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微专题 1 计数原理与概率
[考情分析] 1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题
为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概
率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.
考点一 排列与组合问题
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.
例1 (1)(多选)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的
有( )
A.不同的摆放方法共有120种
B.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种
C.若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种
D.若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种
(2)(2024·张家口模拟)有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，
每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习
的不同分配方案有 种.(用数字作答)
[规律方法] 排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处
理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，
等价转化.
跟踪演练1 (1)(2024·义乌模拟)在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、
正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是(
)
A.36 B.48
C.60 D.72
(2)(2024·宁波模拟)某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转
运环节，其中第1，2两个环节各有a，b两种运输方式，第3，4两个环节各有b，c两种运输方式，第
5个环节有d，e两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种.
考点二 二项式定理
1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将T 项写出并化简.
k+1
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求.
2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.
例2 (1)(2024·张家口模拟)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为( )
A.-5 B.5
C.-10 D.10
(2)(多选)已知(1-2x)2 025=a +a x+a x2+…+a x2 025，则下列结论中正确的是( )
0 1 2 2 025
A.a +a +a +…+a =-2
1 2 3 2 025
B.a -a +a -a +…-a +a =1-32 025
1 2 3 4 2 024 2 025
C.a +2a +3a +…+2 025a =4 050
1 2 3 2 025
D.|a |+|a |+…+|a |=32 025
1 2 2 025
[规律方法] 二项式(a+b)n的通项公式T =Ck an-kbk(k=0，1，2，…，n)，它表示的是二项展开式的第k+1项，
k+1 n
而不是第k项；其中Ck
是二项展开式的第k+1项的二项式系数，而二项展开式的第k+1项的系数是字母幂
n
前的常数，要区分二项式系数与系数.
跟踪演练2 (1)(2024·武汉模拟)若(1+2x)10=a +a (1+x)+a (1+x)2+…+a (1+x)10，则a 等于( )
0 1 2 10 2
A.180 B.-180
C.-90 D.90
(1 ) 10
(2)(2024·全国甲卷) +x 的展开式中，各项系数的最大值是 .
3
考点三 概率
1.古典概型的概率公式事件A包含的样本点数
P(A)= .
试验的样本点总数
2.条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
P(AB)
则P(B|A)= .
P(A)
3.全概率公式
设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A ∪A ∪…∪A =Ω，且P(A)>0，i=1，2，…，n，则对任意的
1 2 n 1 2 n i
n
事件B Ω，有P(B)= Σ P(A)·P(B|A).
i i
i=1
⊆
例3 (1)(2024·苏州模拟)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分
别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的
概率为( )
1 1
A. B.
2 3
1 1
C. D.
4 6
(2)(多选)(2024·广州模拟)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜
色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A 和A 表示从甲箱中取出的球是
1 2
红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则( )
3 11
A.P(A )= B.P(B)=
1 5 50
9 2
C.P(B|A )= D.P(A |B)=
1 50 2 11
[规律方法] 求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解.
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.
跟踪演练3 (1)(2024·景德镇模拟)六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排
成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则
爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为( )
1 1
A. B.
6 36
1 1
C. D.
72 108(2)(多选)(2024·兰州模拟)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存
P(A)P(B|A)
在如下关系：P(A|B)= .对于一个电商平台，用户可以选择使用支付方式1、支付方式2
P(B)
或支付方式3进行支付.已知使用支付方式1支付的用户占总用户的20%，使用支付方式2支付的用户
占总用户的40%，其余的用户使用支付方式3支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付
问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06.若一个遇到支付问题的用户，
1
使用三种支付方式支付的概率均为 ，则以下说法正确的是( )
3
A.使用支付方式1支付的用户中有10%的人遇到支付问题
B.使用支付方式2支付遇到支付问题与使用支付方式3支付遇到支付问题的概率不同
C.要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将支付方式1支付通道关闭
D.减少支付方式3支付的人数有可能降低出现支付问题的概率答案精析
例1 (1)ACD (2)50
跟踪演练1 (1)C (2)16
例2 (1)A [(1+x)5的展开式通项为T =Ck xk，
k+1 5
则(1-x2)(1+x)5的展开式中含x4的项为C4 x4-x2·C2 x2=(C4-C2)x4=-5x4，
5 5 5 5
所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为-5.]
(2)AB [对于A选项，令x=1，
则a +a +a +a +…+a =-1，又a =C0 =1，
0 1 2 3 2 025 0 2 025
所以a +a +a +…+a =-2，故A正确；
1 2 3 2 025
对于B选项，令x=-1，
则a -a +a -a +…-a =32 025，
0 1 2 3 2 025
-a +a -a +…-a =32 025-1，
1 2 3 2 025
故a -a +a -a +…-a +a =1-32 025，故B正确；
1 2 3 4 2 024 2 025
对于C选项，记y=(1-2x)2 025=a +a x+a x2+…+a x2 025，
0 1 2 2 025
则y'=-4 050(1-2x)2 024=a +2a x+…+2 025a x2 024，
1 2 2 025
令x=1，则a +2a +3a +…+2 025a =-4 050，故C错误；
1 2 3 2 025
对于D选项，(1-2x)2 025的通项公式为T =Ck (-2x)k(0≤k≤2 025，k∈N)，
k+1 2 025
当k为奇数时，系数为负数，
所以|a |+|a |+…+|a |=-a +a -a +…-a =32 025-1，
1 2 2 025 1 2 3 2 025
故D错误.]
跟踪演练2 (1)A (2)5
例3 (1)B (2)ABD
跟踪演练3 (1)B (2)AC
