2019年高考数学试卷（文）（新课标Ⅰ）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2012-2025·（安徽）数学高考真题

绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ）
答案解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
3-i
1.设z = ，则 z =
1+2i
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算（分母实数化），求得z，再求 z ．
3-i (3-i)(1-2i) 1 7
【详解】因为z = ，所以z = = - i，所以
1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5
1 7
z = ( )2 +(- )2 = 2 ，故选C．
5 5
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性
质直接求解．
2.已知集合U =1,2,3,4,5,6,7，A=2,3,4,5，B=2,3,6,7 ，则B
I
C
U
A
A.
1,6
B.
1,7
C.
6,7
D.
1,6,7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求ð A，再求BÇð A．
U U
【详解】由已知得C A=1,6,7 ，所以BÇC A= {6,7}，故选C．
U U
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案
．
第1页 | 共22页3.已知a =log 0.2,b=20.2,c=0.20.3，则
2
A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D.
b<c<a
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c
【详解】a=log 0.2<log 1=0, b=20.2 20 =1, 0<0.20.3 <0.20 =1,则
2 2
0<c<1,a<c<b．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变
量法，利用转化与化归思想解题．
5-1
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
2
5-1
（ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体
2
5-1
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割
2
比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm
【答案】B
【解析】
第2页 | 共22页【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则
26 26+x 5-1
= = ，得x42.07cm,y 5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下
x y+105 2
端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，
利用转化思想解题．
sinx+x
5.函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
cosx+x2
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得 f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
确答案．
sin(-x)+(-x) -sinx-x
【详解】由 f(-x)= = =-f(x)，得 f(x)是奇函数，其图象
cos(-x)+(-x)2 cosx+x2

1+
 2 4+2 
关于原点对称．又 f( )= = 1, f()= 0．故选D．
2  2 -1+2
( )2
2
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取
性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1
第3页 | 共22页000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到
，则下面4名学生中被抽到的是
A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D.
815号学生
【答案】C
【解析】
【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生
被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{a }，公差d =10，
n
所以a =6+10n (n Î N*) ，
n
1
若8=6+10n，则n= ，不合题意；若200=6+10n，则n=19.4，不合题意；
5
若616=6+10n，则n=60，符合题意；若815=6+10n，则n=80.9，不合题意．故
选C．
【点睛】本题主要考查系统抽样.
7.tan255°=
A. －2－ 3 B. －2+ 3 C. 2－ 3 D. 2+ 3
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公
式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：tan2550 =tan(1800 +750)=tan750 =tan(450 +300)=
3
1+
tan450 +tan300
3
= =2+ 3.
1-tan450 tan300 3
1-
3
第4页 | 共22页【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解
能力．
8.已知非零向量a，b满足 a =2 b ，且（a–b）^b，则a与b的夹角为
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与
化归、数学计算等数学素养．先由(a-b)^b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利
用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为(a-b)^b，所以(a-b)×b=a×b-b2=0，所以a×b=b2，所以cosq=
a×b |b|2 1 
= = ，所以a与b的夹角为 ，故选B．
a × b 2|b|2 2 3
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公
式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．
1
1
9.如图是求2+ 的程序框图，图中空白框中应填入
1
2+
2
第5页 | 共22页1 1 1
A. A= B. A=2+ C. A= D. A=
2+ A A 1+2A
1
1+
2A
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构
特征与程序框图结构，即可找出作出选择．
1
1 1
【详解】执行第1次，A= ,k =1£2是，因为第一次应该计算 1 = ，k =k+1
2 2+ 2+ A
2
1
1 1
=2，循环，执行第2次，k =2£2，是，因为第二次应该计算2+ = ，
1 2+ A
2+
2
1
k =k+1=3，循环，执行第3次，k =2£2，否，输出，故循环体为A= ，故选A
2+ A
．
1
【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A= ．
2+ A
x2 y2
10.双曲线C: - =1(a0,b0)的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
a2 b2
1
A. 2sin40° B. 2cos40° C. D.
sin50°
第6页 | 共22页1
cos50°
【答案】D
【解析】
【分析】
b b c æbö 2
由双曲线渐近线定义可得- =tan130°,\ =tan50°，再利用e= = 1+ 求双
ç ÷
a a a èaø
曲线的离心率．
b b
【详解】由已知可得- =tan130°,\ =tan50°，
a a
c æbö 2 sin250° sin250°+cos250° 1
\e= = 1+ = 1+tan250° = 1+ = =
ç ÷
a èaø cos250° cos250° cos50°
，故选D．
x2 y2 c æbö 2
【点睛】对于双曲线： - =1a0,b0，有e= = 1+ ；对于椭圆
ç ÷
a2 b2 a èaø
x2 y2 c æbö 2
+ =1a b0，有e= = 1- ，防止记混．
ç ÷
a2 b2 a èaø
1
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，
4
b
则 =
c
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】详解：由已知及正弦定理可得a2 -b2 =4c2，由余弦定理推论可得
1 b2 +c2 -a2 c2 -4c2 1 3c 1 b 3
- =cosA= ,\ =- ,\ = ,\ = ´4=6，故选A．
4 2bc 2bc 4 2b 4 c 2
【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
第7页 | 共22页12.已知椭圆C的焦点为F( -1,0)，F(1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点.若
1 2 2
│AF│=2│F B│，│AB│=│BF│，则C的方程为
2 2 1
x2 x2 y2 x2 y2
A. + y2 =1 B. + =1 C. + =1 D.
2 3 2 4 3
x2 y2
+ =1
5 4
【答案】B
【解析】
【分析】
可以运用下面方法求解：如图，由已知可设 F B =n，则 AF =2n, BF = AB =3n，
2 2 1
由椭圆的定义有2a= BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n．在△AFF 和△BFF
1 2 1 2 1 2 1 2
ì4n2 +4-2×2n×2×cosÐAF F =4n2,
中，由余弦定理得í 2 1 ，又ÐAF F ,ÐBF F 互补，
n2 +4-2×n×2×cosÐBF F =9n2 2 1 2 1
î
2 1
\cosÐAF F +cosÐBF F =0，两式消去cosÐAF F ,cosÐBF F ，得3n2 +6=11n2
2 1 2 1 2 1 2 1
3
，解得n= ．\2a =4n=2 3,\a = 3,\b2 =a2 -c2 =3-1=2,\所求椭圆方程
2
x2 y2
为 + =1，故选B．
3 2
【详解】如图，由已知可设 F B =n，则 AF =2n, BF = AB =3n，由椭圆的定义有
2 2 1
2a= BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n．在△AFB中，由余弦定理推论得
1 2 1 2 1
4n2 +9n2 -9n2 1
cosÐFAB= = ．在△AFF 中，由余弦定理得
1 2×2n×3n 3 1 2
1 3
4n2 +4n2 -2×2n×2n× =4，解得n= ．
3 2
x2 y2
\2a =4n=2 3,\a = 3,\b2 =a2 -c2 =3-1=2,\所求椭圆方程为 + =1，
3 2
故选B．
第8页 | 共22页【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能
力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．
【答案】3x- y=0.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求
得切线方程
【详解】详解：y/ =3(2x+1)ex +3(x2 +x)ex =3(x2 +3x+1)ex,
所以，k = y/ | =3
x=0
所以，曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x，即3x- y=0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致
计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
3
14.记S 为等比数列{a }的前n项和.若a =1，S = ，则S =___________．
n n 1 3 4 4
5
【答案】 .
8
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得
到S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
4
第9页 | 共22页【详解】详解：设等比数列的公比为q，由已知
3 1
S =a +aq+aq2 =1+q+q2 = ，即q2 +q+ =0
3 1 1 1 4 4
1
解得q=- ，
2
1
1-(- )4
a (1-q4) 5
2
所以S = 1 = = ．
4 1-q 1 8
1-(- )
2
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分
式计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算
3 1 5
S =S +a =S +aq3 = +(- )3 = ，避免繁分式计算．
4 3 4 3 1 4 2 8
3π
15.函数 f(x)=sin(2x+ )-3cosx的最小值为___________．
2
【答案】-4.
【解析】
【分析】
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关
R
于2 的二次函数．题目有一定的综合性，注重了基础知识、数学式子的变形及运算
g
0
求解能力的考查．
3
【详解】 f(x)=sin(2x+ )-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2 x-3cosx+1
2
3 17
=-2(cosx+ )2 + ，
4 8
-1£cosx£1，\当cosx=1时， f (x)=-4，
Q min
故函数 f(x)的最小值为-4．
【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视-1£cosx£1的限制，而简单应用二次函数
的性质，出现运算错误．
16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为
第10页 | 共22页3，那么P到平面ABC的距离为___________．
【答案】 2 .
【解析】
【分析】
本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P 在底面上的射影，使用线面
垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．
【详解】作PD,PE分别垂直于AC,BC ，PO^平面ABC，连CO，
知CD^ PD,CD^ PO，PD OD=P，
I
\ CD^ 平面PDO，ODÌ平面PDO，
\CD^OD
3
∵ PD= PE = 3，PC =2．\sinÐPCE =sinÐPCD= ，
2
\ÐPCB=ÐPCA=60°，
\PO^CO，CO为ÐACB平分线，
\ÐOCD=45°\OD=CD=1, OC = 2，又PC =2，
\PO= 4-2 = 2 ．
【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很
难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察
，解题事半功倍．
第11页 | 共22页三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：60分。
17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服
务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
n(ad -bc)2
附：K2 = ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4 3
【答案】（1） , ；
5 5
（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【解析】
【分析】
（1）从题中所给的2´2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别
算出相应的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场
服务的评价有差异.
第12页 | 共22页【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，
40 4
所以男顾客对商场服务满意率估计为P = = ,
1 50 5
50名女顾客对商场满意的有30人，
30 3
所以女顾客对商场服务满意率估计为P = = ,
2 50 5
100(40´20-30´10)2 100
（2）由列联表可知K2 = = 4.7623.841，
70´30´50´50 21
所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，
利用列联表计算K2的值，独立性检验，属于简单题目.
18.记S 为等差数列{a }的前n项和，已知S =－a ．
n n 9 5
（1）若a =4，求{a }的通项公式；
3 n
（2）若a >0，求使得S ≥a 的n的取值范围．
1 n n
【答案】（1）a =-2n+10；
n
（2）1£n£10(nÎN*).
【解析】
【分析】
（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于a 和d 的方程组，求得
1
a 和d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
1
（2）根据题意有a =0，根据a 0，可知d <0，根据S a ，得到关于n的不等式
5 1 n n
，从而求得结果.
【详解】设等差数列 a  的首项为a ，公差为d ，
n 1
ì 9´8
ï9a + d =-(a +4d)
根据题意有í 1 2 1 ，
ïa +2d =4
î
1
ìa =8
解答í 1 ，所以a =8+(n-1)´(-2)=-2n+10，
îd =-2 n
第13页 | 共22页所以等差数列 a  的通项公式为a =-2n+10；
n n
（2）由条件S =-a ，得9a =-a ，即a =0，
9 5 5 5 5
因为a 0，所以d <0，并且有a =a +4d =0，所以有a =-4d，
1 5 1 1
n(n-1)
由S ³a 得na + d ³a +(n-1)d ，整理得(n2 -9n)d ³(2n-10)d，
n n 1 2 1
因为d <0，所以有n2 -9n£2n-10，即n2 -11n+10£0，
解得1£n£10，
所以n的取值范围是：1£n£10(nÎN*)
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数
列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关
键.
19.如图，直四棱柱ABCD–
A B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的
1 1 1 1 1 1 1
中点.
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
【答案】（1）见解析；
4 17
（2） .
17
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线和AD//BC可证得ME//ND，证得四边形MNDE 为平行四边
1 1
形，进而证得MN //DE，根据线面平行判定定理可证得结论；
第14页 | 共22页（2）根据题意求得三棱锥C -CDE的体积，再求出DC DE的面积，利用
1 1
V =V 求得点C到平面C DE的距离，得到结果.
C 1 -CDE C-C 1 DE 1
【详解】（1）连接ME，B C
1
M ，E分别为BB ，BC中点 \ME为DBBC的中位线
Q 1 1
1
\ME//BC且ME = B C
1 2 1
1
又N 为AD中点，且AD//BC \ND//BC且ND = BC
1 1 1 1 2 1
\ME//ND \四边形MNDE 为平行四边形
\MN //DE，又MN Ë平面C DE，DEÌ 平面C DE
1 1
\MN //平面C DE
1
（2）在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DE^BC，
根据题意有DE = 3，C E = 17 ，
1
因为棱柱为直棱柱，所以有DE^平面BCC B ，
1 1
1
所以DE ^ EC ，所以S = ´ 3´ 17 ，
1 DDEC 1 2
设点C到平面C DE的距离为d ，
1
1 1 1 1
根据题意有V =V ，则有 ´ ´ 3´ 17´d = ´ ´1´ 3´4，
C-CDE C-CDE
1 1 3 2 3 2
4 4 17
解得d = = ，
17 17
4 17
所以点C到平面C DE的距离为 .
1
17
第15页 | 共22页【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平
面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线
的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.
20.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）aÎ-¥,0
.
【解析】
【分析】
（1）求导得到导函数后，设为gx 进行再次求导，可判断出当xÎ æ ç ç çè 0, p 2 ö ø ÷ ÷÷ ÷时，g¢x0
æ ö
，当xÎ ç , ÷时，g¢x<0，从而得到gx 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零
è 2 ø
点所处的位置，证得结论；（2）构造函数hx= f x-ax，通过二次求导可判断出
æö -2
h¢x =h¢=-2-a，h¢x =h¢
ç ÷
= -a；分别在a£-2，-2<a£0
min max è 2ø 2
-2 -2
，0<a< 和a³ 的情况下根据导函数的符号判断hx 单调性，从而确定
2 2
hx³0恒成立时a的取值范围.
【详解】（1）
f¢x=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1
令gx=cosx+xsinx-1，则g¢x=-sinx+sinx+xcosx= xcosx

当xÎ0,时，令g¢x=0，解得：x=
2
\当xÎ æ ç ç çè 0, p 2 ö ø ÷ ÷÷ ÷时，g¢x0；当xÎ æ ç è  2 , ö ÷ ø 时，g¢x<0
æ ö æ ö
\ g(x)在ç 0, ÷上单调递增；在ç , ÷上单调递减
è 2 ø è 2 ø
第16页 | 共22页æö 
又g0=1-1=0，g
ç ÷
= -10，g=-1-1=-2
è 2ø 2
即当xÎ æ ç ç çè 0, p 2 ö ø ÷ ÷÷ ÷时，gx0，此时gx 无零点，即 f¢x无零点
æö æ ö
Q
g
ç è 2 ÷ ø
×g<0 \$x
0
Î
ç è 2
,
÷ ø
，使得gx
0
=0
æ ö æ ö
又gx 在ç , ÷上单调递减 \x= x 为gx ，即 f¢x在ç , ÷上的唯一零点
è 2 ø 0 è 2 ø
综上所述： f¢x在区间 0, 存在唯一零点
（2）若xÎ0, 时， f x³ax，即 f x-ax³0恒成立
令hx= f x-ax=2sinx-xcosx-a+1x
则h¢x=cosx+xsinx-1-a，h¢¢x= xcosx= g¢x
æ ö æ ö
由（1）可知，h¢x 在ç 0, ÷上单调递增；在ç , ÷上单调递减
è 2 ø è 2 ø
æö -2
且h¢0=-a，h¢
ç ÷
= -a，h¢=-2-a
è 2ø 2
æö -2
\h¢x =h¢=-2-a，h¢x =h¢
ç ÷
= -a
min max è 2ø 2
①当a£-2时，h¢x =h¢=-2-a³0，即h¢x³0在 0,
上恒成立
min
\hx
在
0,
上单调递增
\ h(x)³ h(0)= 0，即 f x-ax³0，此时 f x³ax恒成立
æö
②当-2<a£0时，h¢0³0，h¢
ç ÷
0，h¢<0
è 2ø
æ ö
\$x Î
ç
, ÷，使得h¢x =0
1 è 2 ø 1
\hx
在
0,x 
上单调递增，在
x ,
上单调递减
1 1
又h0=0，h=2sin-cos-a+1=-a³0
第17页 | 共22页\hx³0在 0, 上恒成立，即 f x³ax恒成立
-2 æö -2
③当0<a< 时，h¢0<0，h¢ ç ÷ = -a 0
2 è 2ø 2
æ ö
\$x Î
ç
0, ÷，使得h¢x =0
2 è 2ø 2
æ ö
\hx 在 0,x  上单调递减，在ç x , ÷上单调递增
2 è 2 2ø
\xÎ0,x  时，hx<h0=0，可知 f x³ax不恒成立
2
-2 æö -2
④当a³ 时，h¢x =h¢ ç ÷ = -a£0
2 max è 2ø 2
æ ö
\hx 在ç 0, ÷上单调递减 \ h(x)< h(0)= 0
è 2 ø
可知 f x³ax不恒成立
综上所述：aÎ-¥,0
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.
对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转
变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而
得到最值.
21.已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =A，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
【答案】（1）2或6；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设At,-t ，B-t,t ，根据 AB =4，可知 t = 2；由圆的性质可知圆心M 必在
直线y=x上，可设圆心M a,a ；利用圆心到x+2=0的距离为半径和 MA = MB =r
第18页 | 共22页构造方程，从而解出r；（2）当直线AB斜率存在时，设AB方程为：y =kx，由圆的性
1
质可知圆心M 必在直线y =- x上；假设圆心坐标，利用圆心到x+2=0的距离为半径
k
和r = MA = OA 2 + OM 2 构造方程，解出M 坐标，可知M 轨迹为抛物线；利用抛物
线定义可知P1,0
为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB斜率不存在时，求解出M 坐
标，验证此时P1,0
依然满足定值，从而可得到结论.
【详解】（1） A在直线C5-n +C9-n上 \设At,-t ，则B-t,t
Q n n+1
又 AB =4 \8t2 =16，解得： t = 2
Qe
M 过点A，B \圆心M 必在直线y=x上
设M a,a ，圆的半径为r
Qe
M 与x+2=0相切 \r = a+2
 2  2
又 MA = MB =r，即 a- 2 + a+ 2 =r2
\  a- 2 2 +  a+ 2 2 =a+22 ，解得：a=0或a =4
当a=0时，r= 2；当a =4时，r =6
\ M 的半径为：2或6
e
（2）存在定点P1,0 ，使得 MA - MP =1
说明如下：
A，B 关于原点对称且 AB =4
Q
\直线AB必为过原点O的直线，且 OA =2
①当直线AB斜率存在时，设AB方程为：y =kx
1
则 M 的圆心M 必在直线y =- x上
e
k
设M -km,m ， M 的半径为r
e
Qe
M 与x+2=0相切 \r = -km+2
又r = MA = OA 2 + OM 2 = 4+k2m2 +m2
第19页 | 共22页\ -km+2 = 4+k2m2 +m2 ，整理可得：m2 =-4km
即M 点轨迹方程为：y2 =4x，准线方程为：x=-1，焦点F1,0
Q
MA =r，即抛物线上点到a=-1的距离 \ MA = MF +1
\ MA - MF =1
\当P 与F 重合，即P 点坐标为 1,0 时， MA - MP =1
②当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：x=0
\ M 在x轴上，设M n,0
3
\ n+2 = n2 +4，解得： ，即M 0,0
2
若P1,0 ，则 MA - MP =2-1=1
综上所述，存在定点P1,0 ，使得 MA - MP 为定值
【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问
题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定
值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
ì 1-t2
x= ，
ï
ï 1+t2
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í （t为参数），以坐标原点O为
4t
ï
y =
ïî 1+t2
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2rcosq+ 3rsinq+11=0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
第20页 | 共22页y2
【答案】（1）C:x2 + =1；l:2x+ 3y+11=0；（2） 7
4
【解析】
【分析】
（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l
的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将
所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.
16t2
【详解】（1）由x=
1
1
+
-t
t
2
2
得：t2 =
1
1
+
-x
x
，又 y2 =
 1+t22
1-x
16´
\y2 = 1+x =41+x1-x=4-4x2
2
æ 1-xö
1+
ç ÷
è 1+xø
y2
整理可得C的直角坐标方程为：x2 + =1
4
又x=rcosq，y =rsinq
\l的直角坐标方程为：2x+ 3y+11=0
（2）设C上点的坐标为： cosq,2sinq
æ ö
4sin q+ +11
2cosq+2 3sinq+11 ç ÷
则C上的点到直线l的距离 è 6 ø
d = =
7 7
æ ö
当sin ç q+ ÷ =-1时，d 取最小值
è 6 ø
则d = 7
min
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线
距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化
为三角函数的最值求解问题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
第21页 | 共22页已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
1 1 1
（1） + + £a2 +b2 +c2；
a b c
（2）(a+b)3 +(b+c)3 +(c+a)3 ³24．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用abc= 1将所证不等式可变为证明：a2 +b2 +c2 ³bc+ac+ab，利用基本不等
式可证得2  a2 +b2 +c2 ³2ab+2bc+2ac，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得
a+b3 +b+c3 +c+a3 ³3a+bb+cc+a，再次利用基本不等式可将式转化
为a+b3 +b+c3 +c+a3 ³24 abc2 ，在取等条件一致的情况下，可得结论.
1 1 1 æ1 1 1ö
【详解】（1） Q abc=1 \ + + = ç + + ÷ ×abc=bc+ac+ab
a b c èa b cø
2  a2 +b2 +c2 =  a2 +b2 +  b2 +c2 +  c2 +a2 ³2ab+2bc+2ac
Q
当且仅当a=b=c时取等号
\2  a2 +b2 +c2 ³2 æ ç 1 + 1 + 1ö ÷，即：a2 +b2 +c2≥ 1 + 1 + 1
èa b cø a b c
（2） a+b3 +b+c3 +c+a3 ³3a+bb+cc+a，当且仅当a=b=c时取等
Q
号
又a+b³2 ab ，b+c³2 bc ，a+c³2 ac （当且仅当a=b=c时等号同时成立）
\a+b3 +b+c3 +c+a3
³3´2 ab´2 bc´2 ac =24
abc2
又abc= 1
\a+b3 +b+c3 +c+a3
³24
【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变
形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
第22页 | 共22页