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第40讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023届新疆维吾尔自治区高三下学期第二次适应性检测理综物理试题）如图所示，水平向右的匀强
电场中，一根长 的不可伸长的绝缘细线，一端连着一质量 的带电小球，另一端固定于O
点。把小球拉起至A点，此时细线水平，把小球从A点由静止释放，小球经最低点B后到达B的另一侧C
点时速度为零， 与 夹角为 ，g取 。则（ ）
A．小球一定带负电
B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，机械能先增加后减小
C．细线所受的最大拉力为
D．小球到达B点时的动能为
【答案】D
【详解】A．对全过程，重力做正功，可知电场力做负功，可知电场力方向向右，则小球带正电，A 错误；
B．小球从A点经过B点再到C点的过程中，电场力一直做负功，可知小球的机械能一直减小，B错误；
C．对全过程根据动能定理可得 解得 重力和电场力的合力
与水平方向夹角的正切值 可得
如图所示
此时合力方向与圆弧的焦点为等效最低点，此时绳子的拉力最大，根据动能定理
在等效最低点，根据牛顿第二定律 联立解得细线所
受的最大拉力 ，C错误；
学科网（北京）股份有限公司 1D．从A到B根据动能定理可得 ，D正确。故选D。
2．（2023年四川成都市高考联考模拟）在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l，两板
间距离为d，在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m，电荷量为e的电子以速度v（v 接近光速的
0 0
）从两极板左端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间。若电子经过两极板间的时间相比交变电流
的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则在任意0.2s内（ ）
A．当 时，所有电子都能从极板的右端射出
B．当 时，将没有电子能从极板的右端射出
C．当 时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：2
D．当 时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为
【答案】D
【详解】AB．电子进入极板后，水平方向上不受力，做匀速直线运动，竖直方向上受到电场力作用，当电
子恰好飞出极板时有 ； ； 解得 当 时，所有电子都能从极板
的右端射出；当 时，在0.2s时间内，极板间电压 的时间段内，电子能从极板的右端
射出，故AB错误；
C．当 时，分析图乙可知，任意0.2s内，有一半的时间内极板间电压低于临界电压 ，
因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：1，故C错误；
D．当 时，分析图乙可知，任意0.2s内，有 0.2s的时间内极板间电压低于临界电压
，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为 ，故D正确。
故选D。
学科网（北京）股份有限公司 23．（2023年福建厦门高三阶段性模拟预测）如图所示，一绝缘光滑圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，
圆环半径为 ，场强为 ，在与环心等高处放有一带正电的小球，质量为 、电量为 ，由静止开始沿轨
道运动，下述说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球经过环的最低点时速度最大
C．小球经过环的最低点时对轨道压力为
D．要使小球能到达最高点，小球初速度至少应为
【答案】BD
【详解】A．小球运动过程中电场力做功，机械能不守恒，故A错误；
B．小球受到的重力和电场力均竖直向下，小球从最高点到最低点的过程中，合力做正功，小球动能增加；
小球从最低点到最高点的过程中，合力做负功，小球动能减少；，所以小球经过环的最低点时动能最大，
速度最大，故B正确；
C．小球从静止释放到最低点的过程，根据动能定理可得 在最低点，根据牛顿第二定律
得 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球经过环的最低点时对轨道压力
为 ，故C错误；
D．小球恰能经过最高点时，根据牛顿第二定律可知 从起点到最高点，根据动能定理可得
联立解得 故D正确。故选BD。
4．（2023届安徽省江淮十校高三下学期5月联考理综物理试题）如图所示，半径为R的双层光滑管道位
于竖直平面内，质量为m、带电量为＋q的小球位于管道最低点A，B是最高点，空间存在水平向左、场强
大小 的匀强电场，现在A点给小球一水平初速度v，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度
0
为g，下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 3A．v 的大小为
0
B．经过B点时小球受到管道外壁的压力大小为
C．经过A点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B点的速度也增大一倍
【答案】AC
【详解】A．如图所示
小球在等效最低点P静止时，受重力、支持力和电场力三力平衡，根据平衡条件，有mgtanθ = qE
结合 可知θ = 45°且重力和电场力的合力 小球恰好能够做完整的圆周运动，说明小球经
过等效最高点Q时速度刚好为零，由Q到A根据动能定理，有
解得 ，A正确；
C．在A点根据向心力公式有 解得 ，C正确；
BD．由B到A根据动能定理，有 解得 在B点有
解得经过R点时小球受到管道内壁的支持力大小为 ，BD错误。故选AC。
5．（2023年辽宁省名校新高考高三模拟）如图所示，在竖直平面内，AB为水平放置的绝缘粗糙轨道，
CD为竖直放置的足够长绝缘粗糙轨道，AB与CD通过四分之一绝缘光滑圆弧形轨道平滑连接，圆弧BC
的圆心为O，半径R。轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场强度的大小 。现有质量为
m、电荷量为+q的带电体（可视为质点）从A点由静止开始运动。已知AB间距也为R，带电体与轨道AB
间的动摩擦因数为 ，与CD间的动摩擦因数为 。假定带电体与轨道之间的最大静摩擦力和
滑动摩擦力相等。下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
学科网（北京）股份有限公司 4A．带电体第一次运动到圆弧形轨道B点时速度大小为
B．带电体第一次运动到圆弧形轨道BC上的最大速度
C．全过程带电体在粗糙轨道AB与CD上运动的总路程
D．带电体最终可能会停在水平轨道AB上
【答案】AC
【详解】对质点从 A 到 B ，根据动能定理得 解得 ，A正确；
B.由题可知，当带电体的速度最大时，带电体的加速度为零，故带电体受力平衡，受力如图所示
设带电体在M点速度最大，M点与O点的连线OM和OB的夹角应该满足 代入已知数据得
从 B 到 M 根据动能定理得 解得 ，B错
误；
C.最终带电体应该围绕等效最低点M做周期性运动，到C点的速度恰好为零，全过程的滑动摩擦力大小一
样，即 设带电体在粗糙轨道AB与CD上运动的总路程为s，对全过程从A到最终恰好到
C，根据动能定理可得 解得 因为电场力大于滑动摩擦力，所以不可能停在AB
上，D错误，C正确。故选AC。
6．（2023届百校试高考物理模拟）如图甲所示，两个平行金属板 、 正对且竖直放置，两金属板间加
上如图乙所示的交流电压， 时， 板的电势比 板的电势高 。在两金属板的正中央 点处有一电
子（电子所受重力可忽略）在电场力作用下由静止开始运动，已知电子在 时间内未与两金属板相碰，
则（ ）
学科网（北京）股份有限公司 5A． 时间内，电子的动能减小
B． 时刻，电子的电势能最大
C． 时间内，电子运动的方向不变
D． 时间内，电子运动的速度方向向右，且速度逐渐减小
【答案】AD
【详解】A．在 时间内，电场方向水平向右，电子所受电场力方向向左，所以电子向左做匀加速直线
运动；在 时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向左做匀减速直线运动，电
场力做负功，电子的电势能增加，动能减小，故A正确；
BC． 时刻电子的速度为零，在 时间内，电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，电子向
右做初速度为零的匀加速直线运动，运动方向发生改变， 时刻速度最大，动能最大，电势能并不是最大，
故BC错误；
D．在 时间内，电场方向水平向右，电子的加速度方向向左，电子向右做匀减速直线运动，到
时刻速度为零，恰好又回到M点，故D正确。故选：AD。
7．（2023届山西省太原市高三下学期第二次模拟考试理综物理试题）图甲中的水平平行金属板M、N间
加有图乙所示的变化电压， 后电压消失。当电压稳定时，板间为匀强电场。O位于M、N板间中
点，可以向外释放初速度为零的带电液滴。在 时，均带负电的液滴甲、乙从O由静止进入板间，甲、
乙两液滴的比荷分别为k和 ，忽略两个带电液滴间的相互作用及其电荷量的变化。已知 时间里甲
处于静止状态， 时刻甲恰好到达下极板附近。重力加速度大小为g，则在图中所示的时间段内，下列说
法正确的是（ ）
A．两板间距为
学科网（北京）股份有限公司 6B．甲在该阶段的最大速度为
C．甲在 时刻恰好到达上极板附近
D．乙粒子在 时刻打到上极板
【答案】BD
【详解】ABC．根据题意可知甲液滴在 时间里 在 时间内甲液滴做自由落体运动，在
时间内做匀减速直线运动，在 时刻，甲液滴的速度为 两板间距满足
解得 甲液滴在 加速的时间和 减速时间相等，可知甲液滴做减速运动的加速度大小为
甲 在 该 阶 段 的 最 大 速 度 甲 从 向 上 运 动 的 位 移
可知甲回到 点，B正确，AC错误；
D．乙液滴在 时间内，根据牛顿第二定律 可得 向上运动的距离
， 时间内运动的位移 此时的速度
此时距离上极板的距离 在 后，根据牛顿第二定律
解得 根据 解得 （另一解为负舍去）乙粒子在打到上极板的时刻
，D正确。故选BD。
8．（2023届甘肃省高三下学期第二次高考诊断考试理综物理试题）如图甲所示，在空间中建立xOy坐标
系， 射线管由平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成，放置在第Ⅱ象限，细管C到两金属板的
距离相等，细管C开口在y轴上。放射源P在A板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的 粒子。若金
属板长为L、间距为d，当A、B板间加上某一电压时， 粒子刚好能以速度 从细管C水平射出，进入位
于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在着辐向电场， 粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动，该
电场的电场线沿半径方向指向圆心O， 粒子运动轨迹处的场强大小为 。在 时刻 粒子垂直于x轴
进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场随时间的变化关系如图乙所示，规定沿x轴正方向为电场的正方向。
已知 粒子的电荷量为2e（e为元电荷）、质量为m，重力不计。以下说法中正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 7A． 粒子从放射源P运动到C的过程中动能的变化量为
B． 粒子从放射源P发射时的速度大小为
C． 粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为
D．当 时， 粒子的坐标为
【答案】AC
【详解】AB．设 粒子运动到C处时速度为 ， 粒子反方向的运动为类平抛运动，水平方向有
竖直方向有 由牛顿第二定律 联立解得 ， 粒子从放射源发射出到C的过程，
由动能定理 解得 设 粒子发射时速度的大小为v， 粒子从放射源发射
至运动到C的过程，由动能定理 解得 故A正确，B错误；
C．由牛顿第二定律 得 故C正确；
D． 时， 粒子在x方向的速度为 所以一个周期内，离子在x方向的平均速度
每个周期 粒子在x正方向前进 因为开始计时时 粒子横坐标为 所以nT时， 粒
子的横坐标为 ， 粒子的纵坐标为 在nT时 粒子的坐标为
故D错误。故选AC。
9．（2023年山东省高考百校联考模拟）如图，倾角θ＝30°的足够长光滑绝缘斜面固定在水平向右的匀强
电场中，一质量为m、电荷量为+q的小滑块A放在斜面上，恰好处于静止状态。质量也为m的不带电小滑
块B从斜面上与A相距为s的位置由静止释放，下滑后与A多次发生弹性正碰，每次碰撞时间都极短，且
学科网（北京）股份有限公司 8没有电荷转移，已知重力加速度大小为g。求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）两滑块发生第1次碰撞到发生第2次碰撞的时间间隔；
（3）在两滑块发生第1次碰撞到发生第5次碰撞的过程中，A的电势能增加量。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）滑块A受力，受力如图，A处于静止状态，则
滑块A受到的电场力大小为 可得
（2）B下滑过程中，加速度大小为a，第1次与A碰撞时的速度为v，有 由运动学公式
第1次碰撞后A的速度为 ，B的速度为 ，由动量守恒和机械能守恒得 ；
解得 ； 第1次碰撞后，A匀速下滑，B匀加速下滑，发生第1次碰
撞到发生第2次碰撞的过程中两滑块下滑的位移相等，所用时间为 ，有 解得
（3）由（2）可知，第2次碰撞前瞬间B的速度为 即第2次碰撞前瞬间，两滑块速度分别为
； 碰撞后速度交换，可得 ； 发生第2次碰撞到发生第3次碰撞的
过程中两滑块下滑的位移相等，所用时间为 ，有 ； 解得
即第3次碰撞前瞬间，两滑块速度分别为 ； 碰撞后速度交换 ；
学科网（北京）股份有限公司 9以此类推，每次碰撞后A的速度分别为 ； ； 相邻两次碰撞的时间间隔T均
相等，且 所以，在两滑块发生第1次碰撞到发生第5次碰撞的过程中，A的位移为
的电势能增加量为 解得
10．（2022届河南省许昌市普通高中高三二模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大
小为E=1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R=2m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切
于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m=0.04 kg、电荷量为q= +6×10-5 C的带电小球2
（可视为质点）静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m
=0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿
光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。
P、C两点间距离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
（1）黏合体在A点的速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
【答案】（1）5m/s；（2）9.2J；（3）0.6s
【详解】(1)小球2所受电场力
小球1和小球2的重力和为
如图所示
小球12所受重力与电场力的合力与竖直方向的夹角为 所以 所以A点是小球12在重力
场和电场中做圆周运动的等效最高点，由于小球12恰能沿圆弧到达A点，所以
解得
学科网（北京）股份有限公司 10(2)小球从C点到A点，由动能定理得
解得 小球12的碰撞由动量守恒定律得 解得小球1碰撞前的速度
由机械能守恒可得弹簧的弹性势能
(3)如图小球12在A点竖直方向上做匀加速运动
竖直方向上的初速度为 由竖直方向匀加速运动可得 解
11．（2022年福建省名校联考模拟）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为
，O为水平连线 的中点，M、N在 连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量
均为Q（ ）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则 上的电势
随位置x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（ ）的小球 以一定初动能从M点竖直下落，
一段时间后经过N点，其在 段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力
加速度大小，k为静电力常量。
（1）求小球 在M点所受电场力大小。
（2）当小球 运动到N点时，恰与一沿x轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞。已知 与
的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短。求碰撞前 的动量大小。
（3）现将 固定在N点，为保证 能运动到N点与之相碰， 从M点下落时的初动能须满足什么条件？
【答案】（1） ；（2） ；（3）
学科网（北京）股份有限公司 11【详解】（1）设A到M点的距离为 ，A点的电荷对小球 的库仑力大小为 ，由库仑定律有
①
设小球 在 点所受电场力大小为 ，由力的合成有 ②
联立①②式，由几何关系并代入数据得 ③
（2）设O点下方 处为 点， 与 的距离为 ，小球 在 处所受的库仑力大小为 ，由库仑定律和
力的合成有 ④式中 设小球 的质量为 ，小球 在 点的加速度大小为 ，由
牛顿第二定律有 ⑤由图（c）可知，式中 联立④⑤式并代入数据得 ⑥
设 的质量为 ，碰撞前、后 的速度分别为 ， ， 碰撞前、后的速度分别为 ， ，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有 ⑦；
⑧设小球S 碰撞前的动量为 ，由动量的定义有 ⑨
2
依题意有 ； 联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得 ⑩
即碰撞前 的动量大小为 。
（3）设O点上方 处为D点。根据图（c）和对称性可知， 在D点所受的电场力大小等于小球的重力
大小，方向竖直向上， 在此处加速度为0； 在D点上方做减速运动，在D点下方做加速运动，为保证
能运动到N点与 相碰， 运动到D点时的速度必须大于零。设M点与D点电势差为 ，由电势差
定义有 设小球 初动能为 ，运动到D点的动能为 ，由动能定理有
⑪ 由对称性，D点与C点电势相等，M点与N点电势相等，
⑫ ⑬
依据图（b）所给数据，并联立⑥ 式可得
⑪⑫⑬ ⑭
12．（2022届广东省潮州市高三（下）第二次模拟考试物理试题）图中AB是绝缘水平面上相距 的
两点，AB间存在一个水平向右的匀强电场，场强大小 。一带电量 ，质量
的绝缘滑块Q静置在A点，滑块Q与水平面的动摩擦因数 。用长 的轻绳将不带电
小球P悬挂在A点正上方的O点，保持绳子绷紧，将P球拉至与点O等高的水平位置，如图所示。现给P
球竖直向下的初速度 ，此后P球下摆与Q发生弹性正碰。已知P球质量也为m，整个过程没有电
学科网（北京）股份有限公司 12荷转移，P、Q体积大小均可忽略不计，轻绳不被拉断。（ ）求：
（1）P与Q第一次碰撞后瞬间，P与Q的速度大小；
（2）P与Q第一次碰撞后，滑块Q离A点的最远距离；
（3）若场强E可变，试讨论在轻绳不松弛的前提下，滑块Q在AB段滑行的路程与电场强度E的关系。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）小球P运动至与Q碰撞前，有 解得
P与Q发生弹性碰撞，有 ； 解得 ，
（2）设碰撞后，Q没有滑离AB段，当Q减速至0，有 解得
假设成立，即P与Q第一次碰撞后，滑块Q离A点的最远距离为1.5m。
（3）当P与Q第一次碰撞后，Q恰好能滑到B点，则 解得
当 时，Q从B点离开电场，则Q在AB段滑行的路程为
当 时，Q没有从B离开，因为 则Q返回再次与P相碰。设Q第一次在AB段减速
至0的位移为 时，返回与P碰撞后，P恰好能回到O点等高位置，则
设Q回到A点时速度为 ，Q从A开始运动到又回到A点时，有
P与Q再次碰撞，质量相等弹性碰撞，交换速度，则碰后P的速度也为v，此后P运动至圆心等高，有
2
解得 当 时，P超过O点等高位置，因为 ，P
无法到达最高点，绳子松懈，不满足条件。
当 时，因为 ，Q无法停在AB段，最终停在A点，全过程，对系
统，由能量守恒，有 解得 则Q在AB段滑行的路程为 综上：为保
证绳子不松懈需满足为： ；当 时，Q在AB段滑行的路程为 ；当
时，Q在AB段滑行的路程为 。
学科网（北京）股份有限公司 1313．（2022年新高考辽宁物理高考真题）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在B点
平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过
B点时的速度大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有
方向与x轴夹角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电
荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有 解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有 解得 ， 说明小球从O点开始以后的运动为x
轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有 ，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
学科网（北京）股份有限公司 14
