文档文本内容
专题五 微专题 1 计数原理与概率
(分值：84分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·北京)在(x-√x)4的展开式中，x3的系数为( )
A.6 B.-6
C.12 D.-12
2.江南的周庄、同里、甪直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最
具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在
世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中
挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为( )
2 1
A. B.
5 2
4 3
C. D.
5 5
3.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
1 1
A. B.
4 3
1 2
C. D.
2 3
4.(2024·黔东南州模拟)在n个数码1，2，…，n(n≤9，n∈N*)的全排列j j …j 中，若一个较大的数码排在
12 n
一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，
记为T(j j …j ).例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此T(312)=2.那么
12 n
T(87542136)等于( )
A.19 B.20
C.21 D.22
5.(2024·深圳模拟)已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况)，其中甲或乙是第一名，丙不是
前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有( )
A.72种 B.96种
C.144种 D.288种
3a 4a 5a 6a 7a 8a
6.已知(2x+3)8=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5+a x6+a x7+a x8，则a +a + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8等于(
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 22 23 24 25 26 27
)
A.215 B.216
C.217 D.2181 1
7.(2024·葫芦岛模拟)设A，B是两个随机事件，且P(A)= ，P(B)= ，则下列结论正确的是( )
4 2
3
A.若P(BA)= ，则A与B相互独立
8
3
B.P(A∪B)=
4
1
C.P(A|B)=
4
D.A与B有可能是对立事件
8.某规范化考场的规格为每场30名考生，分为6排5列，依照如图所示的方式进行座位号的编排.为了确保
考试的公平性，考生的试题卷分为A卷和B卷，座位号为奇数的考生使用A卷，座位号为偶数的考生使用
B卷.已知甲、乙、丙三名考生在同一考场参加考试，且三人使用的试卷类型相同，三名考生中任意两人不
得安排在同一行或同一列，则甲、乙、丙三名考生的座位安排方案共有( )
第5列 第4列 第3列 第2列 第1列
25 24 13 12 01 第1排
26 23 14 11 02 第2排
27 22 15 10 03 第3排
28 21 16 09 04 第4排
29 20 17 08 05 第5排
30 19 18 07 06 第6排
A.2 016种 B.1 008种
C.1 440种 D.720种
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·岳阳模拟)下列结论正确的是( )
A.若Cn =C3，则n=3
7 7
m+1
B.Cm= Cm+1
n n+1 n+1
C.(x-1)10的展开式的第6项的系数是C5
10
D.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中x2的系数为C3
-1
6
10.某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播
放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则( )A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1 154种
C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
11.(2024·安阳模拟)甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工
序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，
B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是( )
A.该项目达标的概率为0.68
B.若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
15
C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为
34
5
D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为
8
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2024·韶关模拟)二项式(2-x)n的展开式中，x2项的系数是常数项的2.5倍，则n= .
13.(2024·天津)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为 ；已
知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 .
14.(2024·新课标全国Ⅱ)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共
有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 .
15题5分，16题6分，共11分
1 1 4 4
15.设a=
3
，b=
e
sin 6-1，c=
3
ln
3
，则( )
A.b<a<c B.c<a<b
C.a<c<b D.b<c<a16.(多选)(2024·福州模拟)通信工程中常用n元数组(a ，a ，a ，…，a )表示信息，其中a=0或1(i，
1 2 3 n i
n∈N*，1≤i≤n).设u=(a ，a ，a ，…，a )，v=(b ，b ，b ，…，b )，d(u，v)表示u和v中相对应的元素(a
1 2 3 n 1 2 3 n i
对应b，i=1，2，…，n)不同的个数，则下列结论正确的是( )
i
A.若u=(0，0，0，0，0)，则存在5个5元数组v，使得d(u，v)=1
B.若u=(1，1，1，1，1)，则存在12个5元数组v，使得d(u，v)=3
(⏟0，0，…，0)，
C.若n元数组w= 则d(u，w)+d(v，w)≥d(u，v)
n个0
(⏟1，1，…，1)，
D.若n元数组w= 则d(u，w)+d(v，w)≥d(u，v)
n个1答案精析
1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D
7.A 8.A
9.BD
[对于A，因为Cn =C3
，由组合数性质可得n=3或n=4，A错误；
7 7
n！
对于B，Cm
=
n m！(n-m)！
m+1 (n+1)·n！
= ·
n+1 (m+1)·m！·(n-m)！
m+1 (n+1)！
= · ，
n+1 (m+1)！·[(n+1)-(m+1)]！
m+1
所以Cm
=
Cm+1
，B正确；
n n+1 n+1
对于C，(x-1)10的展开式的第6项为T =C5 x10-5(-1)5=-C5 x5，所以第6项的系数是-C5 ，C错误；
6 10 10 10
对于D，(1+x)3的展开式中x2的系数为C2 ，(1+x)4的展开式中x2的系数为C2 ，(1+x)5的展开式中x2的系数为
3 4
C2
，
5
所以(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5的展开式中x2的系数为
C2+C2+C2=C2+C3+C2+C2-1=C3+C2+C2-1=C3+C2-1=C3-1，D正确.]
3 4 5 3 3 4 5 4 4 5 5 5 6
10.ABD
[若甲、乙左右相邻，可选择三至七排，(10+4+3+6+4)A2
=54(种)，所以一共有54种购票情况，
2
故A正确；
甲、乙在同一列的情况共有A2 +A2 +A2 +A2 +A2 +A2 +A2 +A2
=106(种)，
3 5 5 3 2 4 5 5
则甲、乙不在同一列的情况有A2
-106=1 154(种)，所以一共有1 154种购票情况，故B正确；
36
若甲、乙前后相邻，先选座位，
有2+4+4+1+2+4+4=21(种)，
再考虑甲乙顺序，有A2
=2(种)，所以一共有42种购票情况，故C错误；
2
银幕中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位，甲、乙分坐于两侧，
有A2
×18×18=648(种)情况.
2
甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A2
(5×6+3×3+3×2+4×4+3×3)=140(种)情况，所以甲、乙分
2
坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648-140=508(种)，故D正确.]
11.ACD [记“甲负责工序A”为事件M ，“甲负责工序B”为事件M ，“甲负责工序C”为事件
1 2
M ，“该项目达标”为事件N.
3
对于选项A，该项目达标的概率为
P(N)=P(M )P(N|M )+P(M )·P(N|M )+P(M )P(N|M )=0.5×0.6+0.3×0.8+0.2×0.7=0.68，故选项A正确；
1 1 2 2 3 3对于选项B，
P(M )P(N|M )+P(M )P(N|M )
P(N|(M ∪M ))= 1 1 2 2
1 2 P(M )+P(M )
1 2
0.5×0.6+0.3×0.8 27
= = ，故选项B错误；
0.5+0.3 40
P(M )P(N|M ) 0.5×0.6 15
1 1
对于选项C，P(M |N)= = = ，故选项C正确；
1 P(N) 0.68 34
P(M )P(N|M ) 0.5×(1-0.6) 5
对于选项D，P(M |N)= 1 1 = = ，故选项D正确.]
1 P(N) 1-0.68 8
12.5
解析 二项式(2-x)n的展开式通项为Ck 2n-k(-1)kxk，则x2项的系数是C2 2n-2，常数项是C0 2n，
n n n
5
由题意得C2 2n-2= C0 2n，
n 2 n
n(n-1) 5
即 ·2n-2= ·2n，
2 2
整理得n2-n-20=0，
解得n=5或n=-4(舍).
3 1
13.
5 2
解析 方法一 (列举法)
从五个活动中选三个的情况有：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，
其中甲选到A有6种情况：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
6 3
则甲选到A的概率为 = ；
10 5
乙选A活动有6种情况：
ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
其中再选择B活动有3种情况：
ABC，ABD，ABE，
3 1
故乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 = .
6 2
方法二 设选到A为事件M，
C2
3
4
选到B为事件N，则甲选到A的概率为P(M)= = ；
C3 5
5C1
3
P(MN)
C3
1
5
乙选了A活动，他再选择B活动的概率为P(N|M)= = = .
P(M) C2 2
4
C3
5
14.24 112
解析 由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有
3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24(种)选法；
先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4；再按行分析，第一、
二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选
43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大，故选中方格中的4个数之和的最大值为
21+33+43+15=112.
4
15.A [若x= ，
3
则a=x-1，c=xln x，
令f(x)=xln x-(x-1)，
则f'(x)=ln x+1-1=ln x，
当x>1时，f'(x)>0，
当0<x<1时，f'(x)<0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，又f(1)=0，
(4)
所以f >f(1)，
3
4 4 1
所以 ln > ，即c>a；
3 3 3
又
(
1+
1) 6 =C0(1) 0 +C1(1) 1 +…+C6(1) 6
3 6 3 6 3 6 3
>C0(1) 0 +C1(1) 1
=3>e，
6 3 6 3
1 1 1 1
所以1+
3
> e6，所以
3
> e6-1，
( π)
令g(x)=x-sin x，x∈ 0， ，
2
则g'(x)=1-cos x>0，
( π)
所以g(x)在 0， 上单调递增，
2
所以g(x)>g(0)=0，( π)
即x>sin x，x∈ 0， .
2
1 1
所以sin < ，
6 6
1 1 1
所以
3
> e6-1>
e
sin 6-1，即a>b，所以b<a<c.]
16.ACD
[选项A，由题意，5个位置选择1个位置安排1即可，满足条件的数组共有C1
=5(个)，故A正确；
5
选项B，由题意5个位置选择3个位置安排0即可，满足条件的数组共有C3
=10(个)，故B错误；
5
选项C，设u，v中对应项同时为0的共有m(0≤m≤n)个，同时为1的共有s(0≤s≤n-m)个，
从而对应项一项为1与另一项为0的共有(n-m-s)个，这里n≥m+s，
从而d(u，v)=n-m-s，而d(u，w)+d(v，w)=2s+(n-m-s)=d(u，v)+2s≥d(u，v)，故C正确，同理D正确.]
