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§1.4 不等关系与不等式
考试要求 1.掌握等式的性质.2.会比较两个数(式)的大小.3.理解不等式的性质，掌握不等式
性质的简单应用．
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
2．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b b < a ⇔
传递性 a>b，b ⇔ >c a > c ⇒
可加性 a>b a ＋ c ⇒ > b ＋ c ⇔
ac > bc
⇔
可乘性 注意c的符号
ac < bc
⇒
同向可加性 a ⇒ ＋ c > b ＋ d ⇒
同向同正可乘性 ac > bd ⇒
⇒
可乘方性 a>b>0 a n > b n (n∈N，n≥1) a，b同为正数
⇒
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) a，b同为正数
⇒
⇒
微思考
1．两个正数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示 如果a>b>0，则>.
2．非零实数a，b，如果a>b，则与的大小关系如何？
提示 如果ab>0且a>b，则<.
如果a>0>b，则>.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．( √ )(2)若a>b，则ac>bc.( × )
(3)若>1，则a>b.( × )
(4)若>>0，则b>a>0.( √ )
题组二 教材改编
2．若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有( )
A．M>N B．M≥N
C．M<N D．M≤N
答案 A
解析 因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1>0，
所以M>N.
3．若a>b>0，c<d<0，则一定有( )
A.－>0 B.－<0
C.> D.<
答案 D
解析 ∵c<d<0，
∴0<－d<－c，
又0<b<a，
∴－bd<－ac，即bd>ac，
又∵cd>0，∴>，即>.
4．比较两数的大小：＋________＋.
答案 >
解析 ∵(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，
∴(＋)2>(＋)2，
∴＋>＋.
题组三 易错自纠
5．(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a<b<0，则a2>ab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
答案 BCD
解析 当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题；⇒a2>ab，⇒ab>b2，∴a2>ab>b2，
∴B中命题是真命题；a>b>0 a2>b2>0 0<<，
∵c<0，∴>，∴C中命题是真⇒命题；>⇒－>0 >0，∵a>b，∴b－a<0，ab<0，∴D中命题是真
命题，故选BCD. ⇒ ⇒6．已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________．
答案 (－6,5)
解析 ∵－3<b<5，∴－5<－b<3，
又－1<a<2，∴－6<a－b<5.
题型一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)(2021·首都师范大学附属中学月考)设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N
的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M<N D．M≤N
答案 A
解析 因为M－N＝2a(a－2)＋7－(a－2)(a－3)＝a2＋a＋1＝2＋>0，所以M>N.
(2)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
答案 B
解析 令函数f(x)＝，则f′(x)＝，
易知当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c<b<a.
(3)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
答案 eπ·πe<ee·ππ
解析 ＝＝π－e，
又0<<1,0<π－e<1，
∴π－e<1，即<1，即eπ·πe<ee·ππ.
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1 (1)(2020·唐山模拟)已知x>0，y>0，M＝，N＝，则M和N的大小关系为( )
A．M>N B．M<NC．M＝N D．以上都有可能
答案 A
解析 因为x>0，y>0，所以M－N＝－＝＝>0，即M>N.
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案 M>N
解析 方法一 M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝＝
＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 020)>f(2 021)，
即M>N.
题型二 不等式的基本性质
例2 (1)(2021·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A．若a<b，c<d，则ac<bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则－<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
答案 C
解析 若0<a<b,0<c<d，则ac<bd，故选项A错误；若ab>0，bc－ad>0，则>0，即－>0，故
选项B错误；若a>b，c>d，则－d>－c，所以a－d>b－c，故选项C正确；若c>d>0，则
>>0，若a>b>0，则>，故选项D错误．
(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是( )
A.<
B．|a|＋b>0
C．a－>b－
D．ln a2>ln b2
答案 AC
解析 由<<0，可知b<a<0.
A中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即A正确；B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确；
D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域
(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意
前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对
数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
跟踪训练2 (1)若2m>2n，则下列结论一定成立的是( )
A.> B．m|m|>n|n|
C．ln(m－n)>0 D．πm-n<1
答案 B
解析 ∵2m>2n，
可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立．
(2)(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A． B.>
C.> D．ac3<bc3
答案 ABC
解析 因为y＝ 在(0，＋∞)上是增函数，所以 ；
因为y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以>；
因为－＝>0，所以>；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立．
题型三 不等式性质的综合应用
例 3 (1)已知－1<x<4,2<y<3，则 x－y 的取值范围是________，3x＋2y 的取值范围是
________．
答案 (－4,2) (1,18)
解析 ∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.
(2)已知3<a<8,4<b<9，则的取值范围是________．
答案
解析 ∵4<b<9，∴<<，
又3<a<8，∴×3<<×8，
即<<2.
若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．
解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，
∴－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
∴3x＋2y的取值范围为.
思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求
得整体范围．
跟踪训练3 (1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是( )
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
答案 A
解析 因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－2a－c，因为a>b>c，
所以－2a－c<a，即3a>－c，解得>－3，
将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，
即a<－c，得<－1，所以－3<<－1.
(2)已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
答案
解析 ∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.课时精练
1．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 －>0 >≥0 a>b≥0 a2>b2，
但a2－b2>0⇒－>0⇒， ⇒
所以“－>0⇏ ”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．
2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列命题成立的是( )
A．a2<b2 B．ab2<a2b
C.< D.<
答案 C
解析 若a<b<0，则a2>b2，故A不成立；
若则a2b<ab2，故B不成立；
若a＝1，b＝2，则＝2，＝，>，故D不成立，由不等式的性质知，C正确．
3．如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是( )
A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy
C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2
答案 D
解析 x2－y2＝(x－y)(x＋y)，
∵x＋y<0且y>0，∴x<0，
∴x－y<0，
∴x2－y2>0，∴x2>y2，
又xy＋y2＝y(x＋y)，
∵x＋y<0，y>0，
∴y(x＋y)<0，∴y2<－xy.
又x2＋xy＝x(x＋y)>0，
∴x2>－xy，综上，x2>－xy>y2.
4．已知a∈(0,1)，a∈(0,1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是( )
1 2 1 2 1 2
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．不确定
答案 B解析 M－N＝aa－(a＋a－1)
1 2 1 2
＝aa－a－a＋1＝(a－1)(a－1)，
1 2 1 2 1 2
又a∈(0,1)，a∈(0,1)，
1 2
∴a－1<0，a－1<0.
1 2
∴(a－1)(a－1)>0，即M－N>0，∴M>N.
1 2
5．(多选)已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是( )
A．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0
答案 ABD
解析 由c<b<a且ac<0知a>0且c<0，b的正负不确定，
由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；
∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；
当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；
又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．
6．(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a
＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.则下列判断正确的有( )
A．b>c>f B．b>e>f
C．c>e>f D．b>e>c
答案 ABD
解析 因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，
所以e－c>c－e，所以e>c，
又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，
所以c－f>f－c，所以c>f，
所以e>c>f，所以C错误；
又因为a＋e<b，所以a<b，e<b，
所以b>e>c，b>e>f，b>c>f均成立，所以ABD正确.
7．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
答案 >
解析 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
故M>N.
8．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是________(填序号)．
①<；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2.
答案 ②③解析 当a>0，b<0时，>0>，故①不正确；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确．
9．近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别
为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买 3斤鸡蛋，家
庭主妇乙每周买 10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优
惠)________．(在横线上填甲或乙即可)
答案 乙
解析 由题意得甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝，由条件得a≠b.
∵－＝>0，
∴>，
即乙的购买方式更优惠．
10．(2021·浙江宁海中学月考)已知等比数列{a ，a ，a ，a}满足a∈(0,1)，a∈(1,2)，
1 2 3 4 1 2
a∈(2,3)，则a 的取值范围是________．
3 4
答案 (2，9)
解析 设等比数列{a，a，a，a}的公比为q，
1 2 3 4
由a∈(0,1)，a∈(1,2)，a∈(2,3)可知，
1 2 3
0<a<1①，1<aq<2②，2<aq2<3③，
1 1 1
由③÷②可得1<q<3，
③÷①可得q2>2，即q>或q<－，
②÷①可得q>1，
所以<q<3，所以a＝aq∈(2，9)．
4 3
11．已知a＋b>0，试比较＋与＋的大小．
解 ＋－＝＋
＝(a－b)·＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
∴≥0.
∴＋≥＋.
12．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
(2)已知c>a>b>0，求证：>.
证明 (1)∵bc≥ad，>0，∴≥，
∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴<，又∵c>0，∴<，∴<，
又c－a>0，c－b>0，∴>.
13．(多选)若0<a<1，b>c>1，则( )
A.a>1 B.>
C．ca－1<ba－1 D．loga<log a
c b
答案 AD
解析 对于A，∵b>c>1，∴>1.∵0<a<1，则a>0＝1，故正确．
对于B，若>，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0<a<1，b>c>1矛盾，故错误．
对于C，∵0<a<1，∴a－1<0.∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故错误．
对于D，∵0<a<1，b>c>1，∴loga<log a，故正确．
c b
14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
答案 ①6 ②12
解析 设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为正整数．
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时z
＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.
15．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为
( )
A．a<b≤c B．b≤c<a
C．b<c<a D．b<a<c
答案 A
解析 c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，
又b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
两式相减得2b＝2＋2a2即b＝1＋a2，
∴b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，∴b>a，∴a<b≤c.
16．观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
(1)若两组数a，a 与b，b，且a≤a，b≤b，则ab＋ab≥ab＋ab 是否成立，试证明．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
(2)若两组数a ，a ，a 与b ，b ，b 且a≤a≤a ，b≤b≤b ，对ab ＋ab ＋ab ，ab ＋
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2
ab＋ab，ab＋ab＋ab 进行大小顺序(不需要说明理由)．
2 1 3 3 1 1 2 2 3 3
解 (1)成立，证明如下：
∵ab＋ab－(ab＋ab)＝a(b－b)＋a(b－b)＝(a－a)(b－b)，
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2
又a≤a，b≤b，∴(a－a)(b－b)≥0，即ab＋ab≥ab＋ab.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
(2)ab＋ab＋ab≤ab＋ab＋ab≤ab＋ab＋ab.
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3
