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第 5 课时应用二元一次方程-里程碑上的数
基础篇
一、单选题
1．已知两数x，y之和是10，且x比y的2倍大3，则下列所列方程组正确的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据x，y之和是10，列出方程 ，再由x比y的2倍大3，列出方程 ，最后写成方程组
形式即可解题．
【详解】
根据题意列出方程组，得：
故选C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，是重要考点，找到等量关系，掌握相关知识是解题关
键．
2．春节将至，某超市准备用价格分别是36元 和20元 的两种糖果混合成 的什锦糖出售，混
合后什锦糖的价格是28元 ．若设需要36元 的糖果 ，20元 的糖果 ，则下列方程组
中能刻画这一问题中数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
由题意得等量关系：两种糖果混合成 的什锦糖；36元/kg的糖果 的费用＋20元/kg的糖果
的费用＝100kg×28，即可得出方程组．
【详解】
解：设需要36元/kg的糖果 ，20元/kg的糖果 ，由题意得：
．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
3.《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？”意思是：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元.问共有多少人？这个物品价
格是多少元？设共有 个人，这个物品价格是 元.则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据等量关系：每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元即可列出方程组.
【详解】
根据题意有
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键.
4．为了研究吸烟对肺癌是否有影响，某研究机构随机调查了8000人，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比
例是3%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0．5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多33人．
在这8000人中，设吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y．所列方程组正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多33人且该研究机构共调查了8000人，即可得出关于
x，y的二元一次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得：
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，这样的两位数有（ ）
A．3个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】D
【分析】
可以设两位数的个位数为x，十位为y，根据两数之和为7，且x、y为整数，分别讨论两未知数的取值即可，
注意不要漏解．
【详解】
解：设两位数的个位数为x，十位为y，
根据题意得：x＋y＝8，
∵x，y都是整数，
∴当x＝0时，y＝8，两位数为80；
当x＝1时，y＝7，两位数为71；
当x＝2时，y＝6，两位数为62；当x＝3时，y＝5，两位数为53；
当x＝4时，y＝4，两位数为44；
当x＝5时，y＝3，两位数为35；
当x＝6时，y＝2，两位数为26；
当x＝7时，y＝1，两位数为17；
则此两位数共8个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于根据未知数的整数性质讨论未知数的具体值，注意不要
漏掉两位数的个位数可以为0的情况．
6．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和
正六边形共用了2023根火柴，并且正三角形的个数比正六边形的个数多 个，那么能连续搭建的正三角形
的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，根据“所用火柴棍数=三角形个数
×2+1+正六边形个数×5+1”联立正三角形的个数比正六边形的个数多6个得出关于x、y的二元一次方程组，
解方程组即可得出结论．
【详解】
解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的根数为y个，
由题意得 ，解得： ，
∴能连续搭建的正三角形的个数是293个，
故选D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是列出关于x、y的二元一次方程．本题属于基础题，难度
不大，解决该题型题目时，结合数量关系得出关于两种图形个数的方程（或方程组）是关键．
7．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，
若设该队胜的场数为 负的场数为 ，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设这个队胜 场，负 场，根据总场数是8场及胜场得分减去负场得分等于12分，列出方程组即可．
【详解】
解：设这个队胜 场，负 场，
根据题意，得 ．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组．
8．某家具生产厂生产某种配套桌椅（一张桌子，两把椅子），已知每块板材可制作桌子1张或椅子4把，
现计划用120块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，
则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，根据“用120块这种板材生产一批桌椅”，即可列出一个二元一
次方程，根据“每块板材可做桌子1张或椅子4把，使得恰好配套，一张桌子两把椅子”，列出另一个二元
一次方程，即可得到答案．
【详解】
设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，
∵用100块这种板材生产一批桌椅，
∴x+y=120 ①，
生产了x张桌子，4y把椅子，
∵使得恰好配套，1张桌子4把椅子，
∴2x=4y②，
①和②联立得：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
9．某校八（3）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款510元，捐款情况如下表：
表格中捐款6元和8元的人数不小心被墨水污染已看不清楚若设捐款6元的有x名同学，捐款8元的有y名
同学，根据题意，可得方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据捐款学生40名，捐款金额是510元，即可得出方程组．
【详解】
设捐款6元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，由题意得， ，即 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关
系，列出方程组．
10．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八
盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出
7钱，又会差4钱．问人数、物价各是多少？设合伙人数为 人，物价为 钱，则下列方程组正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设合伙人数为 人，物价为 钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组，进而得到
答案．
【详解】
解：设合伙人数为 人，物价为 钱，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y的二元一次方程组为：
，
故选：A；
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
11．一个两位数，个位数字比十位数字大1，这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个
两位数是多少？设十位数字为x，个位数字为y，则正确的方程组是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】
通过认真审题，由“个位数字比十位数字大 ”可列方程 ；由“这个两位数除以它的各位数字之
和，商是 ，余数是 ”可列方程 ，组成方程组即可得解．
【详解】
解：设十位数字为 ，个位数字为
根据题意得 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是两位数的表示方法．
12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为14，若调换个位数字与十位数字，所得的新数比原数小36，
则这个两位数是（ ）
A．86 B．95 C．59 D．68
【答案】B
【分析】
先设出原两位数的十位与个位分别为 和 ，再用含 和 的式子表示出原两位数和新两位数，最后根据
题意找到等量关系列出方程组求解即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
设这个两位数的十位数字为 ，个位数字为
则原两位数为 ，调换个位数字与十位数字后的新两位数为
∵这个两位数的个位数字与十位数字的和为14
∴
∵调换个位数字与十位数字后的新两位数比原两位数小36∴
∴联立方程得
解得：
∴这个两位数为95
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意找出等量关系．
13．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买1束鲜花和1个礼盒
的总价为____元．
【答案】88
【分析】
设1束鲜花x元，一个礼盒y元．根据题意可列方程组，求出x、y再相加即可．
【详解】
设1束鲜花x元，一个礼盒y元．
则有： ，
解得： ，
所以1束鲜花33元，一个礼盒55元．
所以购买1束鲜花和一个礼盒的总价为33+55=88元．故答案为88．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解答本题的关键．
14．在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的．若图中各行从左到右列出的三组算筹分
别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项，如图1表示方程组是 ， 则如图2表示的方程
组是______．
【答案】
【分析】
观察图1可知：第三组算筹左边的一横代表10，右边上边的一横代表5，一竖代表1，结合图2即可得出图
2所表示的方程组．
【详解】
解：依题意，得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．学校为奖励优秀学生，用695元钱在某文具店购买甲、乙两种笔记本共100本，已知甲种笔记本每本
8元，乙种笔记本每本5元．请问两种笔记本各购买了多少本？
【答案】甲种笔记本购买了65本，乙种笔记本购买了35本．
【分析】
设甲种笔记本购买了 本，乙种笔记本购买了 本，根据题意可列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可得答案．
【详解】
设甲种笔记本购买了 本，乙种笔记本购买了 本，
∵用695元钱购买两种笔记本共100本，甲种笔记本每本8元，乙种笔记本每本5元，
∴ ，
解得: ．
答：甲种笔记本购买了65本，乙种笔记本购买了35本．
【点睛】
本题考查二元一次方程的应用，正确得出等量关系，列出方程组是解题关键．
16．有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位
数．
【答案】这个两位数是24．
【解析】
【分析】
设十位数字为x，则个位数字为x+2，根据这个两位数等于其数字之和的4倍列出方程，解方程即可．
【详解】
设十位数字为x，则个位数字为x+2，根据题意得
10x+x+2=4（x+x+2），
解得x=2．
答：这个两位数是24．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量
关系列出方程，再求解．
提升篇
17．学校计划为“爱成都爱祖国”歌唱比赛购买奖品，已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5
个A奖品和4个B奖品共需210元．（1）求 两种奖品的单价．
（2）学校准备购买 两种奖品共30个，且A奖品的数量是B奖品数量的一半，请问学校购买A、B奖
品各多少个？
【答案】（1）A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元；（2）购买A种奖品10个，B种奖品20个．
【分析】
（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据题意找到等量关系，列二元一次方程组，利用加
减消元法解二元一次方程组即可；
（2）设准备购买A种奖品为 个，则B种奖品为 个，由题意A奖品的数量是B奖品数量的一半，
列一元一次方程，解一元一次方程即可解题．
【详解】
解：（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，
由题意得： ，
由① ②可得： ，
，
将 代入①中可得： ，
，
，
答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元．
（2）设准备购买A种奖品为 个，则B种奖品为 个，
由题意可得： ，
，答：购买A种奖品10个，B种奖品20个．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车
的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（辆） 2 5
乙种货车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应
付运费多少元？
【答案】货主应付运费735元
【分析】
先设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨，再根据题意列出方程组求出x、y的值，然后根据运费每吨
30元计算即可．
【详解】
解：设甲、乙两种货车载重量分别为x吨、y吨
根据题意得 ，
解得
答：货主应付运费735元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，理解题意设出合适的未知数，列出方程是解题的关键．
19．学校准备租用客车外出活动．现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金
1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车送330名师生集体外出活动（无空座），最节省的租车费用是多少？
【答案】（1）1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）2960元．
【分析】
（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3
辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；
（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．
【详解】
解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有
，
解得： ．
∴1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；
（2）根据题意，
∵ ，
∴当全部租用乙种客车11辆，则费用为： （元）；
∵ ，
∴当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，
费用为： （元）；
∵ ，
∴当租用甲种客车4辆，乙种客车5辆时，
费用为： （元）；
∵ ，
当租用甲种客车2辆，乙种客车8辆时，
费用为 （元）；
综合上述，则当租用甲种客车6辆，乙种客车2辆时，费用最少，费用为2960元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等
量关系．
20．巴蜀学子李金珉在2020年第61届国际数学奥林匹克竞赛中以唯一满分勇夺金牌，全校同学深受鼓舞，
校园里掀起了一股热爱数学、研究数学的浪潮.某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位
上的数字之和为12的倍数，则称其为“榜样数”，例如：879，因为 ，则879为“榜样数”；又
如：678492，因为 ，则678492也是“榜样数”.
（1）95______“榜样数”；56382______“榜样数”（横线上填“是”或“不是”）；
（2）最大的三位“榜样数”是______，最小的四位“榜样数”为______；
（3）若一个四位正整数是“榜样数”，且满足十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字小3，且百
位数字和十位数字之和是千位数字与个位数字之和的3倍，求出满足条件的四位数.
【答案】（1）不是；是；（2）996；1029；（3）3360．
【分析】
（1）根据“榜样数”的定义即可求解；
（2）根据“榜样数”的定义即可求解；
（3）设千位数为a，则十位数为2a，设百位数为x，则个位数为：x-3，再进行讨论可得满足条件的四位数．
【详解】
解：（1）9+5=14≠12n,故不是“榜样数”；
5+6+3+8+2=24=12×2,故是“榜样数”；
故答案为：不是；是；
（2）依题意得：最大的三位“榜样数”是996；最小的四位“榜样数”为1029；
故答案为：996；1029；
（3）设千位数为a，则十位数为2a，设百位数为x，则个位数为：x-3
依题意得各位位数之和可能是:12，24，36，依题意得：
或 或
解得 或 （舍去）或 （舍去）
故这个四位数为：3360．【点睛】
此题主要考查了约数与倍数，新定义，解本题的关键是理解新定义，掌握数的整除是解本题的难点．
21．小明从家里到学校先是走一段平路然后走一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走 ，下坡路每
分钟走 ，上坡路每分钟走 ，则他从家里到学校需 ，从学校到家里需 .
问：从小明家到学校有多远？
【答案】
【分析】
设出平路和坡路的路程，从家里到学校走平路和下坡路一共用10分钟，从学校到家里走上坡路和平路一共
用15分钟，利用这两个关系式列出方程组解答即可．
【详解】
解：设平路有x米，坡路有y米，根据题意列方程得，
解得：
总路程：
答：小明家到学校有 ．
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用，主要利用时间、速度、路程三者之间的关系解答，解答时注意来回坡路
的变化，由此找出关系式，列方程组解决问题．
22．4月23日是世界读书日，在世界读书日来临之际，某校为了营造读书好、好读书、读好书的氛围，决
定采购《童年》《汤姆 索亚历险记》两种图书供学生阅读．通过了解，购买 本《童年》、 本《汤姆
索亚历险记》共需 元，购买 本《童年》、 本《汤姆 索亚历险记》共需 元．
求每本《汤姆 索亚历险记》和《童年》的定价各是多少元?
该校计划购买两种图书共 本，并且要求《汤姆 索亚历险记》的数量不少于《童年》数量的 倍，请你设计一种购买方案，使得购买两种图书所需的总费用最低．
【答案】（1）每本《汤姆•索亚历险记》的定价为 元，每本《童年》的定价为 元；（2）购买《童
年》 本，购买《汤姆•索亚历险记》 本时，所需总费用最低
【分析】
（1）设每本《汤姆•索亚历险记》的定价是 元，每本《童年》的定价 是 元，根据题意，可以列出相
应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，求出《童年》的取值范围，再根据题意得到费用与《童年》之间
的函数关系，由一次函数的性质求出函数的最小值，本题得以解决．
【详解】
解：（1）设每本《汤姆•索亚历险记》的定价是 元，每本《童年》的定价 是 元
依题意得： ，解得
答：每本《汤姆•索亚历险记》的定价为 元，每本《童年》的定价为 元．
（2）设购买《童年》 本，总费用为 元，则购买《汤姆•索亚历险记》为 本，
，解得， ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 的最小值，此时 ，
答：购买《童年》 本，购买《汤姆•索亚历险记》 本时，所需总费用最低
【点睛】
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用一次函数的性质求函数的最值．
23． 年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②
外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和
________．
【答案】2，9.
【分析】
设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y，根据二阶幻圆的要求，列出方程组，即可求解.
【详解】
设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y．
根据题意得： ，解得： ，
故答案是:2，9
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键.
