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考点巩固卷 09 解三角形（七大考点）
考点01：正余弦定理的应用条件
《正弦定理》
①正弦定理：②变形：
③变形：
④变形：
⑤变形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②变形：
核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?
⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
⑵当每一项都有角《 》且次数一样时，采用角化边
⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题
⑷当每一项都有角《 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
1．在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若
， ，且 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．5
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第2页，共3页3．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，
，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．在锐角 中， ， ， 分别为三个内角 所对的边，且 ，则角
为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．在 中，角 的对边分别是 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．若 的内角 ， ， 对边分别是 ， ， ， ，且
，则（ ）
A． 外接圆的半径为 B． 的周长的最小值为
C． 的面积的最大值为 D．边 的中线 的最小值为9．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
的最大值为 .
10．已知 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 ， ，则
的最小值为 .
考点02：三角形的多解问题
在 中，已知 和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解一解
两解无解
②若A为直角或钝角时：
11．记 的内角 的对边分别为 .已知 ，若角 有两解，则 的
值可以是（ ）
A．2 B． C． D．4
试卷第4页，共3页12．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列与 有关的结论，
正确的是（ ）
A．若 是边长为1的正三角形，则
B．若 ，则 为等腰直角三角形
C．若 ， ， ，则这样的三角形有且只有两个
D．若 ， ， 为 外心，则
13．在 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 必有两解
C．若 是锐角三角形，则
D．若 ,则 为锐角三角形
14．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则符合条件的 恰有两个
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是直角三角形
15．已知 内角 对边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 的三角形有两解
16．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，以下判断正确的是
（ ）A．若 ，则 的面积为 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 有两解，则
17．在 中，内角 所对的边分别为 , ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．当 时， 最小值为
C．当 有两个解时， 的取值范围是
D．当 为锐角三角形时， 的取值范围是
18．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ， 的三角形有两解，则 的取值范围为
19．已知 的内角 所对的边分别为 ，下列四个命题中正确的命题是
（ ）
A．若 ， ， ，则符合条件的 有两个
B．若 ， ， ，则符合条件的 有且只有一个
C．若 ，则 一定是锐角三角形
D．若 ，则 一定是等腰三角形
20．在 中， ， ，若 存在且唯一，则 的一个取值为 ．
试卷第6页，共3页考点03：判断三角形形状问题
Ⅰ：特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理： ，
互余关系： ， ， ；
（2）等腰三角形
， ；
Ⅱ：用余弦定理判定三角形的形状（最大角 的余弦值的符号）
（1）在 中， ；
（2）在 中， ；
（3）在 中， ；
21．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的形
状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
22．在 ABC中，若c＝2a cos B，则 ABC的形状为（ ）
A．△直角三角形 △ B．等腰三角形
C．等边三角形 D．非等边三角形
23．若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
24．记 的内角 的对边分别为 ，则（ ）
A．当 时， 为直角三角形
B．当 时， 最大角与最小角之和为C．当 .时，
D．当 时， 为锐角三角形
25．在 中，下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 为锐角三角形，则
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 为钝角三角形，且 ，则 的面积为 或
26．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若 为锐角三角形，则
B．若 ，则 为等腰或直角三角形
C．若 ，则 不一定为直角三角形
D．若 ，则 解的个数为1
27．已知a，b，c分别为 内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．若 ， ，且 有唯一解，则 或
D．若 ， 的平分线交AC于点D， ，则 的最大值为9.
28．在 中，角 ， ， 所对的边依次为 ， ， ，已知 ，
则下列结论中正确的是（ ）
A．
B． 为钝角三角形
试卷第8页，共3页C．若 ，则 的面积是
D．若 的外接圆半径是 ，内切圆半径为 ，则
29．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，下列结论
正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当 时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
30．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若 ，则 为钝角三角形
C．若 不是直角三角形，则
D．若 ，则 为等腰三角形
考点04：三角形面积定值问题
三角形面积公式
①
② 其中 分别为 内切圆半径及 的周长
推导：将 分为三个分别以 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角
形，利用等面积法即可得到上述公式
③ （ 为 外接圆的半径）推导：将 代入 可得
将 代入
可得
④
⑤海伦公式 （其中 ）
推导：根据余弦定理的推论
令 ，整理得
31．在 中， ， ， ，则 的面积为 .
32．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则
的面积为 ．
33．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
34．已知锐角 的内角 的对边分别为 ，向量 ，
试卷第10页，共3页且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 ．
35． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
36．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求A；
(2)若D为 上一点， 平分 ，且 ， ，求 的面积.
37．已知 的内角 的对边分别为 ， .
3(1)求 ;
(2)若 的面积为 ，求 和 .
38．在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积是 ，求 的最小值．
39．记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．40．平面四边形 中， ， ， ， ．
(1)求 ；
(2)求四边形 周长的取值范围；
(3)若 为边 上一点，且满足 ， ，求 的面积．
考点05：三角形面积最值问题
正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③
41．已知 三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ，
则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
42．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ， ，则满足条件的△ABC有两个
试卷第12页，共3页C．若D是边BC上一点，满足 ，且 ，则△ABC面积的最大值为
D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足 ，则
的取值范围是
43．在 中，已知点 满足 .
(1)若 ，求 的长度；
(2)若 ，求 面积的取值范围.
44．在 中，内角 所对的边分别为 ，向量
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值；
(3)求 的值域
45．已知在 中， ， 在线段 上，且 .
(1)若 是 的中点，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 面积的最小值.
46．在 中， 为角 对应的边， 为 的面积.且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 内切圆半径的最大值.47．已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最大值.
48．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)若 ，且 的面积为 ，求 的长度；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的面积的取值范围.
49．如图，已知平面四边形 中， .
(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
50．在 中，内角 的对边分别是 ， ， .
(1)求角 的大小；
(2)设 的平分线与 交于点 ，当 的面积最大时，求 的长.
考点06： 三角形周长定值问题
类型一：已知一角与两边乘积模型
试卷第14页，共3页第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
类型二：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
51．在 中，角 所对的边为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的周长.
52．在条件① ，② ，③
中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足______.
(1)求 ；
(2) 的内角平分线交 于点 ，若 的面积为 ， ，求 的
周长.
53．在 中， ， 在边 上，且 .
(1)若 ，求 的周长;
(2)求 周长的最大值.
54．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
．
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)若 ，求 的周长．
55．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ．
(1)求A；(2)已知角A的平分线交 于点M，若 ，求 的周长．
56．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长.
57．在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 且 .
(1)求角A的大小;
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
58．在 中，内角 的对边分别为 ，且满足
(1)求 ；
(2)若 的面积 ，求 的周长.
59．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角A；
(2)若 ，求 的周长．
60．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 的周长.
考点07： 三角形周长最值问题
高端结论：在 中，已知 ,
试卷第16页，共3页其中 分别是 的系数，其中
周长往往求
则 其中
61．在 中， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 有两解 B． 面积有最大值
C．若 是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为 D． 周长最大
值为6
62．已知在锐角 中，内角 所对的边分别为 ， ， ，若 的面积为
， ，则（ ）
A． B．边 的取值范围是
C． 面积取值范围是 D． 周长取值范围是
63．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则下列判断中正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则该三角形有两解
C． 周长有最大值12 D． 面积有最小值64．在 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
65．已知 ， ， ，函数 ，且
在区间 上的最大值为 .
(1)求m的值；
(2)锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 且 ，求
的周长l的取值范围.
66．在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求角B的大小；
(2)设 ， 的面积为S，周长为L，求 的最大值．
67．记 的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ．
(1)求a；
(2)若 ，求 的周长l的取值范围．
68．设 的内角 所对边分别为 ，若 ．
(1)求 的值;
(2)若 且三个内角中最大角是最小角的两倍，当 周长取最小值时，求 的面
积．
69．记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求C；
试卷第18页，共3页(2)若 为锐角三角形， ，求 周长范围．
70．设 的内角 所对的边分别为 ，已知向量 ，
，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的周长取值范围．
