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第三章 变量之间的关系（A卷·知识通关练）
【考点1 变量、自变量、因变量、常量】
【方法点拨】变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它
在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”
自变量的改变。
常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
1. （2022春•高青县期末）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．这里，因
变量是
A．骆驼 B．沙漠 C．体温 D．时间
【分析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量 和 ，对于每一个
的值， 都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间，因变量是体温．
【解答】解： 骆驼的体温随时间的变化而变化，
自变量是时间，因变量是体温；
故选： ．
2. （2022秋•郫都区校级期中）一根蜡烛原长 厘米，点燃后燃烧时间为 分钟，所剩余蜡烛的长为 厘米，
其中是变量的是
A． ， ， B． C． ， D． ，
【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量
称为常量解答即可．
【解答】解：一根蜡烛原长 厘米，点燃后燃烧时间为 分钟，所剩余蜡烛的长为 厘米，其中是变量的是
， ；
故选： ．
3. （2022秋•驻马店期中）太阳能热水器里的水温会随着太阳照射时间的变化而变化．在这个变化过程中，
自变量是
A．热水器里的水温 B．太阳照射时间C．太阳光强弱 D．热水器的容积
【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量 、 ，如果对于 在某一范围内的每一个确定的值，
都有唯一的值与它对应，那么称 是 的函数， 叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个
（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，太阳照射时
间为自变量．
故选： ．
4. （2022春•源城区期末）在球的体积公式 ，则常量是 ，变量是 ．
【分析】根据常量与变量的定义进行解答即可．
【解答】解：由常量与变量的定义可知，
在球的体积公式 ，则常量是 ，变量为半径 和体积 ，
故答案为： ，体积 和半径
【考点2 判断函数图象】
【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
5. 为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元 度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元 度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计
算）．
现假设某户居民某月用电量是 （单位：度），电费为 （单位：元），则 与 的函数关系用图象表示
正确的是
A． B．C． D．
【分析】根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
【解答】解：根据题意，当 时， ，
当 时， ，
，
，
所以， 与 的函数关系为 ，
纵观各选项，只有 选项图形符合．
故选： ．
6. 重庆八中的老师工作很忙，但初一年级很多数学老师仍然坚持锻炼身体，比如张老师就经常坚持饭后走一
走．某天晚饭后他从学校慢步到附近的中央公园，在公园里休息了一会后，因学校有事，快步赶回学校．
下面能反映当天张老师离学校的距离y与时间x的关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】比较运动快慢通常有两种方法，即比较相同时间内通过的路程多少或者通过相同路程所用时间
的多少，但统一的方法是直接比较速度的大小．
【答案】解：根据题中信息可知：
图象第一段：张老师从学校慢步到附近的中央公园，张老师离学校的距离y随着时间x的增大而增大；
并且因为是慢步，所用时间相对较长；
图象第二段：在公园休息时没有移动距离，因此张老师离学校的距离y随着时间x的增大而不变；图象第三段：快步赶回学校，张老师离学校的距离y随着时间x的增大而减小；并且因为是快步，所用
时间相对较短．
故C图象符合要求．
故选：C．
7. 一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作
直到抽干．设从开始工作的时间为 t，剩下的水量为 s．下面能反映 s 与 t 之间的关系的大致图象是
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽
水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．
【答案】解：由题意，随着抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水
机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．
故选：D．
8. （2022春•广饶县期末）小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着
到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明．问：如图四幅图象中，第 ②
幅描述了小明的行为，第 幅描述了小英的行为．
【分析】根据两个人速度的大小可以判断路程与单位时间的关系，可以选出答案．
【解答】解：小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校，可知小明速度先大后小，故
选第②个；小英开始走着，后来也跑了起来，可知小英速度先小后大，故选第④个．
故答案为：②；④．
【考点3 通过函数图象获取信息】
【方法点拨】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的
相应解决．需注意计算单位的统一．
9. （2021秋•北林区期末）端午节三天假期的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某著名
旅游景点游玩．该小汽车离家的距离 （千米）与时间 （小时）的关系如图所示．根据图象提供的有关
信息，下列说法中错误的是
A．景点离小明家180千米 B．小明到家的时间为17点
C．返程的速度为60千米每小时 D．10点至14点，汽车匀速行驶
【分析】根据函数图象的纵坐标，可判断 ；根据待定系数法，可得返回的函数解析式，根据函数值与自
变量的对应关系，可判断 ；根据函数图象的纵坐标，可得返回的路程，根据函数图象的横坐标，可得返
回的时间，根据路程与时间的关系，可判断 ；根据函数图象的纵坐标，可判断 ．
【解答】解： 、由纵坐标看出景点离小明家180千米，故 正确；
、由纵坐标看出返回时1小时行驶了 千米， ，由横坐标看出 ，故
正确；
、由纵坐标看出返回时1小时行驶了 千米，故 正确；
、由纵坐标看出10点至14点，路程不变，汽车没行驶，故 错误；
故选： ．
10. （2022•江西）甲、乙两种物质的溶解度 与温度 之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误
的是A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至 时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为 时，甲、乙的溶解度都小于
D．当温度为 时，甲、乙的溶解度相等
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【解答】解：由图象可知， 、 、 都正确，
当温度为 时，甲、乙的溶解度都为 ，故 错误，
故选： ．
11. （2022春•锦江区校级期中）已知小婷的家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小婷
从家跑步去书店，在书店购买书和文具又走到学校取东西，然后再走回家，图中 表示时间， 表示小婷
离家的距离，依据图中信息，下列说法错误的是
A．书店离小婷家
B．书店离学校
C．小婷从学校回家的平均速度是
D．小婷从书店出发到学校的平均速度是【分析】由图可得书店与家的距离为 ，即可判断 选项，由图可得学校与家的距离为 ，由选
项 即可判断 选项，由图可得学校回家花费的时间，由图可得学校回家的路程，求解即可判断 选项，
由图可得书店到学校花费的时间，再由选项 即可判断 选项．
【解答】解：由图可得书店离小婷家 ，故 选项正确；
由图可得学校离小婷家 ，即书店离学校的距离为 ，故 选项正确；
由图可得从学校回家所花时间为 ，从学校回家的平均速度为 ，故
选项正确；
由图可得从书店到学校所花时间为 ，从书店到学校的平均速度为 ，故
选项错误；
故选： ．
12. （2022春•六盘水期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，所能记忆的东西会逐渐被
遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现记忆遗忘规律，他根据自己得到的数据描绘了一条曲线（如图所
示），其中纵轴表示学习的记忆保持量，横轴表示时间，观察图象并回答下列问题：
（1）上述变化过程中自变量是 ，因变量是 ；
（2）根据图象，在以下那个时间段内遗忘的速度最快． （填写相应序号）；
① ，② ，③ ，④ ．
（3）有研究表明，如及时复习，一天后记忆量能保持 ，根据上述遗忘曲线规律制定两条暑假学习计
划．
【分析】（1）根据函数图象的横坐标和纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象判断即可；
（3）依据函数图象回答即可，
【解答】解：（1）其中自变量是时间，因变量是记忆保持量；故答案为：时间；记忆保持量；
（2）根据函数图象判断在 内图象下降的最快，可知遗忘的速度最快；
故答案为：①．
（3）暑假的学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合．
13. （ 2022 春 • 泾 阳 县 期 中 ） 如 图 是 某 地 区 一 天 的 气 温 随 时 间 变 化 的 图 象 ：
（1）气温在哪段时间是下降的？
（2）最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？
【分析】（1）直接根据图象信息回答即可；
（2）直接根据图象信息回答即可．
【解答】解：（1）由图象可知，气温在0到4时和14到22时是下降的；
（2）由图象可知，最高气温是 ，最低气温是 ．
【考点4 动点问题的函数图象】
14. （2022•广饶县一模）如图①，在菱形 中，动点 从点 出发，沿折线 运动．设点
经过的路程为 ， 的面积为 ．把 看作 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的 等于A． B． C．5 D．4
【分析】连接 交 于 ，根据图②求出菱形的边长为4，对角线 为6，根据菱形的对角线互相垂
直平分求出 ，再利用勾股定理列式求出 ，然后求出 的长，再根据菱形的面积等于对角线乘
积的一半求出菱形的面积， 为点 在 上时 的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．
【解答】解：如图，连接 交 于 ，
由图②可知， ， ，
，
在 中， ，
，
所以，菱形的面积 ，
当点 在 上运动时， 的面积不变，为 ，
所以， ．
故选： ．
15. （2022春•洪江市期末）如图1，矩形 中，动点 从点 出发，速度为 ，沿
方向运动至点 处停止．设点 运动的时间为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图2所
示，则四边形 的面积为A． B． C． D．
【分析】通过图2知， 段，对应的函数是一次函数，此时 ，而在 段， 的面积不变，
故 ，即可求解．
【解答】解：由图象知，
， ，
四边形 的面积 ．
故选： ．
16. （2022•鞍山）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为点 ，
动点 从点 出发沿 方向以 的速度匀速运动到点 ，同时动点 从点 出发沿射线 方向
以 的速度匀速运动．当点 停止运动时，点 也随之停止，连接 ．设运动时间为 ，
的面积为 ，则下列图象能大致反映 与 之间函数关系的是
A． B．C． D．
【分析】分别求出 在 和在 上时 的面积为 关于 的解析式即可判断．
【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
， ， ，
当 在 上时， ，
， ，
，
当 在 上时， ，
，
，
故选： ．
17. （2022春•兴庆区校级期末）如图①，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向运
动至点 处停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图②所示，则
当 时，点 应运动到点 ．
【分析】分点 在 段运动、点 在 段运动时两种情况，分别求解即可．【解答】解：当点 在 段运动时，
，为一次函数，由图2知， ，
当点 在 上运动时，
，为常数，由图2知， ，
当 时，点 应运动到高不再变化时，即点 处．
故答案为：7．
18. （2022春•永川区期末）如图1，五边形 中， ， ， ，点 ， 分别是
， 的 中 点 ． 动 点 以 每 秒 的 速 度 在 五 边 形 的 边 上 运 动 ， 运 动 路 径 为
，相应的 的面积 关于运动时间 的函数图象如图 2 所示．若
，则图2中 的值为 ．
【分析】观察函数图象得到点 在 上运动的时间为 ，在 上运动的时间为 ，在 上运动的时
间为 ，根据速度公式即可计算出 ， ， ，利用 点为 的中点，即可得到
；设 和 的延长线交于 ，利用 ， ， 可判断四边形
为矩形，则 ， ，所以 ，在 中，根据勾股定
理计算出 ，则 ，而 为 的中点，则 ，然后可计算出点 从 点运动到
所需时间为 ，于是得到 ．
【解答】解：根据函数图象得 ， ， ，
而 点为 的中点，
所以 ；
设 和 的延长线交于点 ，如图1，五边形 中， ， ， ，
四边形 为矩形，
， ，
，
在 中， ，
，
，
而 为 的中点，
，
点 从 点运动到 所需时间为 ，
．
故答案为：17．
【考点5 列表法表示函数关系】
【方法点拨】采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变
量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以
直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
19. （2022春•新城区校级期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度 与所挂物体的质量 之
间的关系如下：
0 1 2 3 4
所挂物体的质量
20 22 24 26 28
弹簧长度
下列说法不正确的是
A． 与 都是变量，且 是自变量B．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
C．弹簧不挂物体时的长度为
D．物体质量每增加 ，弹簧长度 增加
【分析】根据表格中的数据，可得答案．
【解答】解：由表格得：
、 与 都是变量， 是自变量，正确，故 不符合题意；
、所挂物体质量为 时，弹簧长度为 ，正确，故 不符合题意；
、弹簧不挂重物时的长度为 ，错误，故 符合题意；
、物体质量每增加 ，弹簧长度 增加 ，正确，故 不符合题意；
故选： ．
20. （2022秋•东营月考）近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数 （人
与时间 （年 有如下关系：
时间 年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
人数 人 50 80 100 150 200 270 350
则下列说法不正确的是
A．如表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系
B． （人 随时间 （年 的推移逐渐增大
C．自变量是时间 （年 ，因变量是留守儿童的人数 （人
D．自变量是留守儿童的人数 （人 ，因变量是时间 （年
【分析】根据函数相关概念依次判断即可．
【解答】解： ．如表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系，正确，不合题意；
． （人 随时间 （年 的推移逐渐增大，正确，不合题意；．自变量是时间 （年 ，因变量是留守儿童的人数 （人 ，正确，不合题意；
．自变量是时间 （年 ，因变量是留守儿童的人数 （人 ，原题说法不正确，符合题意；
故选： ．
21. （2022春•泾阳县期中）某文具店开展促销活动，销售总价 与卖出笔记本数量 的关系如下表：
数量 （件 1 2 3 4 5
销售总价 8 14 20 26 32
（元
当卖出笔记本的数量为7件时，销售总价为
A．44元 B．38元 C．48元 D．34元
【分析】先求出 关于 的解析式 ，再当 时求 即可．
【解答】解：观察表格，发现：当 每增大1， 就增大6，
，
当 时， ．
故选： ．
22. （2022•沙坪坝区校级开学）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如
表：
所挂物体的质量 千克 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
则不挂物体时，弹簧的长度是 ．
【分析】根据表格数据可得 与 成一次函数关系，设 ，取两点代入可得出 与 的关系式，当
所挂物体质量为0时，即是弹簧不挂物体时的长度．
【解答】解：由表格可得： 随 的增大而增大；
设 ，
将点 ， 代入可得： ，解得： ．
故 ．
当 时， ．
即不挂物体时，弹簧的长度是 ．
故答案为：12．
23. （2022春•温江区校级期中）弹簧挂物体会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂物体的质量 之间有
下面的关系：
0 1 2 3 4
10 10.5 11 11.5 12
根据表格中的信息，当 时（在弹簧的弹性范围内），则 的值为 ．
【分析】根据给出的数据，描点画图，可以推断出符合一次函数，利用待定系数法，求出系数，确定函数
的解析式，再求出 时 的值．
【解答】解：根据题意，设一次函数解析式为 ，
把 时 ； 时 代入上式得
，
解得， ，
，
时，
，
．故答案为：16．
【考点6 解析法表示函数关系】
【方法点拨】关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量
的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值
24. （2022春•罗湖区校级期末）油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升 分钟，则油箱中剩余
油量 （升 与流出时间 （分钟）的函数关系是
A． B． C． D．
【分析】利用油箱中存油量20升 流出油量 剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由题意得：流出油量是 ，
则剩余油量： ，
故选： ．
25. （2022春•神木市期末）有一个长为10，宽为6的长方形，若将长方形的宽增加 ，长不变，所
得新长方形的面积 与 之间的关系式为
A． B． C． D．
【分析】利用长方形的面积公式解答即可．
【解答】解：由题意得： ，
故选： ．
26. 长方形的周长为10，长为 ，宽为 ，则 与 的关系式为 ．
【分析】本题根据长方形的周长 （长 宽），代入对应数据，对式子进行变形，即可解答．
【解答】解：由题意可得， ，
整理可得， ．
故答案为： ．
27. 我国是一个严重缺水的国家，大家应该加倍珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴约0.05毫升，丽丽同学在洗手时没有把水龙头拧紧，当丽丽离开 小时后水龙头滴了 毫
升水，试用含 的式子表示 ，并指出其中的变量与常量．
【分析】根据 毫升 时间 每秒钟的滴水量进行解答．
【解答】解： 水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升，
离开 小时滴的水为 ，
． ．
变量为时间 和滴水量 ，常量为360．
28. 有一个容积为 的水池，现用10台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时可抽水
．
（1）抽水1小时后，池中还有水 ；
（2）在这一变化过程中哪些是变量，哪些是常量？
（3）几小时后才能把满池水抽干？
【分析】（1）用容积总量减去10台抽水机1小时抽水的量即可；
（2）根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量；
（3）用水池总量除以10小时10台抽水机抽水的总量，即可得出答案．
【解答】解：（1）抽水1小时后，池中还有水： ；
故答案为： ；
（2）在这一变化过程中，水池的容积，抽水机的台数，每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间，
水池中的水的体积是变量；
（3）根据题意得：
（小时），
答：3.5小时后才能把满池水抽干．
