B1C1D1向下平移6个单位长度，得到四边形A B C D ，写出四边形A B C D 各顶点
2 2 2 2 2 2 2 2
的坐标.
解：(1)A (6，2)，B (4，0)，C (6，－2)，D (8，0).
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(2)A (6，－4)，B (4，－6)，C (6，－8)，D (8，－6).
2 2 2 2
【设计意图】本节课以“形动—数变”线索贯穿，实施“真实情境—操作体验—规律抽象—典型应
用”的层级教学，既满足学生动手需要，又落实“能说、能写、会用”三维目标，突破“坐标变化与
图形平移对应关系”这一核心难点。
主板书 副板书
3.1 图形的平移 第2课时 例题
探究点1 沿x轴平移的坐标变化
探究点2 沿y轴平移的坐标变化 学生练习板演
探究点3 坐标变化下的图形平移
学科网（北京）股份有限公司课堂小结
1.必做题：习题3.1第4，5，9题。
2.探究性作业：习题3.1第10题。
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