文档内容
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页
，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时
，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么P(A B)= P(A)+P(B)．
U
·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B)．
·圆柱的体积公式V =Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．
1
·棱锥的体积公式V = Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．
3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C ={xÎR|1£ x<3}，则(A C) B=
I U
A．2 B．2,3 C．-1,2,3 D．1,2,3,4
ìx+ y-2£0,
ï
ïx- y+2³0,
2．设变量x,y满足约束条件í 则目标函数z =-4x+ y的最大值为
x³-1,
ï
ï îy³-1,
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设xÎR，则“x2 -5x<0”是“|x-1|<1”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
第1页 | 共23页C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为
A．5 B．8 C．24 D．29
x2 y2
5．已知抛物线y2 =4x的焦点为F ，准线为l，若l与双曲线 - =1 (a>0,b>0)的两条渐近线分
a2 b2
别交于点A和点B，且| AB|=4|OF |（O为原点），则双曲线的离心率为
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
6．已知a=log 2，b=log 0.2，c=0.50.2，则a,b,c的大小关系为
5 0.5
A．a0,w>0,|j|1.
第2页 | 共23页的取值范围为
A．0,1 B．0,2 C．0,e D．1,e
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
5-i
9．i是虚数单位，则 的值为_____________．
1+i
8
æ 1 ö
10．ç 2x- ÷ 的展开式中的常数项为_____________．
è 8x3 ø
11．已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
ìx=2+2cosq,
12．设aÎR，直线ax- y+2=0和圆í （q为参数）相切，则a的值为_____________．
îy =1+2sinq
(x+1)(2y+1)
13．设x>0, y >0, x+2y =5，则 的最小值为_____________．
xy
14．在四边形ABCD中，AD∥BC, AB=2 3, AD=5, ÐA=30°，点E在线段CB的延长线上
uuur uuur
，且AE = BE，则BD×AE =_____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b+c=2a，3csinB=4asinC．
第3页 | 共23页（Ⅰ）求cosB的值；
æ pö
（Ⅱ）求sin ç 2B+ ÷的值．
è 6ø
16．（本小题满分13分）
2
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不
3
影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望
；
（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的
天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图，AE ^平面ABCD，CF∥AE, AD∥BC ，AD^ AB, AB= AD=1, AE = BC =2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
（Ⅲ）若二面角E-BD-F 的余弦值为 ，求线段CF 的长．
3
18．（本小题满分13分）
x2 y2 5
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ．
a2 b2 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的
负半轴上．若|ON |=|OF |（O为原点），且OP^MN，求直线PB的斜率．
第4页 | 共23页19．（本小题满分14分）
设a 是等差数列，b 是等比数列．已知a =4,b =6，b =2a -2,b =2a +4．
n n 1 1 2 2 3 3
（Ⅰ）求a 和b 的通项公式；
n n
ì1, 2k 0,b>0)的离心率e= = 1+ 。
ç ÷
a2 b2 a èaø
6
【答案】A
第8页 | 共23页【解析】
【分析】
1
利用利用0, ,1等中间值区分各个数值的大小。
2
1
【详解】a =log 2log 0.25=2，
0.5 0.5
1
0.51 <0.50.2 <0.50，故 0，
当a<1时， f(1)=1>0，
故当a³0时，x2 -2ax+2a³0在(-¥,1]上恒成立；
x
若x-alnx³0在(1,+¥)上恒成立，即a£ 在(1,+¥)上恒成立，
lnx
x lnx-1
令g(x)= ，则g'(x)= ，
lnx (lnx)2
易知x=e为函数g(x)在(1,+¥)唯一的极小值点、也是最小值点，
故g(x) = g(e)=e，所以a£e。
max
综上可知，a的取值范围是[0,e]。
故选C。
【点睛】a£ f(x)在D上恒成立，等价于a£ f(x) ,xÎD；a³ f(x)在D上恒成立，等价于
min
a³ f(x) ,xÎD。
max
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共6小题.
5-i
9.i是虚数单位，则 的值为________.
1+i
【答案】 13
【解析】
第10页 | 共23页【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
5-i (5-i)(1-i)
【详解】解法一： = = 2-3i = 13。
1+i (1+i)(1-i)
5-i 5-i 26
解法二： = = = 13。
1+i 1+i 2
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形
式，再根据题意求解．
8
æ 1 ö
10.ç 2x- ÷ 是展开式中的常数项为________.
è 8x3 ø
【答案】28
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。
1
【详解】T =Cr(2x)8-r(- )r =(-1)r28-4rCrx8-4r ，
r+1 8 8x3 8
由8-4r =0，得r= 2，
故所求的常数项为(-1)2C2 =28.
8
【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。
11.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.
π
【答案】
4
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为 5-1=2，
第11页 | 共23页1
故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为 ，
2
2
æ1ö p
故其体积为p´ ´1= 。
ç ÷
è2ø 4
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
ìx=2+2cosq,
12.设aÎR，直线ax- y+2=0和圆í （q为参数）相切，则a的值为____.
îy =1+2sinq
3
【答案】
4
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a满足的方程，解之解得。
【详解】圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，
2a+1
所以 =2，
a2 +1
即4a2 +4a+1=4a2 +4，
3
解得a= 。
4
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出
判断。
(x+1)(2y+1)
13.设x>0, y >0, x+2y =5，则 的最小值为______.
xy
【答案】4 3
【解析】
【分析】
把分子展开化为2xy+6，再利用基本不等式求最值。
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+6 2 2xy×6
【详解】 = = ³ =4 3，
xy xy xy xy
第12页 | 共23页等号当且仅当xy =3，即x=3,y =1时成立。
故所求的最小值为4 3。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14.在四边形ABCD中，AD∥BC, AB =2 3, AD=5, ÐA=30°，点E在线段CB的延长线上，
uuuv uuuv
且AE = BE，则BD×AE =_________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】解法一：如图，过点B作AE的平行线交AD于F ，
因为AE = BE，故四边形AEBF 为菱形。
uuur 2uuur
因为ÐBAD=30°，AB=2 3，所以AF =2，即AF = AD.
5
uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur
因为AE = FB= AB-AF = AB- AD，
5
uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur 7uuur uuur uuur2 2uuur2 7 3
所以BD AE =(AD-AB) (AB- AD)= AB AD- AB - AD = ´2 3´5´ -12-10=-1
g g g
5 5 5 5 2
.
5 3 5
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则B(2 3,0)，D( , )。
2 2
因为AD∥BC，ÐBAD=30°，所以ÐCBE =30°，
因为AE = BE，所以ÐBAE=30°，
3 3
所以直线BE的斜率为 ，其方程为y = (x-2 3)，
3 3
第13页 | 共23页3 3
直线AE的斜率为- ，其方程为y =- x。
3 3
ì 3
ïy = (x-2 3),
ï 3
由í 得x= 3，y =-1，
ï 3
y =- x
ï
î 3
所以E( 3,-1)。
uuur uuur 3 5
所以BD AE =( , ) ( 3,-1)=-1。
g g
2 2
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为
方便。
三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在VABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.
（Ⅰ）求cosB的值；
æ pö
（Ⅱ）求sin ç 2B+ ÷的值.
è 6ø
1 æ pö 3 5+7
【答案】（Ⅰ）cosB=- （Ⅱ）sin 2B+ =-
ç ÷
4 è 6 ø 16
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用两角和的正弦公式可得a=2的值.
第14页 | 共23页b c
【详解】（Ⅰ）解：在VABC中，由正弦定理 = ，得bsinC =csinB，又由
sinB sinC
4 2
3csinB=4asinC，得3bsinC =4asinC，即3b=4a.又因为b+c=2a，得到b= a，c= a.由余
3 3
4 16
a2 + a2 - a2
a2 +c2 -b2 9 9 1
弦定理可得cosB= = =- .
2 2 4
2×a× a
3
15 15
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sinB= 1-cos2 B = ，从而sin2B =2sinBcosB =- ，
4 8
7
cos2B =cos2 B-sin2 B =- ，故
8
æ pö p p 15 3 7 1 3 5+7
sin 2B+ =sin2Bcos +cos2Bsin =- ´ - ´ =-
ç ÷
è 6 ø 6 6 8 2 8 2 16
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正
弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
2
16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响
3
，且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天
数恰好多2”，求事件M 发生的概率.
20
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
243
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望
公式求解数学期望即可；
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
2
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
3
æ 2ö æ2ö k æ1ö 3-k
故X ~ B
ç
3, ÷，从面PX =k=Ck
ç ÷ ç ÷
k =0,1,2,3.
è 3ø 3 è3ø è3ø
第15页 | 共23页所以，随机变量X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 4 8
P
27 9 27
2
随机变量X 的数学期望E(X)=3´ =2.
3
æ 2ö
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则Y ~ B ç 3, ÷.
è 3ø
且M ={X =3,Y =1}
U
{X =2,Y =0}.
由题意知事件 X =3,Y =1 与 X =2,Y =0 互斥，
且事件
X =3
与
Y =1
，事件
X =2
与
Y =0
均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
P(M)= P X =3,Y =1 X =2,Y =0
U
= PX =3,Y =1+PX =2,Y =0
= P(X =3)P(Y =1)+P(X =2)P(Y =0)
8 2 4 1 20
= ´ + ´ = .
27 9 9 27 243
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等
基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
17.如图，AE ^平面ABCD，CF∥AE, AD∥BC ，AD ^ AB, AB = AD =1, AE = BC =2.
第16页 | 共23页（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE ；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
（Ⅲ）若二面角E-BD-F 的余弦值为 ，求线段CF的长.
3
4 8
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ）
9 7
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可
得CF的长度.
uuur uuur uuur
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐
标系(如图)，
可得A0,0,0,B1,0,0,C1,2,0,D0,1,0,E0,0,2
.
第17页 | 共23页设CF =hh>0 ，则F1,2,h .
uuur
(Ⅰ)依题意，AB=1,0,0是平面ADE的法向量，
又 u B u F ur =0,2,h，可得 u B u F ur × u A u B ur =0，
又因为直线BF Ë平面ADE ，所以BF∥平面ADE .
uuur uuur uuur
(Ⅱ)依题意，BD =(-1,1,0), BE =(-1,0,2), CE =(-1,-2,2)，
r
设n=x,y,z为平面BDE的法向量，
uuuv
ìnv×BD=0 ì-x+ y =0
则í uuuv ，即í ，
înv×BE =0 î-x+2z =0
r
不妨令z=1，可得n=2,2,1，
uuur r
uuur r CE×n 4
因此有cosáCE,nñ = uuur r =- .
|CE||n| 9
4
所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 .
9
uuuv
ur ìmv×BD=0 ì-x+ y =0
(Ⅲ)设m=x,y,z为平面BDF的法向量，则í uuuv ，即í .
îmv×BF =0 î2y+hz =0
ur æ 2ö
不妨令y=1，可得m= ç 1,1,- ÷.
è hø
2
ur r 4-
m×n
ur r h 1 8
由题意，有 cos m,n = = = ，解得h= .
ur r
m ´ n 4 3 7
3 2+
h2
经检验，符合题意｡
8
所以，线段CF的长为 .
7
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决
立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
x2 y2 5
18.设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .
a2 b2 5
第18页 | 共23页（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的负半
轴上.若|ON |=|OF |（O为原点），且OP^MN，求直线PB的斜率.
2 30 2 30
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 或- .
5 5
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的值，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式
，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ)
c 5
设椭圆的半焦距为c，依题意，2b=4, = ，又a2 =b2 +c2，可得a= 5 ，b=2，c=1.
a 5
所以，椭圆方程为.
(Ⅱ)由题意，设Px ,y x ¹0,M x ,0 .设直线PB的斜率为kk ¹0 ，
P P P M
ìy =kx+2
ï
又B 0,2 ，则直线PB的方程为y = kx+2，与椭圆方程联立íx2 y2 ，
+ =1
ï
î 5 4
20k
整理得 4+5k2 x2 +20kx=0，可得x =- ，
P 4+5k2
8-10k2
代入y = kx+2得y = ，
P 4+5k2
y 4-5k2
进而直线OP的斜率 P = ，
x -10k
P
2
在y = kx+2中，令y =0，得x =- .
M k
k
由题意得N0,-1 ，所以直线MN的斜率为- .
2
4-5k2 æ k ö
由OP^MN，得 × ç - ÷ =-1，
-10k è 2ø
第19页 | 共23页24 2 30
化简得k2 = ，从而k =± .
5 5
2 30 2 30
所以，直线PB的斜率为 或- .
5 5
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的
性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.
19.设 a 是等差数列， b 是等比数列.已知a =4,b =6，b =2a -2,b =2a +4.
n n 1 1 2 2 3 3
（Ⅰ）求
a
和
b
的通项公式；
n n
ì1, 2k cosx，得 f 'x<0，则 f x 单调递减;
è 4 4 ø
æ 3p pö
当xÎ ç 2kp- ,2kp+ ÷ kÎZ 时，有sinx0，则 f x 单调递增.
è 4 4ø
æ 3p pö
所以， f x 的单调递增区间为ç 2kp- ,2kp+ ÷ kÎZ ，
è 4 4ø
æ p 5pö
f x 的单调递减区间为ç 2kp+ ,2kp+ ÷ kÎZ .
è 4 4 ø
æp ö
(Ⅱ)记hx= f x+gx ç -x ÷.依题意及(Ⅰ)有：gx=excosx-sinx ，
è 2 ø
æp pö
从而g'(x)=-2exsinx.当xÎ
ç
, ÷时，g'x<0，故
è 4 2 ø
æp ö æp ö
h'(x)= f '(x)+g'(x)
ç
-x
÷
+g(x)(-1)= g¢(x)
ç
-x
÷
<0.
è 2 ø è 2 ø
ép pù æpö æpö
因此，hx 在区间 ê , ú 上单调递减，进而h(x)…h ç ÷ = f ç ÷ =0.
ë4 2û è 2ø è 2ø
ép pù æp ö
所以，当xÎ ê , ú 时， f(x)+g(x) ç -x ÷ …0.
ë4 2û è 2 ø
(Ⅲ)依题意，ux = f x -1=0，即ex n cosx =1.
n n n
æp pö
记y = x -2np，则y Î ç , ÷.
n n n è 4 2ø
第22页 | 共23页且 f y =ey n cosy = ex n -2npcosx -2np=e-2npnÎN .
n n n
由 f y =e-2np„ 1= f y 及(Ⅰ)得y …y .
n 0 n 0
æp pö ép pù
由(Ⅱ)知，当xÎ ç , ÷时，g'x<0，所以gx 在 ê , ú 上为减函数，
è 4 2 ø ë4 2û
æpö
因此gy „ gy < g
ç ÷
=0.
n 0 è 4ø
æp ö
又由(Ⅱ)知 f y +gy ç - y ÷ …0，故：
n n è 2 n ø
p f y e-2np e-2np e-2np e-2np
- y „ - n =- „ = < .
2 n gy gy gy ey 0 sin y -cosy sinx -cosx
n n 0 0 0 0 0
p e-2np
所以2np+ -x < .
2 n sinx -cosx
0 0
【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想
和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.
第23页 | 共23页
