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第三节 平面向量的数量积及其应用
第1课时 系统知识牢基础——平面向量的数量积
知识点一 平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠ AOB 就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b 垂直 ．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或
内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
[提醒] (1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积，这两个投影
是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ
角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos α＝|a|cos α.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；
a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.
特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.
(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(5) |a·b|≤|a|·|b|.
4．谨记常用结论
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
以上结论可作为公式使用．
5．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒] 对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定
成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个
与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．[重温经典]
1．(教材改编题)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a与b的夹
角为0°，故a∥b.
当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，
所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要条件．
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
解析：选D ∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( )
A．12 B．6
C．3 D．3
解析：选B 因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，
所以|b|＝＝6.
4．(易错题)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为
________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案：－2
5．已知两个单位向量e，e 的夹角为，若向量b＝e－2e，b＝3e＋4e，则b·b＝________.
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
解析：b·b＝(e－2e)·(3e＋4e)＝3|e|2－2e·e－8|e|2.其中|e|2＝|e|2＝1，e·e＝|e|·|e|·cos
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
＝1×1×＝，所以b·b＝－6.
1 2
答案：－6
6.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则AD·BC＝
________.
解析：AD·BC＝(AB＋AC)·(－AB＋AC)＝(－AB2＋AC2)＝－.
答案：－
知识点二 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝a⊥b的
a·b＝0 xx ＋ yy ＝ 0
1 2 1 2
充要条件
|a·b|与|a||b| |xx＋yy|≤
1 2 1 2
|a·b|≤|a||b|
的关系
[重温经典]
1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则( )
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为
解析：选CD 因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A错误；因为a＝
(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；又(a－b)·b＝1－1＝
0，故C正确；又cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故D正确．
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos
60°＝2××＝10.
答案：10
4．(易错题)向量a＝(3,4)在b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b方向上的投影为＝－.
答案：－
5．(教材改编题)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于
________．
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cosa，b
＝＝.
答案：
6．(易错题)已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为
____________________．
解析：由a·b＝2x－21<0，得x<，当a与b共线时，＝，则x＝－，故x的取值范围为x<且x≠－.
答案：∪
7．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．
解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k
＝－2.
答案：－2
