2023年高考数学试卷（新课标Ⅰ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2012-2025·（福建）数学高考真题

绝密★启用前 试卷类型：A 2023 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅰ卷数学 本试卷共 4页，22小题，满分 150分.考试用时 120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写 在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右 上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.   M =-2,-1,0,1,2 N = x x2 -x-6³0 1. 已知集合 ， ，则M ÇN =（ ） A. -2,-1,0,1 B. 0,1,2 C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为N =  x x2 -x-6³0  =-¥,-2È3,+¥ ，而M =-2,-1,0,1,2 ， 所以M ÇN = -2 ． 故选：C． 方法二：因为M =-2,-1,0,1,2 ，将-2,-1,0,1,2代入不等式x2 -x-6³0，只有-2使不等式成立， 第1页 | 共28页所以M ÇN = -2 ． 故选：C． 1-i 2. 已知z = ，则z-z =（ ） 2+2i A. -i B. i C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出． 1-i 1-i1-i -2i 1 1 【详解】因为z = = = =- i，所以z = i，即z-z =-i． 2+2i 21+i1-i 4 2 2 故选：A． r r r r r r 3. 已知向量a =1,1,b=1,-1，若 a+lb ^ a+mb ，则（ ） A. l+m=1 B. l+m=-1 C. lm=1 D. lm=-1 【答案】D 【解析】 r r r r 【分析】根据向量的坐标运算求出a+lb，a+mb，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． r r r r r r 【详解】因为a =1,1,b=1,-1，所以a+lb=1+l,1-l，a+mb=1+m,1-m， r r r r r r r r 由 a+lb ^ a+mb 可得， a+lb × a+mb =0， 即 1+l1+m+1-l1-m=0，整理得：lm=-1． 故选：D． 4. 设函数 f x=2xx-a 在区间 0,1 上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. -¥,-2 B. -2,0 C. 0,2 D. 2,+¥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 第2页 | 共28页【详解】函数y =2x在R上单调递增，而函数 f x=2xx-a 在区间 0,1 上单调递减， a a2 a 则有函数y = x(x-a)=(x- )2 - 在区间 0,1 上单调递减，因此 ³1，解得a³2， 2 4 2 所以a的取值范围是 2,+¥ . 故选：D x2 x2 5. 设椭圆C : + y2 =1(a >1),C : + y2 =1的离心率分别为e ,e ．若e = 3e ，则a =（ ） 1 a2 2 4 1 2 2 1 2 3 A. B. 2 C. 3 D. 6 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 4-1 a2 -1 2 3 【详解】由e = 3e ，得e2 =3e2，因此 =3´ ，而a >1，所以a= . 2 1 2 1 4 a2 3 故选：A 6. 过点 0,-2 与圆x2 + y2 -4x-1=0相切的两条直线的夹角为a，则sina=（ ） 15 10 6 A. 1 B. C. D. 4 4 4 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长， 结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2 +8k+1=0，利用韦达定理结 合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为x2 + y2 -4x-1=0，即x-22 + y2 =5，可得圆心C2,0 ，半径r = 5， 过点P0,-2 作圆C的切线，切点为A,B， 因为 PC = 22 +-22 =2 2，则 PA = PC 2 -r2 = 3， 5 10 3 6 可得sinÐAPC = = ,cosÐAPC = = ， 2 2 4 2 2 4 第3页 | 共28页10 6 15 则sinÐAPB=sin2ÐAPC =2sinÐAPCcosÐAPC =2´ ´ = ， 4 4 4 2 2 æ 6 ö æ 10 ö 1 cosÐAPB=cos2ÐAPC =cos2ÐAPC-sin2ÐAPC =ç ÷ -ç ÷ =- <0， ç ÷ ç ÷ 4 4 4 è ø è ø 即ÐAPB为钝角， 15 所以sina=sinπ-ÐAPB=sinÐAPB= ； 4 法二：圆x2 + y2 -4x-1=0的圆心C2,0 ，半径r = 5， 过点P0,-2 作圆C的切线，切点为A,B，连接AB， 可得 PC = 22 +-22 =2 2，则 PA = PB = PC 2 -r2 = 3， 2 2 2 2 因为 PA + PB -2 PA × PB cosÐAPB= CA + CB -2 CA × CB cosÐACB 且ÐACB=π-ÐAPB，则3+3-6cosÐAPB=5+5-10cosπ-ÐAPB ， 1 即3-cosÐAPB=5+5cosÐAPB，解得cosÐAPB=- <0， 4 1 即ÐAPB为钝角，则cosa=cosπ-ÐAPB=-cosÐAPB= ， 4 15 且a为锐角，所以sina= 1-cos2a= ； 4 方法三：圆x2 + y2 -4x-1=0的圆心C2,0 ，半径r = 5， 若切线斜率不存在，则切线方程为y=0，则圆心到切点的距离d =2>r，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为y =kx-2，即kx- y-2=0， 2k-2 则 = 5，整理得k2 +8k+1=0，且D=64-4=60>0 k2 +1 设两切线斜率分别为k ,k ，则k +k =-8,k k =1， 1 2 1 2 1 2 可得 k -k = k +k 2 -4k k =2 15， 1 2 1 2 1 2 k -k sina sina 所以tana= 1 2 = 15，即 = 15，可得cosa= ， 1+k k cosa 15 1 2 sin2a 则sin2a+cos2a=sin2a+ =1， 15 第4页 | 共28页æ πö 15 且aÎ ç 0, ÷，则sina>0，解得sina= . è 2ø 4 故选：B. S 7. 记S 为数列 a  的前n项和，设甲： a  为等差数列；乙：{ n}为等差数列，则（ ） n n n n A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判 断作答.， 【详解】方法1，甲： a  为等差数列，设其首项为a ，公差为d， n 1 n(n-1) S n-1 d d S S d 则S =na + d, n =a + d = n+a - , n+1 - n = ， n 1 2 n 1 2 2 1 2 n+1 n 2 S 因此{ n}为等差数列，则甲是乙的充分条件； n S S S nS -(n+1)S na -S 反之，乙：{ n}为等差数列，即 n+1 - n = n+1 n = n+1 n 为常数，设为t， n n+1 n n(n+1) n(n+1) na -S 即 n+1 n =t，则S =na -t×n(n+1)，有S =(n-1)a -t×n(n-1),n³2， n(n+1) n n+1 n-1 n 两式相减得：a =na -(n-1)a -2tn，即a -a =2t，对n=1也成立， n n+1 n n+1 n 第5页 | 共28页因此 a  为等差数列，则甲是乙的必要条件， n 所以甲是乙的充要条件，C正确. n(n-1) 方法2，甲： a  为等差数列，设数列 a  的首项a ，公差为d，即S =na + d， n n 1 n 1 2 S (n-1) d d S 则 n =a + d = n+a - ，因此{ n}为等差数列，即甲是乙的充分条件； n 1 2 2 1 2 n S S S S 反之，乙：{ n}为等差数列，即 n+1 - n = D, n =S +(n-1)D， n n+1 n n 1 即S =nS +n(n-1)D，S =(n-1)S +(n-1)(n-2)D， n 1 n-1 1 当n³2时，上两式相减得：S -S =S +2(n-1)D，当n=1时，上式成立， n n-1 1 于是a =a +2(n-1)D，又a -a =a +2nD-[a +2(n-1)D]=2D为常数， n 1 n+1 n 1 1 因此 a  为等差数列，则甲是乙的必要条件， n 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 1 1 8. 已知sina-b= ,cosasinb= ，则cos2a+2b=（ ）． 3 6 7 1 1 7 A. B. C. - D. - 9 9 9 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+b)，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 1 1 1 【详解】因为sin(a-b)=sinacosb-cosasinb= ，而cosasinb= ，因此sinacosb= ， 3 6 2 2 则sin(a+b)=sinacosb+cosasinb= ， 3 2 1 所以cos(2a+2b)=cos2(a+b)=1-2sin2(a+b)=1-2´( )2 = . 3 9 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关 系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角 相同或具有某种关系． 第6页 | 共28页（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得 的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 9. 有一组样本数据x ,x ,×××,x ，其中x是最小值，x 是最大值，则（ ） 1 2 6 1 6 A. x ,x ,x ,x 的平均数等于x ,x ,×××,x 的平均数 2 3 4 5 1 2 6 B. x ,x ,x ,x 的中位数等于x ,x ,×××,x 的中位数 2 3 4 5 1 2 6 C. x ,x ,x ,x 的标准差不小于x ,x ,×××,x 的标准差 2 3 4 5 1 2 6 D. x ,x ,x ,x 的极差不大于x ,x ,×××,x 的极差 2 3 4 5 1 2 6 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设x ,x ,x ,x 的平均数为m，x ,x ,×××,x 的平均数为n， 2 3 4 5 1 2 6 x +x +x +x +x +x x +x +x +x 2x +x -x +x +x +x  则n-m= 1 2 3 4 5 6 - 2 3 4 5 = 1 6 5 2 3 4 ， 6 4 12 因为没有确定2x +x ,x +x +x +x 的大小关系，所以无法判断m,n的大小， 1 6 5 2 3 4 例如：1,2,3,4,5,6，可得m=n=3.5； 例如1,1,1,1,1,7，可得m=1,n=2； 11 例如1,2,2,2,2,2，可得m=2,n= ；故A错误； 6 对于选项B：不妨设x £ x £ x £ x £ x £ x ， 1 2 3 4 5 6 x +x 可知x ,x ,x ,x 的中位数等于x ,x ,×××,x 的中位数均为 3 4 ，故B正确； 2 3 4 5 1 2 6 2 对于选项C：因为x是最小值，x 是最大值， 1 6 则x ,x ,x ,x 的波动性不大于x ,x ,×××,x 的波动性，即x ,x ,x ,x 的标准差不大于x ,x ,×××,x 的标准 2 3 4 5 1 2 6 2 3 4 5 1 2 6 差， 1 例如：2,4,6,8,10,12，则平均数n= 2+4+6+8+10+12=7， 6 第7页 | 共28页1 105 标准差s = é2-72 +4-72 +6-72 +8-72 +10-72 +12-72ù = ， 1 6ë û 3 1 4,6,8,10，则平均数m= 4+6+8+10=7， 4 1 标准差s = é4-72 +6-72 +8-72 +10-72ù = 5， 2 4ë û 105 显然 >5，即s >s ；故C错误； 1 2 3 对于选项D：不妨设x £ x £ x £ x £ x £ x ， 1 2 3 4 5 6 则x -x ³ x -x ，当且仅当x = x ,x = x 时，等号成立，故D正确； 6 1 5 2 1 2 5 6 故选：BD. p 10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L =20´lg ，其中常数 p p 0 p p >0 是听觉下限阈值， p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 0 0 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60 90 : 混合动力汽车 10 50 60 : 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p ,p ,p ，则（ ）． 1 2 3 A. p ³ p B. p >10p 1 2 2 3 C. p =100p D. p £100p 3 0 1 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可知L Î60,90,L Î50,60,L =40，结合对数运算逐项分析判断. p p p 1 2 3 【详解】由题意可知：L Î60,90,L Î50,60,L =40， p p p 1 2 3 p p p 对于选项A：可得L -L =20´lg 1 -20´lg 2 =20´lg 1 ， p 1 p 2 p p p 0 0 2 第8页 | 共28页p p 因为L ³ L ，则L -L =20´lg 1 ³0，即lg 1 ³0， p 1 p 2 p 1 p 2 p p 2 2 p 所以 1 ³1且 p , p >0，可得 p ³ p ，故A正确； p 1 2 1 2 2 p p p 对于选项B：可得L -L =20´lg 2 -20´lg 3 =20´lg 2 ， p 2 p 3 p p p 0 0 3 p p 1 因为L -L = L -40³10，则20´lg 2 ³10，即lg 2 ³ ， p 2 p 3 p 2 p p 2 3 3 p 所以 2 ³ e且 p ,p >0，可得 p ³ ep ， p 2 3 2 3 3 当且仅当L =50时，等号成立，故B错误； p 2 p p 对于选项C：因为L =20´lg 3 =40，即lg 3 =2， p 3 p p 0 0 p 可得 3 =100，即 p =100p ，故C正确； p 3 0 0 p 对于选项D：由选项A可知：L -L =20´lg 1 ， p 1 p 2 p 2 p 且L -L £90-50=40，则20´lg 1 £40， p 1 p 2 p 2 p p 即lg 1 £2，可得 1 £100，且 p , p >0，所以 p £100p ，故D正确； p p 1 2 1 2 2 2 故选：ACD. 11. 已知函数 f x 的定义域为R， f xy= y2f x+ x2f y ，则（ ）． A. f 0=0 B. f 1=0 C. f x 是偶函数 D. x=0为 f x 的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例 f(x)=0即可排除选 项D. 第9页 | 共28页ìx2ln x ,x¹0 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 f(x)=í 进行判断即可. î0,x=0 【详解】方法一： 因为 f(xy)= y2f(x)+x2f(y)， 对于A，令x= y =0， f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确. 对于B，令x= y =1， f(1)=1f(1)+1f(1)，则 f(1)=0，故B正确. 对于C，令x= y =-1， f(1)= f(-1)+ f(-1)=2f(-1)，则 f(-1)=0， 令y =-1, f(-x)= f(x)+x2f(-1)= f(x)， 又函数 f(x)的定义域为R，所以 f(x)为偶函数，故C正确， 对于D，不妨令 f(x)=0，显然符合题设条件，此时 f(x)无极值，故D错误 . 方法二： 因为 f(xy)= y2f(x)+x2f(y)， 对于A，令x= y =0， f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确. 对于B，令x= y =1， f(1)=1f(1)+1f(1)，则 f(1)=0，故B正确. 对于C，令x= y =-1， f(1)= f(-1)+ f(-1)=2f(-1)，则 f(-1)=0， 令y =-1, f(-x)= f(x)+x2f(-1)= f(x)， 又函数 f(x)的定义域为R，所以 f(x)为偶函数，故C正确， f(xy) f(x) f(y) 对于 D，当x2y2 ¹0时，对 f(xy)= y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到 = + ， x2y2 x2 y2 f(x) ìx2ln x ,x¹0 故可以设 =ln x (x¹0)，则 f(x)=í ， x2 î0,x=0 1 当x>0肘， f(x)= x2lnx，则 f¢x=2xlnx+x2× = x(2lnx+1)， x 令 f¢x<0，得 - 1 ；令 f¢(x)>0，得 -1 ； 0< xe 2 æ 1 ö æ 1 ö - - 故 f(x)在ç0,e 2 ÷上单调递减，在çe 2,+¥÷上单调递增， è ø è ø 第10页 | 共28页æ 1 ö æ 1 ö - - 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)在ç-e 2,0÷上单调递增，在ç-¥,e 2 ÷上单调递减， è ø è ø 显然，此时x=0是 f(x)的极大值，故D错误. 故选：ABC. 12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为0.99m的球体 B. 所有棱长均为1.4m的四面体 C. 底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D. 底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为0.99m<1m，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故A正确； 对于选项B：因为正方体的面对角线长为 2m，且 2 >1.4， 所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 对于选项C：因为正方体的体对角线长为 3m，且 3 <1.8， 所以不能够被整体放入正方体内，故C正确； 对于选项D：因为正方体的体对角线长为 3m，且 3 >1.2， 设正方体ABCD-ABC D 的中心为O，以AC 为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O 到正方体的表 1 1 1 1 1 1 面的最近的距离为hm， 1 3 3 如图，结合对称性可知：OC = C A= ,CO =OC -OO = -0.6， 1 2 1 2 1 1 1 1 2 第11页 | 共28页3 h CO -0.6 1 0.6 则 = 1 1 ，即h 2 ，解得h= - >0.34>0.01， AA C A = 2 3 1 1 1 3 所以能够被整体放入正方体内，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合 正方体以及圆柱的性质分析判断. 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分． 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每 类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C1C1 =16种； 4 4 （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C1C2 =24种； 4 4 ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C2C1 =24种； 4 4 综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种. 故答案为：64. 14. 在正四棱台ABCD-ABC D 中，AB =2,AB =1,AA = 2，则该棱台的体积为________． 1 1 1 1 1 1 1 7 6 7 【答案】 ## 6 6 6 【解析】 【分析】结合图像，依次求得AO,AO,AM ，从而利用棱台的体积公式即可得解. 1 1 1 【详解】如图，过A作AM ^ AC，垂足为M ，易知AM 为四棱台ABCD-ABC D 的高， 1 1 1 1 1 1 1 第12页 | 共28页因为AB=2,AB =1,AA = 2， 1 1 1 1 1 2 1 1 则AO = AC = ´ 2AB = ,AO= AC = ´ 2AB= 2， 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 6 故AM = AC-AC = ，则AM = AA2 -AM2 = 2- = ， 2 1 1 2 1 1 2 2 1 6 7 6 所以所求体积为V = ´(4+1+ 4´1)´ = . 3 2 6 7 6 故答案为： . 6 15. 已知函数 f x=coswx-1(w>0)在区间 0,2π 有且仅有3个零点，则w的取值范围是________． 【答案】[2,3) 【解析】 【分析】令 f(x)=0，得coswx=1有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为0≤x≤2π，所以0≤wx≤2wπ， 令 f(x)=coswx-1=0，则coswx=1有3个根， 令t =wx，则cost =1有3个根，其中tÎ[0,2wπ]， 结合余弦函数y =cost的图像性质可得4π£2wπ<6π，故2£w<3， 故答案为：[2,3). x2 y2 16. 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F,F ．点A在C上，点 B在 y轴上， a2 b2 1 2 uuur uuur uuuur 2uuuur FA^ FB,F A=- F B，则C的离心率为________． 1 1 2 3 2 第13页 | 共28页3 5 3 【答案】 ## 5 5 5 【解析】 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 AF , BF , BF , AF 关于a,m的表达式， 2 2 1 1 从而利用勾股定理求得a =m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解. 5 2 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x = c,y =- t ，t2 =4c2，将点A代入双曲 0 3 0 3 线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设 AF =2m，则 BF =3m= BF , AF =2a+2m， 2 2 1 1 在Rt V ABF 1 中，9m2 +(2a+2m)2 =25m2，则(a+3m)(a-m)=0，故a =m或a =-3m（舍去）， 所以 AF =4a, AF =2a， BF = BF =3a，则 AB =5a， 1 2 2 1 AF 4a 4 故cosÐFAF = 1 = = ， 1 2 AB 5a 5 16a2 +4a2 -4c2 4 所以在△AFF 中，cosÐFAF = = ，整理得5c2 =9a2， 1 2 1 2 2´4a´2a 5 c 3 5 故e= = . a 5 方法二: 依题意，得F(-c,0),F (c,0)，令Ax ,y ,B(0,t)， 1 2 0 0 uuuur 2uuuur 2 5 2 因为F A=- F B，所以x -c,y =- -c,t，则x = c,y =- t ， 2 3 2 0 0 3 0 3 0 3 uuur uuur uuur uuur æ8 2 ö 8 2 又FA^ FB，所以FA×FB= ç c,- t ÷ c,t = c2 - t2 =0，则t2 =4c2， 1 1 1 1 è3 3 ø 3 3 第14页 | 共28页25 4 c2 t2 25c2 4t2 25c2 16c2 又点A 在C上，则 9 9 ，整理得 - =1，则 - =1， - =1 9a2 9b2 9a2 9b2 a2 b2 所以25c2b2 -16c2a2 =9a2b2，即25c2 c2 -a2 -16a2c2 =9a2 c2 -a2 ， 整理得25c4 -50c2 +9a4 =0，则  5c2 -9a2 5c2 -a2 =0，解得5c2 =9a2或5c2 =a2， 3 5 5 3 5 又e>1，所以e= 或e= （舍去），故e= . 5 5 5 3 5 故答案为： . 5 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定 理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解. 四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知在 ABC中，A+B =3C,2sinA-C=sinB． V （1）求sinA； （2）设AB=5，求AB边上的高． 3 10 【答案】（1） 10 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b，根据等面积法 求解即可. 【小问1详解】 A+B=3C， Q π \π-C =3C ，即C = ， 4 又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C)， \2sinAcosC-2cosAsinC =sinAcosC+cosAsinC， \sin AcosC =3cosAsinC， \sin A=3cosA， 第15页 | 共28页π 即tanA=3，所以0< A< ， 2 3 3 10 \sin A= = . 10 10 【小问2详解】 1 10 由（1）知，cosA= = ， 10 10 2 3 10 10 2 5 由sinB =sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC = ( + )= ， 2 10 10 5 2 5 5´ c b 5 由正弦定理， = ，可得b= =2 10 ， sinC sinB 2 2 1 1 \ AB×h= AB×AC×sin A， 2 2 3 10 \h=b×sinA=2 10´ =6. 10 18. 如 图 ， 在 正 四 棱 柱 ABCD-ABC D 中 ， AB =2,AA =4． 点 A ,B ,C ,D 分 别 在 棱 1 1 1 1 1 2 2 2 2 AA,BB,CC ,DD 上，AA =1,BB = DD =2,CC =3． 1 1 1 1 2 2 2 2 （1）证明：B C ∥A D ； 2 2 2 2 （2）点P在棱BB 上，当二面角P- AC -D 为150°时，求B P． 1 2 2 2 2 【答案】（1）证明见解析； （2）1 【解析】 第16页 | 共28页【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设P(0,2,l)(0£l£4)，利用向量法求二面角，建立方程求出l即可得解. 【小问1详解】 以C为坐标原点，CD,CB,CC 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 1 则C(0,0,0),C (0,0,3),B (0,2,2),D (2,0,2),A (2,2,1)， 2 2 2 2 uuuuur uuuuur \B C =(0,-2,1),A D =(0,-2,1)， 2 2 2 2 uuuuur uuuuur \B C ∥A D ， 2 2 2 2 又B C，A D 不在同一条直线上， 2 2 2 2 \B C ∥A D . 2 2 2 2 【小问2详解】 设P(0,2,l)(0£l£4)， uuuuur uuuur uuuuur 则AC =(-2,-2,2),PC =(0,-2,3-l),D C =(-2,0,1)， 2 2 2 2 2 设平面PAC 的法向量n r =(x,y,z)， 2 2 uuuuur ì ïn r ×AC =-2x-2y+2z =0 2 2 则í uuuur ， r ïî n×PC =-2y+(3-l)z =0 2 令 z =2，得y =3-l,x=l-1， r \n=(l-1,3-l,2)， ur 设平面AC D 的法向量m=(a,b,c)， 2 2 2 第17页 | 共28页uuuuur ì ïm r ×AC =-2a-2b+2c=0 2 2 则í uuuuur ， r ïî m×D C =-2a+c=0 2 2 令 a =1，得b=1,c =2， ur \m=(1,1,2)， r ur n×m r ur 6 3 \cos n,m = = = cos150° = ， r ur n m 6 4+(l-1)2 +(3-l)2 2 化简可得，l2 -4l+3=0， 解得l=1或l=3， \P(0,2,1)或P(0,2,3)， \B P=1. 2 19. 已知函数 f x=a  ex +a  -x． （1）讨论 f x 的单调性； 3 （2）证明：当a>0时， f x>2lna+ ． 2 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论a£0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 1 （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 a2 - -lna>0的恒成立问题，构造函数 2 1 ga=a2 - -lnaa>0，利用导数证得ga>0即可. 2 方法二：构造函数hx=ex -x-1，证得ex ³ x+1，从而得到 f(x)³ x+lna+1+a2 -x，进而将问题 1 转化为a2 - -lna>0的恒成立问题，由此得证. 2 【小问1详解】 因为 f(x)=a  ex +a  -x，定义域为R ，所以 f¢x=aex -1， 当a£0时，由于ex >0，则aex £0，故 f¢x=aex -1<0恒成立， 所以 f x 在R 上单调递减； 第18页 | 共28页当a>0时，令 f¢x=aex -1=0，解得x =-lna， 当x<-lna时， f¢x<0，则 f x 在 -¥,-lna 上单调递减； 当x >-lna时， f¢(x)>0，则 f x 在 -lna,+¥ 上单调递增； 综上：当a£0时， f x 在R 上单调递减； 当a>0时， f x 在 -¥,-lna 上单调递减， f x 在 -lna,+¥ 上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得， f x = f -lna=a  e-lna +a  +lna =1+a2 +lna， min 3 3 1 要证 f(x)>2lna+ ，即证1+a2 +lna >2lna+ ，即证a2 - -lna>0恒成立， 2 2 2 1 1 2a2 -1 令ga=a2 - -lnaa>0，则g¢a=2a- = ， 2 a a 2 2 令g¢a<0，则00，则a> ； 2 2 æ 2 ö æ 2 ö 所以ga 在ç0, ÷上单调递减，在ç ,+¥÷上单调递增， ç ÷ ç ÷ 2 2 è ø è ø 2 æ 2 ö æ 2 ö 1 2 所以ga = gç ÷=ç ÷ - -ln =ln 2 >0，则ga>0恒成立， min ç 2 ÷ ç 2 ÷ 2 2 è ø è ø 3 所以当a>0时， f(x)>2lna+ 恒成立，证毕. 2 方法二： 令hx=ex -x-1，则h¢x=ex -1， 由于y=ex在R 上单调递增，所以h¢x=ex -1在R 上单调递增， 又h¢0=e0 -1=0， 所以当x <0时，h¢x<0；当x>0时，h¢x>0； 所以hx 在 -¥,0 上单调递减，在 0,+¥ 上单调递增， 故hx³h0=0，则ex ³ x+1，当且仅当x=0时，等号成立， 因为 f(x)=a  ex +a  -x=aex +a2 -x=ex+lna +a2 -x³ x+lna+1+a2 -x， 第19页 | 共28页当且仅当x+lna =0，即x =-lna时，等号成立， 3 3 1 所以要证 f(x)>2lna+ ，即证x+lna+1+a2 -x>2lna+ ，即证a2 - -lna>0， 2 2 2 1 1 2a2 -1 令ga=a2 - -lnaa>0，则g¢a=2a- = ， 2 a a 2 2 令g¢a<0，则00，则a> ； 2 2 æ 2 ö æ 2 ö 所以ga 在ç0, ÷上单调递减，在ç ,+¥÷上单调递增， ç ÷ ç ÷ 2 2 è ø è ø 2 æ 2 ö æ 2 ö 1 2 所以ga = gç ÷=ç ÷ - -ln =ln 2 >0，则ga>0恒成立， min ç 2 ÷ ç 2 ÷ 2 2 è ø è ø 3 所以当a>0时， f(x)>2lna+ 恒成立，证毕. 2 n2 +n 20. 设等差数列 a  的公差为d，且d >1．令b = ，记S ,T 分别为数列 a ,b  的前n项和． n n a n n n n n （1）若3a =3a +a ,S +T =21，求 a  的通项公式； 2 1 3 3 3 n （2）若 b  为等差数列，且S -T =99，求d． n 99 99 【答案】（1）a =3n n 51 （2）d = 50 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由{b }为等差数列得出a =d 或a =2d，再由等差数列的性质可得a -b =1，分类讨论即可得解. n 1 1 50 50 【小问1详解】 Q 3a 2 =3a 1 +a 3 ，\3d =a 1 +2d ，解得a 1 =d ， \S =3a =3(a +d)=6d ， 3 2 1 2 6 12 9 又T =b +b +b = + + = ， 3 1 2 3 d 2d 3d d 9 \S +T =6d + =21， 3 3 d 1 即2d2 -7d +3=0，解得d =3或d = （舍去）， 2 第20页 | 共28页\a =a +(n-1)×d =3n. n 1 【小问2详解】 {b }为等差数列， Q n 12 2 12 \2b =b +b ，即 = + ， 2 1 3 a a a 2 1 3 1 1 6d 1 \6( - )= = ，即a2 -3ad +2d2 =0，解得a =d 或a =2d， a a a a a 1 1 1 1 2 3 2 3 1 d >1，\a >0， Q n 又S -T =99，由等差数列性质知，99a -99b =99，即a -b =1， 99 99 50 50 50 50 2550 \a - =1，即a2 -a -2550=0，解得a =51或a =-50（舍去） 50 a 50 50 50 50 50 当a =2d时，a =a +49d =51d =51，解得d =1，与d >1矛盾，无解； 1 50 1 51 当a =d 时，a =a +49d =50d =51，解得d = . 1 50 1 50 51 综上，d = . 50 21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投 篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量X 服从两点分布，且PX =1=1-PX =0=q,i =1,2,×××,n，则 i i i i æ n ö n E ç åX ÷ =åq ．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求EY ． i i è ø i=1 i=1 【答案】（1）0.6 i-1 1 æ2ö 1 （2） ´ ç ÷ + 6 è5ø 3 5 é æ2ö nù n （3）E(Y)= ê1- ç ÷ ú+ 18êë è5ø úû 3 【解析】 第21页 | 共28页【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设PA= p ，由题意可得 p =0.4p +0.2，根据数列知识，构造等比数列即可解出； i i i+1 i （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第i次投篮的人是甲”为事件A，“第i次投篮的人是乙”为事件B ， i i 所以，PB = PAB +PBB = PA PB | A +PB PB |B  2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 =0.5´1-0.6+0.5´0.8=0.6. 【小问2详解】 设PA= p ，依题可知，PB =1- p ，则 i i i i PA = PAA +PB A = PAPA | A+PB PA |B  ， i+1 i i+1 i i+1 i i+1 i i i+1 i 即 p =0.6p +1-0.8´1- p =0.4p +0.2， i+1 i i i 构造等比数列 p +l ， i 2 1 1 2æ 1ö 设 p +l= p +l，解得l=- ，则 p - = ç p - ÷， i+1 5 i 3 i+1 3 5è i 3ø 1 1 1 ì 1ü 1 2 又 p = , p - = ，所以íp - ý是首项为 ，公比为 的等比数列， 1 2 1 3 6 î i 3þ 6 5 i-1 i-1 1 1 æ2ö 1 æ2ö 1 即 p - = ´ ,p = ´ + ． ç ÷ ç ÷ i 3 6 è5ø i 6 è5ø 3 【小问3详解】 i-1 1 æ2ö 1 因为 p = ´ + ，i =1,2,×××,n， ç ÷ i 6 è5ø 3 n æ2ö 1- 1 ç è5 ÷ ø n 5 é æ2ö nù n 所以当nÎN*时，EY= p 1 + p 2 + L + p n = 6 ´ 1- 2 + 3 = 18 ê êë 1- ç è5 ÷ ø ú úû + 3 ， 5 5 é æ2ö nù n 故E(Y)= ê1- ç ÷ ú+ ． 18êë è5ø úû 3 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数 列的基本知识求解． 第22页 | 共28页æ 1ö 22. 在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点ç 0, ÷的距离，记动点P的轨迹为W ． è 2ø （1）求W 的方程； （2）已知矩形ABCD有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于3 3． 1 【答案】（1）y= x2 + 4 （2）见解析 【解析】 2 æ 1ö 【分析】（1）设P(x,y)，根据题意列出方程x2 + ç y- ÷ = y2，化简即可； è 2ø æ 1ö æ 1ö æ 1ö （2）法一：设矩形的三个顶点 A ç a,a2 + ÷ ,B ç b,b2 + ÷ ,C ç c,c2 + ÷，且 a0，且mn=-1，利用放缩法得 C ³ ç n+ ÷ 1+n2 ，设函数 AB BC 2 è nø 2 f(x)= æ ç x+ 1ö ÷  1+x2 ，利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可. è xø 1 法二：设直线 AB的方程为 y =k(x-a)+a2 + ，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得 4  1+k23 ，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可. AB + AD ³ k2 法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明. 【小问1详解】 æ 1ö 2 1 设P(x,y),则 y = x2 + y- ，两边同平方化简得y= x2 + ， ç ÷ è 2ø 4 1 故W : y = x2 + . 4 【小问2详解】 æ 1ö æ 1ö æ 1ö 法一：设矩形的三个顶点A ç a,a2 + ÷ ,B ç b,b2 + ÷ ,C ç c,c2 + ÷在W 上,且a0，且mn=-1，则m = - ， BC n 1 设矩形周长为C,由对称性不妨设|m|³|n|，k -k =c-a =n-m=n+ ， BC AB n 1 æ 1ö 则 C =| AB|+|BC|=(b-a) 1+m2 +(c-b) 1+n2 ³(c-a) 1+n2 = ç n+ ÷ 1+n2 .n>0，易知 2 è nø æ 1ö n+ 1+n2 >0 ç ÷ è nø 2 2 则令 f(x)= æ ç x+ 1ö ÷  1+x2 ,x>0, f¢(x)=2 æ ç x+ 1ö ÷ æ ç 2x- 1ö ÷, è xø è xø è xø 2 令 f¢(x)=0，解得x= ， 2 æ 2 ö 当xÎç0, ÷时， f¢(x)<0，此时 f(x)单调递减， ç ÷ 2 è ø æ 2 ö 当xÎç ,+¥÷， f¢(x)>0，此时 f(x)单调递增， ç ÷ 2 è ø æ 2 ö 27 则 f(x) = f ç ÷= ， min ç 2 ÷ 4 è ø 1 27 3 3 故 C ³ = ,即C ³3 3. 2 4 2 2 当C =3 3时,n= ,m=- 2 ,且(b-a) 1+m2 =(b-a) 1+n2 ，即m=n时等号成立，矛盾，故 2 C >3 3, 得证. 第24页 | 共28页法二：不妨设A,B,D在W 上，且BA^ DA， æ 1ö 依题意可设A ç a,a2 + ÷，易知直线BA，DA的斜率均存在且不为0， è 4ø 1 则设BA,DA的斜率分别为k和- ，由对称性，不妨设 k £1， k 1 直线AB的方程为y =k(x-a)+a2 + ， 4 ì 1 y = x2 + ï ï 4 则联立í 得x2 -kx+ka-a2 =0， 1 ï y =k(x-a)+a2 + ïî 4 D=k2 -4  ka-a2 =k-2a2 >0，则k ¹2a 则| AB|= 1+k2 |k-2a|， 1 1 同理| AD|= 1+ +2a ， k2 k 1 1 \| AB|+| AD|= 1+k2 |k-2a|+ 1+ +2a k2 k æ 1 ö 1  1+k23 ³ 1+k2 k-2a + +2a ³ 1+k2 k+ = ç ÷ è k ø k k2 (m+1)3 1 令k2 =m，则mÎ0,1 ，设 f(m)= =m2 +3m+ +3， m m 1 (2m-1)(m+1)2 1 则 f¢(m)=2m+3- = ，令 f¢(m)=0，解得m= ， m2 m2 2 æ 1ö 当mÎ ç 0, ÷时， f¢(m)<0，此时 f(m)单调递减， è 2ø æ1 ö 当mÎ ç ,+¥ ÷， f¢(m)>0，此时 f(m)单调递增， è2 ø 第25页 | 共28页æ1ö 27 则 f(m) = f ç ÷ = ， min è2ø 4 3 3 \| AB|+| AD|³ ， 2 1 1 æ 1 ö 但 1+k2 |k-2a|+ 1+ +2a ³ 1+k2 ç |k-2a|+ +2a ÷，此处取等条件为k=1，与最终取等 k2 k è k ø 2 3 3 时k = 不一致，故 AB + AD > . 2 2 1 法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线W¢: y = x2, 4 矩形ABCD变换为矩形A¢B¢C¢D¢,则问题等价于矩形A¢B¢C¢D¢的周长大于3 3. 设 B¢ t ,t2 ,A¢ t ,t2 ,C¢ t ,t2 , 根据对称性不妨设 t ³0. 0 0 1 1 2 2 0 则 k =t +t ,k =t +t , 由于 A¢B¢^ B¢C¢, 则 t +t t +t =-1. A¢B¢ 1 0 B¢C¢ 2 0 1 0 2 0 由于 A¢B¢ = 1+t +t 2 t -t , B¢C¢ = 1+t +t 2 t -t , 且 t 介于 t ,t 之间, 1 0 1 0 2 0 2 0 0 1 2 则 A¢B¢ + B¢C¢ = 1+t +t 2 t -t + 1+t +t 2 t -t . 令 t +t =tanq, 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 æ πö t +t =-cotq,qÎ ç 0, ÷,则t =tanq-t ,t =-cotq-t ,从而 1 0 è 2ø 2 0 1 0 A¢B¢ + B¢C¢ = 1+cot2q2t +cotq+ 1+tan2qtanq-2t  0 0 æ 1 1 ö sinq cosq 2t (cosq-sinq) sin3q+cos3q 故 A¢B¢ + B¢C¢ =2t ç - ÷ + + = 0 + 0 èsinq cosqø cos2q sin2q sinqcosq sin2qcos2q æ πù ①当qÎ ç 0, ú 时, è 4û sin3q+cos3q sinq cosq 1 2 A¢B¢ + B¢C¢ ³ = + ³2 =2 ³2 2 sin2qcos2q cos2q sin2q sinqcosq sin2q æπ πö ②当 qÎ ç , ÷ 时,由于t + = + sin2qcos3q sin2qcos2q cosq sin2q 2 2 = = sin2qsin2q×2cos2q  1-cos2q  1-cos2q  ×2cos2q 2 2 3 3 ³ ³ = æ 1-cos2q  +  1-cos2q  +2cos2qö 3 æ2ö 3 2 ， ç ÷ ç ÷ ç 3 ÷ è3ø è ø 3 3 3 当且仅当cosq = 时等号成立，故 A¢B¢ + B¢C¢ > ，故矩形周长大于3 2. 3 2 . 1 æ 1ö 【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得 C =| AB|+|BC|³ ç n+ ÷ 1+n2 ，同时为了简 2 è nø 便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可. 第27页 | 共28页第28页 | 共28页