文档内容
第四章 因式分解
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法
与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式
分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出
分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以
及利用分解因式进行计算及讨论.
学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对
比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利
用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习
中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
二、教学任务分析
在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时
安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一
条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤
立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，
同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．
2．过程与方法：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解
决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．
3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培
养学生运用数学知识解决实际问题的意识．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总
结归纳
——能力提升――活学活用——永攀高峰．
第一环节 知识回顾
活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？
3、分解因式常用的方法有哪些？
4、试着画出本章的知识结构图。
活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．
注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的
互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．
第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。
A.
y2 −3y−4=y(y−3)−4
B. 1−4x+4x2 =(1−2x) 2
C. x2 −y2 =(x+y)(x−y)
1
D. x−1=x(1− )
x
活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．
注意事项：引导学生说出相应的理由．
活动内容：
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴ −27m2n+9mn2 −18mn
⑵
4b(1−b) 3 +2(b−1) 2
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴ (m+n) 2 −(m−n) 2
9
⑵ x2 +3x+
4
⑶ (x+y) 2 −10(x+y)+25
⑷
(2a−b) 2 +8ab
活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基
本技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．
注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫
然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因
式分解。
第三环节 小试牛刀
活动内容：练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2–16a2
（2）2x2y2 −x4 −y4
活动目的： 连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。
注意事项：区分两个公式法分解因式。
第四环节 总结归纳
活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴ x3 −4x
⑵ (a+b) 2 −4(a+b−1)
⑶ x2 (y2 −1)+2x(y2 −1)+(y2 −1)
⑷ x2 −9 y2 +4z2 +4xz
活动目的： 考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因
式的一般步骤和方法。
注意事项：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完
全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理
或分组后进行分解因式。
活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
1002
⑴
(992 +198+1) 2
⑵
19992 −1998×2002
⑶（–2）101+（–2）100
例6．已知 ，求 的值。
x2 +3x−2=0 2x3 +6x2 −4x
1 1
x2 +xy+ y2
例7.已知x+y=1，求2 2 的值．
例8.计算下列各式：
1
(1)1− =________;
22
1 1
(2)(1− )(1− )=_________;
22 32
1 1 1
(3)(1− )(1− )(1− )=__________.
22 32 42
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方
法计算下式：1 1 1 1 1 1
(1− )(1− )(1− )...(1− )(1− )...(1− ).
22 32 42 92 102 n2活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，例5考察分别考察运用公式
法和提公因式法的应用，例6、例7考察分解因式后的整体代入求值，例8由特
殊到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式
分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．
注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老
师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．
第五环节 能力提升
活动内容：知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解
的应用能力，提高解决问题的能力．
注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生
是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；
再将数据代入．
第六环节 活学活用
活动内容：练一练
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长 96cm，它们的面积相差 960cm2.求这两
个正方形的边长。
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？
3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和
不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实
际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第 2、3题主要考察学生
对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情
况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案。注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全
平方式的意义。
第七环节： 永攀高峰
活动内容：例10.利用分解因式说明： 2 5 7 − 5 1 2 能被120整除。
练一练： 2 4 8 − 1 可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。
活动目的： 利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲
解，学生效仿学习。
注意事项： 练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、\
课后练习：完成课后习题。
四、教学设计反思
在因式分解的几种方法中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容
易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，
而直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解
不完全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。
学生比较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征
区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差
则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进
行因式分解。
培养学生的整体观念，灵活运用公式的能力。注重总结做题步骤。这章节
知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式子比较熟悉而需要转
化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的
教，因此，应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项
有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；④分解因式，
必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外，解题步骤教师应在黑
板上示范，多做题、多小考，反复强调，在复习时还要加以巩固。
