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第一章 特殊平行四边形单元测试(A 卷·夯实基础）（北师大
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2021·湖南娄底·）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
2．（2020·四川天府七中九年级月考）矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．每条对角线平分一组对角 D．对角线相等
【答案】D
【分析】
由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质： 邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案．
【详解】
∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；
菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴A对角线互相垂直是菱形具有，矩形不一定具有的性质，不符合题意；
B对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
C每条对角线平分一组对角是矩形和菱形都具有的性质，不符合题意；
D对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题．
3．（2021·广西防城港市·八年级期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角相等
【答案】A
【分析】
根据菱形的性质和平行四边形的性质逐一判断即可．
【详解】
解：A.菱形的对角线互相垂直，而平行四边形的对角线不一定垂直，故本选项符合题意；
B.菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故本选项不符合题意；
C.菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
D.菱形和平行四边形的对角都相等，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】
此题考查的是菱形的性质和平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解决此题的关键．
4．（2021·江苏镇江·八年级期中）如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等
于( ).A．22.5° B．45° C．30° D．135°
【答案】A
【分析】
根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°，
故选A．
【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，
中考常考题型．
5．（2021·湖北八年级期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】
根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的
四边形各边中点得到的四边形是菱形．
【详解】
解：如图，矩形 中，
分别为四边的中点，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱
形的判定．
6．（2021·上海黄浦·）已知在四边形 中， ，下列可以判定四边形是正方形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意得到四边形ABCD为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证．
【详解】
解：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即BC=CD，
故选D．
【点睛】
此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
7．已知正方形 的对角线 相交于点 ，且 ，则 的长度和 的度数分别是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角可得， BO=CO= AC=8，
∠OCD=45°．
【详解】解：∵正方形ABCD，AC=12cm
∴BO=CO= AC=6， =45°．
故选D．
【点睛】
本题考查正方形的性质．掌握正方形性质是解题关键，正方形的对角线对角线互相垂直；对角线相等且互
相平分；每条对角线平分一组对角.
8．（2020·全国八年级课时练习）若直角三角形两条直角边的长分别为18和24，则斜边上的中线的长是（
）
A．15 B．30 C． D．
【答案】A
【分析】
先根据勾股定理算出斜边长,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半的性质得出即可.
【详解】
∵直角三角形两条直角边的长分别为18和24，
∴直角三角形的斜边长为 30，则斜边上的中线的长是15．故选A．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质,关键在于熟记斜边中线的性质.
9．如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．20 D．40
【答案】C
【分析】
根据菱形ABCD对角线互相平分且垂直的性质可求出OA，OB的长，由勾股定理可得AB长，依据菱形的
四条边都相等的性质可得四边形ABCD的周长.
【详解】
解： 四边形ABCD是菱形在 中，根据勾股定理得
四边形ABCD的周长为 .
故答案为：C
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，综合应用菱形的性质求菱形的边长是解题的关键.
10．（2020·黑龙江八年级期末）已知：如图，菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 的中
点，AD＝6cm，则 OE 的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】
根据菱形的性质，各边长都相等，对角线垂直平分，可得点O是AC的中点，证明EO为三角形ABC的中
位线，计算可得．
【详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握几何图形的性质是解题关键．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2020·黑龙江八年级期末）E为正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC=_____．【答案】
【分析】
由AB＝AE，在正方形中可知∠BAC＝45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠ECB＝90°，故能求出
∠EBC．
【详解】
解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠ECB＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故答案为22.5°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度
数．
12．（2020·江西）已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．
【答案】2
【分析】
利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】
解：菱形的面积= ×1×4=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了菱形的性质：熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 记住菱形面积= ab（a、b是两条
对角线的长度）．
13．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则
∠EAC=_____．【答案】
【分析】
因为正方形的对角线互相平分，且每个内角是90°，故∠CAD＝45°，又因为等边三角形三个角相等，均为
60°，所以∠DAE＝60°，∠EAC＝∠CAD＋∠DAE＝60°＋45°＝105°．
【详解】
解：∵△ADE为等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝45°，
∴∠EAC＝∠EAD＋∠DAC＝105°．
故答案为105°．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质和正方形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.
14．（2021·长沙市北雅中学八年级期中）如图，在正方形 的外侧，作等边 ，则 的度数
是__________．
【答案】
【分析】
先求出 的度数，即可求出 .
【详解】
解：由题意可得， ，故答案为
【点睛】
本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都
相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.
15．如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____．
【答案】5．
【分析】
根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AB∥CD
∴∠B+∠BCD＝180°，
又∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝5
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三
角形的判定方法是关键．
16．（2021·吉林）如图，把一张宽度相等的纸条按图上所示的方式折叠，则∠1的度数等于___________°.【答案】65°
【分析】
利用翻折不变性，平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】
由翻折不变性可知：∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠4=180°−130°=50°，
∴∠1=∠2= (180°−50°)=65°，
故答案为65°.
【点睛】
本题考查翻折、平行线的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握翻折、平行线的性质和三角
形的内角和定理.
17．（2020·全国八年级课时练习）如图，平行四边形 的四个内角的平分线相交，如能构成四边形
，则这个四边形是_________．
【答案】矩形
【分析】
利用平行四边形的性质得出∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°即可证明四边形EFGH是矩形.
【详解】
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．∵ 分别平分 ，
∴ ，即 ．
同理可证 ，
故四边形 是矩形．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和矩形的判定,关键在于熟练掌握基础知识.
18．如图，在菱形 中， 是对角线 上的一点， 于点 ，若 ，则点 到 的距
离为________．
【答案】5
【解析】
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴AC平分∠DAB,
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：P到AD的距离＝PE＝5.
故答案是:5.
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．（9分）（2021·安徽八年级期末）如图所示， 的对角线 的垂直平分线与边 ， 分别
相交于点 ， ．求证：四边形 是菱形．
【答案】见解析
【分析】
根据题意先证明 ，即可证明四边形 为平行四边形，根据 可得结果．
【详解】
证明：∵四边形 是平行四边形∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，熟知判定定理以及性质是解题的关键．
20．（9分）（2021·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是
BC边上的中线，过点C作CF⊥AE， 垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据DB⊥BC，CF⊥AE，得出∠D＝∠AEC，再结合∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，证明
△DBC≌△ECA，即可得证；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA，可得CE=BD，根据BC=AC=12cm AE是BC的中线，即可得出
，即可得出答案．
【详解】证明：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中 ，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD；
（2） 由（1）可得△DBC≌△ECA
∴CE=BD，
∵BC=AC=12cm AE是BC的中线，
∴ ，
∴BD=6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明△DBC≌△ECA解题关键．
21．（9分）（2021·全国八年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝
DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】
（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；
（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由
勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝ BD＝ ，EH＝BE﹣BH＝2﹣ ＝ ，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝ ＝ ＝ ，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝ ，
∴菱形的边长为 ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和勾股
定理是解题的关键．
22．（9分）（2021·全国八年级单元测试）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ，，OE与AB交于点F．
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）96
【分析】
（1）根据菱形的性质结合已知条件即可得证；
（2）由（1）所得结合菱形的性质计算出 、 的长度，再计算面积即可．
【详解】
解：（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形；
（2）∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理；掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
23．（10分）（2021·全国八年级单元测试）如图，在四边形纸片 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，点 E，F
分别在边 BC，CD 上，将 AB，AD 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好都和点 G 重合，∠EAF＝45°．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）若 EC＝FC＝1，求 AB 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）AB= ．
【分析】
(1)由题意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四边形ABCD是矩形，
根据正方形的判定定理即可得到结论；
(2)根据EC=FC=1，得到BE=DF，根据勾股定理得到EF的长，即可求解．
【详解】
(1)由折叠性质知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，
∵∠EAF=45°,
∴∠BAD=2∠EAF=2 45°=90°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
由折叠性质知：AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)∵EC=FC=1，
∴BE=DF，EF= ，
∵EF=EG+GF=BE+DF，
∴BE=DF= EF= ，
∴AB=BC=BE+EC= ．【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握翻折变
换的性质：翻折前后对应边、对应角相等．
