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!
善
学
第二十讲 不定方程
者
氋
暋 假
人
之
长
不定方程是数论中一个古老的分支 我国对不定方程的研究已有数千年的历
, 以
史 百鸡问题 中国剩余定理 等一直流传至今 补
,“ 暠、“ 暠 。 其
当方程的个数比方程中未知数的个数少时 我们就称这样的方程 或方程组 短
, ( ) 氌
{a b 氭 吕
为不定方程 或不定方程组 比如 x y 是不定方程 2 + =30是不定方 氏
( )。 :4 -3 =8 , b c 春
- =4
秋
程组
。 氱
为纪念古希腊数学家丢番图 不定方程也称为丢番图方程 之所以把它们叫
, 。
不定方程 是因为它们的解不确定 不唯一 一般情况下 如果不加以限制 不定
, ( )。 , ,
方程的解有无数个 如果考虑到题中一些条件所限制的范围后 它只能有几个解
, , ,
甚至无解 解答这类方程 必须对题中明显的或隐蔽的条件加以推理 才能正确
。 , ,
求解
。
经 典 范 例
例1 求不定方程 x y 的正整数解
暋 5 +9 =104 。
点 拨 为了能够清晰地分析求解 可先将方程变形 以便于我们筛选出正确
暋 , ,
的结果
。
详 解 解方程关于x的方程 x y 得
暋 5 +9 =104
y
x 104-9
= ,
5
因为xy是正整数 所以 y是 的倍数
、 , 104-9 5 。
当y取 时 相应地x可分别取值
1、6、11 , 19、10、1。
{x {x {x
所以方程组的解有 =19或 =10或 =1 三组
。
y y y
=1 =6 =11
小 结 对于二元一次不定方程,我们要注意观察未知数前面系数的特点,尽
暋
量缩小未知数的取值范围,再求解。
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{x y z
例2 求三元一次不定方程组 5 +6 - =20的正整数解
暋 x y z 。
3 - +4 =12
点 拨 可用消去法消去一个未知数 将方程组转化为一个含有两个未知数
暋 ,
的不定方程
。
详 解 消去y得 x z
暋 23 +23 =92,
即x z 所以x可取 相应地z可取
+ =4, 1、2、3, 3、2、1。
把x z 代入原方程组 得y
=1、=3 , =3;
把x z 代入原方程组 得y
=2、=2 , =2;
把x z 代入原方程组 得y
=3、=1 , =1。
ì ïx ì ïx ì ïx
ï =1 ï =2 ï =3
所以不定方程组的正整数解是íy 或íy 或íy
ï =3 ï =2 ï =1。
ï ï ï
îz îz îz
=3 =2 =1
小 结 求解三元一次不定方程组的一般方法是:先设法消去一个未知数,得
暋
出一个二元一次不定方程,再进一步讨论这个二元一次不定方程,求出它的解,再
把解代回原方程组求出第三个未知数。
例3 某国硬币有 分和 分两种 用这两种硬币支付 分的货款 不
暋 5 7 , 142 (
找零 有多少种不同的方法
), ?
点 拨 应特别注意隐蔽条件 硬币的枚数为整数
暋 : 。
详 解 设需x枚 分y枚 分恰好支付 分 依题意有
暋 7 , 5 142 , :
x
x y y 142-7
7 +5 =142,= ,
5
x x
曔7 曑142,曕 曑20,
且 x是 的倍数
142-7 5 ,
{x {x {x {x
经试算得 =1 或 =6 或 =11或 =16
: 。
y y y y
=27 =20 =13 =6
故共有 种不同的付款方式
4 。
小 结 在解不定方程时,应注意其他一些限制条件,这些条件有明显的,也
暋
有隐蔽的,它们对问题的解决至关重要。
例4 某地按下列规定收取电费 每月用电不超过 度 每度收 角
暋 : 50 , 4 5
分 如果超过 度 超过部分每度收 角 今年七月 甲用户比乙用户多交 元
; 50 , 8 。 , 3 3
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!
角电费 这个月甲 乙各用了多少度电 电的度数取整数
。 、 ? ( )
点 拨 . 元不能被 . 元和 . 元除尽 所以甲用户用电量超过 度
暋33 045 08 , 50 , 虚
心
乙用户用电量少于 度
50 。 万
事
详 解 设甲用户用电x度 乙用户用电y度 依题意列方程得 能
暋 , , : 成
. x . . y . 氋
08暳(-50)+045暳50-045暳 =33, 自
整理得 x y 满
16 -9 =416, 十
事
y
则x 9 九
=26+ , 空
16
氌
因为xy均为整数 所以y为 的倍数且小于
氞
、 , 16 50, 陈
又因x大于 故y只能为 x为 寿
50, 48, 53。 氠
答 这个月甲用电 度 乙用电 度
: 53 , 48 。
小 结 正确分析“甲用户比乙用户多交 元 角电费暠这句话的意思是解答
暋 3 3
此题的关键。它能帮助我们正确地列出不定方程。
例5 把 拆分成两个自然数的和 一个是 的倍数 并且要使这个
暋 1000 , 7 ,
数尽可能大 一个是 的倍数 并且使这个数尽可能小 这两个数分别是多少
; 11 , 。 ?
点 拨 可将原题转化为一个数乘以 加上另一个数乘以 和为 要求
暋 7 11 1000,
其中一个数的最大整数解
。
详 解 一个自然数是 x 另一个自然数是 y
暋 7 , 11 。
y
则 x y x 1000-11
7 +11 =1000,= ,
7
要使 x这个自然数尽可能大x必须大 则y必须尽量小
7 , , ,
且 y是 的倍数
1000-11 7 ,
所以y最小是 此时x
5, =135。
x
7 =7暳135=945,
y
11 =11暳5=55,
答 这两个数分别为
: 945,55。
小 结 在应用不定方程解决问题时,依题意正确列出不定方程是关键,本题
暋
中将原题转化为一个数乘以 加上另一个数乘以 和为 ,能帮助我们列出
7 11 1000
不定方程。
例6 公鸡 只 元 母鸡 只 元 小鸡 只 元 今有钱 元 买鸡
暋 1 5 , 1 3 , 3 1 , 100 ,
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只 公鸡 母鸡 小鸡各买几只
100 , 、 、 ?
点 拨 这道题数量之间的关系比较明确 我们可以根据每种鸡的数量的总
暋 ,
和与每种鸡的价格的总和这两种等量关系来列方程求解
。
详 解 设公鸡买x只 母鸡买y只 小鸡买z只 则
暋 , , ,
ì
ï
ïx y 1z
í5 +3 + =100暋暋栙
ïï 3 ,
îx y z
+ + =100暋暋栚
得 x y z
栙暳3 15 +9 + =300暋暋栛
得 x y
栛-栚 14 +8 =200,
x y
7 +4 =100,
y
x 100-4
= ,
7
由于公鸡 母鸡 小鸡只能为整数只
、 、 ,
所以y可取 则x为
4、11、18、25, 12、8、4、0,
将xy的值分别代入 式 得z的值为
、 栚 , 84、81、78、75,
ì ïx ì ïx ì ïx ì ïx
ï =0 ï =4 ï =8 ï =12
经检验 íy 或íy 或íy 或íy
:ï =25 ï =18 ï =11 ï =4 。
ï ï ï ï
îz îz îz îz
=75 =78 =81 =84
答 公鸡 母鸡 小鸡分别买 只 只 只 或分别买 只 只 只 或
: 、 、 0 、25 、75 ; 4 、18 、78 ;
分别买 只 只 只 或分别买 只 只 只
8 、11 、81 ; 12 、4 、84 。
小 结 当方程的系数较小时,而且是求非负整数解或者实际问题时,可以用
暋
整除性质结合枚举求方程的解。
例7 每只羊价值 元 每头牛价值 元 每只鸡价值 元 如果一
暋 400 , 650 , 20 ,
农民购买这些动物 只 总共花费 元 他购买羊 牛 鸡各多少只
100 , 32790 。 、 、 ?
点 拨 根据题意列出方程组 再消去一个未知数将方程组转化成二元一次
暋 ,
不定方程
。
详 解 设羊有x头 牛有y只 鸡有z只 依题意有
暋 , , , :
{ x y z
400 +650 +20 =32790
,
x y z
+ + =100
消去z得 x y
38 +63 =3079,栙
( ) ( ) ( )
38曉2mod9 ,63曉0mod9 ,3079曉1mod9 ,
所以x ( ) 设x m 代入 化简得
曉5mod9 , =9 +5, 栙
m y
38 +7 =321,栚
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!
( ) ( )
38曉3mod7 ,321曉6mod7 ,
所以m ( ) m
曉2mod7 ,38 <321, 君
所以m 即x y z 子
=2, =23,=35,=100-23-35=42。 之
因此 该农民买了 只羊 头牛 只鸡 交
, 23 ,35 ,42 。 淡
小 结 本解法利用同余的思想,将未知数的范围逐渐缩小,最后求得不定方 若
暋 水
程的解。尤其在未知数的系数很大时,同余的思想显得尤为重要。 氋 小
人
之
交
甘
若
挑 战 自 我 醴
氌
氞
氭
庄
.求下列不定方程的自然数解 子
1 。
氱
氠
a b x y
(1)16-5 =3暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋(2)3 +4 =23
.求下列不定方程组的自然数解
2 。
{x y z
+ + =100
x y z
21 +8 +3 =600
.参加围棋比赛的八 九段选手有若干人 他们的段位数字加在一起正好是
3 、 ,
八段 九段选手各有多少人
100。 、 ?
.若干学生搬一堆砖 若每人搬a块 则剩下 块未搬走 若每人搬 块 则
4 , , 20 , 9 ,
最后一名学生只搬 块 那么学生共有多少人
6 , ?
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.夏精明在甲公司打工 几个月后又在乙公司兼职 甲公司每月付给他薪金
5 , ,
元 乙公司每月付给他薪金 元 年终 夏精明从两家公司共获薪金
470 , 350 。 , 7620
元 他在甲公司打工几个月 在乙公司兼职几个月
。 ? ?
.在新年联欢会上 某班组织了一场飞镖比赛 如下图 飞镖的靶子分为三块
6 , , ,
区域 分别对应 分 分和 分 每人可以扔若干次飞镖 脱靶不得分 中靶就
, 17 、11 4 。 , ,
可以得到相应的分数 若恰好投在两块区域的交界上 则得两块区域中分数较高
, ,
区域的分数 如果比赛规定 恰好投中 分才能获奖 要想获奖至少需要投中
。 , 120 ,
多少次飞镖
?
.一天 赵明问李浩的生日 李浩说 将我的生日的月份数乘以 生日的日
7 , , :“ 31,
期数乘以 相加后得 你知道李浩的生日是几月几号吗
12, 347。暠 ?
.某次聚餐 每一位男宾付 元 每一位女宾付 元 每带一个孩子付
8 , 130 , 100 , 60
元 现在1的成人各带一个孩子 总共收了 元 问 这次活动共有多少人参加
, , 2160 。 :
3
包括成人和孩子
( )
.有一块草地 长和宽都是整数米 并且面积数与周长数恰好相等 这块草地
9 , , ,
的长和宽各是多少米
?
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!
.若 只兔可以换 只鸡 只兔可以换 只鸭 只兔可以换 只鹅 猎人
暋暋10 1 2 ,2 3 ,5 7 。
用 只兔换得鸡 鸭 鹅共 只 问其中鸡 鸭 鹅各多少只
20 、 、 30 , 、 、 ? 文
须
字
字
作
氋
亦
要
字
.一个生产大队有猪 牛 羊各若干头 牛的头数的 倍减去羊的头数再减 字
11 、 、 , 10 读
结果再乘上 正好比猪 牛 羊的总数多 如果猪 牛 羊的头数是质数 问 氌
4, 10, 、 、 4。 、 、 , : 氞
元
这个生产队有猪 牛 羊各多少头
好
、 、 ?
问
氠
.张阿姨用 万元支票去购物 购单价 元的空调若干个 单价 元的
12 1 , 590 , 670
液晶显示屏若干个 其中液晶显示屏个数多于空调个数 找回了几张 元和几
, , 100
张 元钞票 元钞票不超过 张 若把空调和液晶显示器的个数互换 找回
10 (10 9 )。 ,
的 元和 元钞票的张数也恰好互换 张阿姨买了多少个空调 多少个液晶显
100 10 。 ,
示器
?
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