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模型五、斜面模型
【模型解题】
1、自由释放的滑块能在斜面上(如图1甲所示)匀速下滑时，m.与M之间的动摩擦因数
2.自由释放的滑块在斜面上(如图1甲所示):
(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零;
(2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右;
(3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左。
3.自由释放的滑块在斜面上(如图1乙所示)匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m
上加上任何方向的作用力，(在m停止前）M对水平地面的静摩擦力依然为零.
4.悬挂有物体的小车在斜面上滑行(如图2所示):
(1)向下的加速度 时，悬绳稳定时将垂直于斜面:(2)向下的加速度 时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上;
(3)向下的加速度 时，悬绳将偏离垂直方向向下.
5.在倾角为θ的斜面上以速度 平抛一小球(如图3所示):
(1)落到斜面上的时间
(2)落到斜面上时，速度的方向与水平方向的夹角 恒定，且 ,与初速度无
关。
(3)经过 ，小球距斜面最远，最大距离
6.如图4所示，当整体有向右的加速度 时，m能在斜面上保持相对静止.
7.在如图 5 所示的物理模型中，当回路的总电阻恒定、导轨光滑时，ab 棒所能达到的稳定速度8.如图6所示，当各接触面均光滑时，在小球从斜面顶端滑下的过程中，斜面后退的位移
9、动力学中的典型临界条件
(1)接触与脱离的临界条件:两物体相接触或脱离，临界条件是:弹力 =0.
(2)相对滑动的临界条件:两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件
是:静摩擦力达到最大值.
(3)绳子断裂与松驰的临界条件:绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等
于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是:
(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件:当加速度变为零时.
【模型训练】
【例1】质量为m的滑块放置于倾角为 的光滑斜面上，如图所示。滑块与斜面相对静止并一起向右运
动，则滑块（ ）
A．受到斜面的支持力大小为 B．受到斜面的支持力大小为C．加速度大小为 D．加速度大小为
【答案】B
【详解】AB．滑块与斜面相对静止并一起向右运动，则滑块竖直方向处于平衡状态，有
解得
故A错误，B正确；
CD．对物块，水平方向，根据牛顿第二定律
解得
故CD错误。
故选B。
变式1.1如图所示，质量为 的滑块从长为 、倾角为 的斜面顶端以 的初速度沿斜面下
滑，与固定在斜面底端、且与斜面垂直的挡板碰撞后反弹。已知滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，碰撞
过程无能量损失，重力加速度取 ，斜面始终静止在水平地面上，则在滑块反弹后，下列说法正确的
是（ ）
A．地面对斜面的静摩擦力的方向水平向右 B．滑块在斜面上运动的加速度大小为
C．滑块落地前瞬间动能为 D．滑块离开斜面后做平抛运动
【答案】C
【详解】A．滑块反弹后，斜面始终静止不动，故斜面受到的合外力为零，对斜面受力分析，由于可知地面对斜面的摩擦力的方向向左，故A错误；
B．滑块反弹后沿斜面上滑过程中，由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
D．假设滑块能回到斜面顶端，则有
解得
假设成立，则滑块到达斜面顶端后沿斜上抛运动，故D错误；
C．滑块落地瞬间有
故C正确。
故选C。
变式1.2如图所示，质量为M的斜面体静止在水平地面上，质量为m的滑块沿着斜面向下做加速运动，斜
面体始终处于静止状态。已知重力加速度为g，在滑块下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ大于tanθ
B．斜面体对滑块的支持力大小为
C．地面对斜面体的支持力大于（M＋m）g
D．地面对斜面体的摩擦力方向水平向左
【答案】B
【详解】A．滑块加速下滑说明 ，滑块与斜面体之间的动摩擦因数μ小于tanθ，选项A
错误；
B．斜面体对滑块的支持力大小为 ，选项B正确；
C．对整体进行受力分析可知，竖直方向有向下的加速度，因此地面对斜面体的支持力小于（M＋m）g，选项C错误；
D．对整体受力分析可知，地面对斜面的摩擦力水平向右，选项D错误。
故选B。
【例2】如图所示，三角形斜面A放置水平地面上，将光滑滑块B放置于斜面A上，在滑块B上施加水平
向右的恒力F，斜面A和滑块B一起向右匀速运动，已知滑块B的质量为m、斜面A的质量为2m，斜面
倾角为 ，已知 ， ，则斜面与地面之间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对滑块B受力分析且由平衡可得
对A、B整体由平衡可得
联立以上两式得
则
故选A。
变式2.1如图所示，倾角为20°的足够长的质量为M的斜面体B静止在水平地面上，质量为m的滑块A以
一定的初速度沿斜面向下滑动，t=0时刻对A施加一沿斜面向下的作用力F，使A沿斜面向下做匀速直线
运动。t=2s时改变F的大小及方向，使滑块依然匀速下滑，t=4s时撤去F，t=6s时，A恰好静止在B上。
已知滑块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.75，B始终处于静止状态，重力加速度为g，tan37°=0.75。下列说
法正确的是（ ）A．0~1s时间内，B对地面的压力小于(M+m)g
B．0~1s时间内，B对地面的摩擦力方向水平向左
C．2~4s时间内，当F与水平方向夹角为33°且指向左上方时，F有最小值
D．t=3s与t=5s时，地面对B的摩擦力大小相等
【答案】B
【详解】AB．对A施加平行于斜面的力F前、后，A所受的摩擦力及支持力均未发生变化，施加F之
前，A沿斜面匀减速下滑，A所受摩擦力大于A沿斜面向下的分力，由牛顿第三定律可得，A给B的摩擦
力大于A沿斜面向下的分力，若A静止，则A对B的摩擦力等于A沿斜面向下的分力，A对B的作用力
等于A的重力且竖直向下，由此可得此时A对B的压力不变，摩擦力增大，方向斜向左下方，则可得此时
A对B竖直向下的作用力大于A的重力，则有B对地面压力大于(M+m)g，牛顿第三定律可得，地面对B
的支持力大于(M+m)g，地面对B的摩擦力方向水平向右，B对地面的摩擦力方向水平向左，故A错误，B
正确；
C．由题可知，A所受摩擦力与支持力的合力方向恒定且与水平方向的夹角
斜向右上方，当力F与该力垂直时，F有最小值，此时F与水平方向夹角为17°，指向左上方，故C错
误；
D． 和 时，A对B的作用力大小不相等，故地面对B的摩擦力大小不相等，故D错误。
故选B。
变式2.2如图甲所示，倾角 的斜面体固定在水平面上，一质量为 的滑块放在斜面上，滑块
与斜面体之间的动摩擦因数为 ， 时刻在滑块上施加一平行斜面体的外力使其由静止开始运动，
滑块的加速度随时间的变化规律如图乙所示，取沿斜面体向上的方向为正则下列说法正确的是（ ）A． 内外力与 内外力大小之比为
B． 末滑块速度的大小为
C． 末与 末滑块的速度等大反向
D．滑块 末运动到最高点
【答案】D
【详解】A．由图乙知，在 时间内，滑块加速度恒定为 ，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律
得
解得
在 时间内，滑块的加速度沿斜面体向下，大小恒为 ，做匀减速直线运动，由牛顿第二定律定
律得
解得
则 内外力与 内外力大小之比为 ，故A错误；
B． 图像中图线与t轴围成的面积表示速度的变化量，因此由图像可得，在 时滑块的速度最大，
其大小为
故B错误；
C．在 到 时间内，滑块先加速后减速，由图中面积关系可知， 和 时刻，滑块的速度大
小均为 ，方向均沿正方向，故C错误；
D．在 时间内，由面积关系可知，滑块运动的方向不变，先沿正方向加速运动，后沿正方向减速运
动，在 时，滑块的速度为零，此时运动到斜面体的最高点，故D正确。
故选D。
【例3】将倾角为θ的足够长的斜面体放在粗糙的水平地面上，现有一带固定支架的滑块正沿斜面加速下
滑。支架上用细线悬挂质量为m的小球达到稳定（与滑块相对静止）后，悬线的方向与竖直方向的夹角为
α，如图所示，已知斜面体始终保持静止，重力加速度为g，若α=θ，则下列说法正确的是（ ）A．小球、滑块的加速度为 ，斜面体的上表面粗糙
B．小球、滑块的加速度为 ，斜面体的上表面光滑
C．地面对斜面体的摩擦力水平向右
D．地面对斜面体的摩擦力水平向左
【答案】D
【详解】AB．小球受到沿绳的拉力和竖直向下的重力，合力平行斜面向下，满足
可得加速度
故斜面一定是光滑的，故AB错误；
CD．对整个系统，水平方向有向左的加速度，水平方向有向左的合外力，则地面对斜面体的摩擦力水平向
左，故C错误，D正确。
故选D。
变式3.1如图所示，倾角为 的斜面上有一无动力小车，小车里用细绳悬挂一个小球。当小车沿斜面向下
加速滑动时，悬线与垂直斜面Ob方向的夹角始终为 （ < ），则可求小车的底面与斜面间的动摩擦
因数 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对小球受力分析如下则有
对整体受力分析，根据牛顿第二定律有
联立解得
ABC错误，D正确。
故选D。
变式3.2如图所示，一个小球用不可伸长的轻绳悬挂在小车上，随小车沿着倾角为 的斜面一起下滑，图
中的虚线①与斜面垂直，②沿斜面水平方向，③沿竖直方向，则可判断出（ ）
A．如果斜面光滑，则摆线与②重合
B．如果斜面光滑，则摆线与③重合
C．如果斜面光滑，则摆线与①重合
D．如果斜面不光滑，则摆线与②重合
【答案】C
【详解】如果斜面光滑，根据牛顿第二定律得：对整体：加速度
方向沿斜面向下，对小球合力
则摆线必定与斜面垂直，即摆线与①重合；如果斜面粗糙能下滑则μ＜tanθ，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得，加速度
由于μ＜tanθ，则
μcosθ＜sinθ
a＞0
说明加速度方向沿斜面向下，而且
a＜gsinθ
因当a=0时摆线位于位置③，斜面光滑时摆线位移位置①，可知斜面粗糙时摆线位于①与③之间．故ABD
错误，C正确；
故选C。
【例4】如图所示，在斜面顶端的A点以速度v 平抛一小球，经t 时间落到斜面上B点处，若在A点将此
0 1
小球以速度0.5v 水平抛出，经t 时间落到斜面上的C点处，以下判断正确的是（ ）
0 2
A．AB∶AC=2∶1 B．AB∶AC=4∶1
C．t∶t=4∶1 D．t∶t= ∶1
1 2 1 2
【答案】B
【详解】由平抛运动的特点可知
即
可得
平抛运动的位移为联立
可得
故ACD错误，B正确。
故选B。
变式4.1水平面上固定一个倾角为α的斜面，将一个小球从斜面顶端以v 平抛，经过时间t 小球距离斜面
0 1
最远，再经t 小球落在斜面上，则可知
2
A．
B．t 和t 内小球沿斜面位移相同
1 2
C．t 和t 内速度变化量相同
1 2
D．小球距斜面的最远距离
【答案】C
【详解】A.小球平抛运动过程中，当速度与斜面平行时离斜面最远，则有：
解得： 故选项A不符合题意；
B.将速度和加速度分解为沿斜面和垂直斜面，垂直斜面方向物体先匀减速远离斜面后匀加速落回斜面，加
速度不变，所以 ，物体沿斜面方向做匀加速运动，沿斜面在相等时间内位移不同，故选项B不符合
题意；
C.根据公式：可知 、 内的 相同，故选项C符合题意；
D.在垂直斜面方向远离斜面过程中，则有：
解得小球距斜面的最远距离： ，故选项D不符合题意．
变式4.2如图所示，在斜面的顶端A点平抛一个小球，第一次以 平抛小球落在斜面B点，第二次以 平
抛小球落在斜面上C点，则以下说法正确的是（ ）
A．小球落在B点和小球落在C点瞬时速度的方向不相同
B．小球从A到B的水平位移与小球从A到C的水平位移之比为1:2
C．小球从A到B的竖直位移与小球从A到C的竖直位移之比为1:2
D．小球从A到B所用时间与小球从A到C所用时间之比为1:2
【答案】D
【详解】设斜面的倾角为θ．小球落到斜面上时的速度方向与水平方向夹角为α，则根据平抛运动的推论可
知：tanα=2tanθ，所以小球以不同的初速度抛出来，最后落在斜面上的速度方向均相同，故A错误；小球
落在斜面上，则有 ，解得： ，小球从A到B所用时间与小球从A到
C所用时间之比为1:2，选项D正确；水平位移： ，可知小球从A到B的水平位移与
小球从A到C的水平位移之比为1:4，选项B错误；竖直位移y=xtanθ∝v 2，则小球从A到B的竖直位移与
0
小球从A到C的竖直位移之比为1:4，选项C错误；故选D．
【例5】如图所示，一根竖直的弹簧悬下端链接一个质量为m的光滑小球处于斜面和挡板之间，小球和斜
面挡板均接触，下列说法正确的是（ ）A．若小球和斜面之间有弹力，则小球和挡板之间一定没有弹力
B．若小球与斜面之间有弹力，则小球和挡板之间不一定有弹力
C．若小球与挡板之间有弹力，则小球与弹簧之间一定有弹力
D．若小球与挡板之间有弹力，则小球与弹簧之间不一定有弹力
【答案】D
【详解】AB．若小球和斜面之间有弹力，因斜面对小球的弹力垂直斜面向上，有水平分量，则小球和挡板
之间一定有弹力，选项AB错误；
CD．若小球与挡板之间有弹力，因斜面对小球的弹力垂直斜面向上，挡板对小球的弹力水平向右，与向下
的重力这三个力可以平衡，则小球与弹簧之间不一定有弹力，选项C错误，D正确。
故选D。
变式5.1如图所示，倾角为 且上表面光滑的斜面静止于水平地面上，斜面与地面接触处粗糙，平行于斜
面的细线一端系着小球，另一端固定在斜面的挡板上。现用水平恒力向左拉动斜面，斜面和小球相对静止
一起向左加速运动，则（ ）
A．与静止时相比，斜面对小球的弹力可能不变
B．水平恒力越大，细线对小球的拉力一定越大
C．若斜面的加速度为 ，斜面对小球的弹力刚好为0
D．若水平恒力增大到一定程度后，地面对斜面的摩擦力将增大
【答案】B
【详解】A．斜面静止时对小球受力分析，如图所示，由平衡条件可得设小球的质量为m，斜面体的质量为M，当斜面和小球相对静止一起向左加速运动，设加速度为a，对小
球受力分析如图所示，可得
因
则有
可知与静止时相比，斜面对小球的弹力可能一定变化，A错误；
B．当斜面和小球相对静止一起向左加速运动时，把小球和斜面看成整体受力分析，由牛顿第二定律可得
设斜面体与水平面间的滑动摩擦因数为μ，则有
可知水平恒力越大，细线对小球的拉力一定越大，B正确；
C．当斜面对小球的弹力恰好减到零时，对小球受力分析，由牛顿第二定律可得解得
C错误；
D．若水平恒力增大到一定程度后，地面对斜面体的摩擦力是滑动摩擦力，则有
可知摩擦力不变，D错误。
故选B。
变式5.2如图所示，倾角为θ的光滑斜面体在水平面上运动，在竖直挡板和斜面之间有质量为m的光滑小
球，运动过程中小球与斜面体始终保持相对静止，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．若斜面体匀速运动，则挡板对小球的弹力为mgcosθ
B．若斜面体向右运动，则挡板对小球一定有弹力
C．若斜面体向左运动，则挡板对小球一定有弹力，且弹力做负功
D．无论斜面体向哪边运动，斜面对小球总有支持力
【答案】D
【详解】A．若斜面体匀速运动，即匀速直线运动，小球处于平衡状态，根据平衡条件
A错误；
BC．若斜面体运动的加速度水平向左，且小球受到的重力和支持力的合力提供加速度，即
斜面体向左匀加速运动或向右匀减速运动，且加速度大小为 时，挡板对小球无弹力，B、C错误；
D．无论斜面体向哪边运动，都是水平方向上运动，竖直方向上小球受力平衡，小球受到的重力作用都会挤压斜面，斜面对小球总有支持力，D正确。
故选D。
【例6】两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可
忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。质量为m、电阻可不计的金属棒ab，在沿
着斜面与棒垂直的恒力作用下沿导轨匀速上滑，并上升h高度，如图所示，在这过程中，下列说法中不正
确的是（ ）
A．恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒机械能的增加量
D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热
【答案】C
【详解】A．金属棒上滑过程中，根据动能定理可得
所以
恒力F与安培力的合力所做的功等于金属棒重力势能的增加量，故A正确，不符合题意；
B．金属棒克服安培力做的功等于电阻R上产生的焦耳热，故B正确，不符合题意；
C．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于金属棒动能的变化量，故C错误，符合题意；
D．恒力F与重力的合力所做的功等于金属棒克服安培力所做的功，所以也等于电阻R上产生的焦耳热，
故D正确，不符合题意。
故选C。
变式6.1如图所示，两倾角为 的光滑平行导轨间距可调，质量为m的导体棒垂直放在导轨上，整个空间
存在垂直导体棒的匀强磁场，现在导体棒中通由a到b的恒定电流，使导体棒始终保持静止，已知磁感应
强度大小为B，电流为I，重力加速度为g，忽略一切摩擦。则下列说法正确的是（ ）A．若磁场方向竖直向上，则两导轨间距为
B．若磁场方向垂直斜面向上，则两导轨间距为
C．若磁场方向水平向左，则两导轨间距为
D．若磁场方向水平向右，则两导轨间距为
【答案】B
【详解】A．若磁场方向竖直向上，对导体棒受力分析如图所示
由力的平衡条件得
解得
A错误；
B．若磁场方向垂直斜面向上，安培力沿导轨向上，则由力的平衡条件得
解得
B正确；
C．若磁场方向水平向左，安培力竖直向上，则由力的平衡条件得
解得C错误；
D．若场方向水平向右，安培力竖直向下，不可能平衡，D错误。
故选B。
变式6.2如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨与水平面成 角，导轨上、下端与固定电阻 和
相连，且 ，导轨自身电阻忽略不计，导轨宽度 。质量为 ，电阻 的导
体棒ab与导轨垂直且与导轨接触良好，导轨与导体棒ab之间的动摩擦因数为 。整套装置处于磁感
应强度为 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。将导体棒ab在较高处由静止释放，当导体棒
ab沿轨道下滑3s时，速度达到最大。（g取 ）求：
（1）ab棒下滑的最大速度 ；
（2）ab棒从静止开始沿轨道下滑3s的过程中，电阻 产生的热量是多少？
【答案】（1） ；（2）0.075J
【详解】（1）速度最大时导体棒切割磁感线产生感应电动势
感应电流
ab棒受到安培力ab棒达到速度最大时，由平衡条件得
回路的总电阻
联立解得
（2）对ab棒根据牛顿第二定律，有
所以
解得3s内流过导体棒的电荷量
电荷量
解得3s内导体棒下滑的位移为
由能量守恒定律得
代入数据解得
电阻 产生的热量【例7】如图所示，足够长、上表面光滑的斜面体静止在水平面上，一薄木板 和物块 沿着斜面相对静
止一起上滑，滑到最高点后一起沿着斜面下滑，薄木板和物块始终相对静止，斜面体始终静止在水平面
上，在薄木板和物块向上滑动和向下滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．向上滑动过程中，薄木板对物块的摩擦力沿斜面向上
B．向下滑动过程中，薄木板对物块的摩擦力沿斜面向上
C．薄木板与物块之间始终没有摩擦力
D．斜面体与水平面之间没有摩擦力
【答案】C
【详解】ABC．在向上滑动过程中,整体根据牛顿第二定律可得 ，对物块受力分
析可得 可得 ,所以向上滑动过程中薄木板和物块之间没有摩擦力,同理下滑过程中也没
有摩擦力，AB错误，C正确；
D．斜面体与A的作用力只有弹力，方向垂直于接触面，具有水平分量，由平衡条件可知斜面体与水平面
之间有摩擦力，D错误；
故选C。
变式7.1光滑水平面上放有一上表面光滑、倾角为 的斜面A，斜面质量为 ，如图所示。将一质量为
的可视为质点的滑块B从斜面的顶端由静止释放，滑块B经过时间 刚好滑到斜面底端，此时滑块 对地
位移大小为 。此过程中斜面对滑块B的弹力大小为 ，重力加速度为 ，则下列选项中正确的是
（ ）
A．滑块B下滑过程中 对B的冲量大小为B．滑块B下滑过程中地面对斜面A弹力的冲量大小为
C．滑块B下滑过程中A、B组成的系统动量守恒
D．此过程中斜面A向左滑动的距离为
【答案】D
【详解】A．滑块B下滑过程中，斜面会向左运动，滑块B的加速度并不沿着斜面向下，滑块B在垂直于
斜面的方向上加速度有分量，因此， 不再等于 ，则滑块B下滑过程中 对B的冲量大小不等于
，故A错误；
B．若整个系统处于平衡状态，则地面对斜面A弹力的冲量大小为 ，但滑块B在竖直方向上所
受合外力不为零，其有竖直向下的加速度的分量，因此地面对斜面A弹力的冲量小于 ，故B错
误；
C．由于该系统竖直方向合外力不为零，因此该系统动量不守恒，但该系统水平方向合外力为零，因此该
系统只在水平方向动量守恒，故C错误；
D．取向右为正方向，根据该系统水平方向动量守恒，则在任意时刻，水平方向总有
取极短时间 ，则有
根据时间上的等时性，在时间 内位移进行累积可得
即
解得
故D正确。
故选D。
变式7.2如图所示，三个质量均为m的物体A、B、C叠置在光滑的水平面上，斜面体A的倾角为θ，B的
上表面水平，现对A施加水平向左的力F，三个物体一起向左匀加速运动且保持相对静止，重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）A．A、B间的摩擦力大小为
B．B、C间的摩擦力大小为
C．若水平力F方向改为向右，则A、B间摩擦力方向一定改变
D．若水平力F方向改为向右，则B、C间摩擦力方向一定不变
【答案】B
【详解】AC．对整体受力分析，有
可得
对AB整体受力分析，设A对B的摩擦力大小为 ，受力分析图如图所示
沿水平方向和竖直方向进行分解，可得
可得
可知摩擦力大小与加速度大小有关，也即与力F大小有关；且当 时，摩擦力不为零，方向仍然向上，
故当F向右，即加速度向右的时候，摩擦力方向仍然有可能向左，故AC错误；BD．对物体C受力分析，设B对C的摩擦力大小为 ，可得
将加速度代入可得
根据以上分析可知 与力F的方向相同，即如果力F的方向发生变化， 的方向也随之发生变化，故B
正确，D错误。
故选B。
