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参考答案(二模数学)
一、选择题：
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D A B B B ABD ABD ACD
1二、填空题：12.
2
2
3
; 13.
4
7
; 14. 8
14.【答案】8.【解析】由 a a b b a b ( + 1 ) 2 + ( + 1 ) 2 ,得
（ a +
b
1 ） 2
+
( b +
a
1 ) 2
.
因为
（ a +
b
1 ） 2
+
( b +
a
1 ) 2
2
（ a + 1 ） 2
a
(
b
b + 1 ) 2
= 2
（ a + 1 ）
a
( b
b
+ 1 )
= 2 （ a b +
1
a b
+
a +
a
b
b
）
2 （ 2 +
2
a
a
b
b
） = 8 .当且仅当 a = b = 1 时取等号,所以的最大值为8.
三、解答题：
15. (本题13分)中考体育成绩关系到考生最终的中考成绩，广西多地将1000米跑(男)、800米跑（女）
作为必考项目.某校体育老师对自己所带一个班的学生进行1000米跑(男)、800米跑（女）测试,通过
统计,整理数据得到如下2×2列联表:
男生 女生 合计
达标 24 18 42
不达标 11 7 18
合计 35 25 60
(1)试估计该班的达标率；(2)根据小概率值α=0.1的独立性检验,分析成绩是否达标与学生性别有关.
n(ad −bc)2
参考公式:2 = ,n=a+b+c+d
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)
解：(1)根据表格数据可知全班60人中有42人达标，........................................................2分
所以该班的达标率估计值为42/60=7/10=0.7...........................................................................3分(5分)(2) 零假设为H :成绩是否达标与学生性别无关......................................................................1分
0
60(247−1811)2
根据表中数据可知2 = ........................................................................1分(7分)
35251842
3
=
4
4
9
≈0.082 <2.706=x ...............................................................................................................3分(10分)
0.1
根据小概率值α=0.1独立性检验,没有充分论证推断H 不成立,因此可认为H 成立...........1分
0 0
即成绩是否达标与学生性别无关.................................................................................................2分(13分)
16.(本题15分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是边长为4的菱形,
∠DAB=60°,DE⊥平面ABCD,AF∥DE且DE= 3AF.(1)证明:平面ACE⊥平面BDE;
(2)若平面BEF与平面BDE夹角的余弦值为 3 / 1 0 ,求DE.
解：(1)因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC …….…1分
因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD …….…1分
又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDE …………………………………2分(4分)
因为AC在平面ACE内,所以面ACE⊥平面BDE………….………2分(6分)
(2)法一：
设AC∩BD=O, BE中点为G,依题意则直线OG,OA,OB两两垂直. ……………………….…1分
以O为坐标原点,射线OA,OB,OG分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系……………...1分
令AF=a(a >0),而菱形ABCD边长为4, DE = 3AF则B(0,2,0),E(0,-2,3a) F ( 2 3 , 0 , a ) , ……...1分(9分)
E F =
( 2 3 , 2 , − 2 a ) ,
B F =
( 2 3 , − 2 , a )
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)
由
n
n
BE FF
==
0
0
, 2 3x−2y+az =0,
得 令
2 3x+2y−2az =0
z = 4 3 ,则n=(a,3 3a,4 3)…………..…..2分(11分)
因为AO⊥平面BDE,故可取平面BDE法向量为m=(1,0,0) ………………..…………………..1分(12分)
由 | c o s m , n |=
|
|
m
m
|
n
|
|
n |
a 3
= = ,得a=3……………………………..2分
a2 +27a2 +48 10
所以DE=9…………………………………………………………………………………..…..1分(15分)(2)法二：设AB中点为M,依题意得直线DM,DC,DE两两垂直. …………..…1分
以D为原点,射线DM ,DC, DE分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.......1分
令AF=a(a >0),而菱形ABCD边长为4, DE = 3AF
则B(
4
2 3 ,2,0),E(0,0,3a), A( 2 3 ,-2,0), F ( 2 3 , − 2 , a ) , ……………..…..1分(9分)
E F =
( 2 3 , − 2 , − 2 a ) ,
B F =
( 0 , − 4 , a )
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)
由
n
n
BE FF
==
0
0
,
得
−
2
4 y
3
+
x
a
−
z
2
=
y
0
−
,
2 a z = 0
令 z = 4 3 ,则 n = ( 5 a , 3 a , 4 3 ) ……….…..2分(11分)
设AC∩BD=O ,因A( 2 3 ,-2,0),O( 3 ,1,0),AO⊥面BDE,
故面BDE法向量为m=( 3 ,-3,0) ………………………………………………………………..1分(12分)
由 | c o s m , n |=
|
|
m
m
|
n
|
|
n |
=
2 3
5 3
2
a
5
−
a 2
3
+
3
3 a
a
2 + 4 8
=
1
3
0
z
O
y
M
x
,得a=3…………..………..2分
所以DE=9……………………………………………………………………………………...…..1分(15分)
17. (本题15分) 已知函数f(x)=ax+e/(2x). (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)))处的切线方程；
(2)若方程f(x)=ex/x在x∈[1/2,+∞]上有解,求a的取值范围.
解:(1)若a=1则f(x)=x+e/(2x),所以f´(x)=1－e/(2x2),x≠0..........................................................1分
因为f(1)=1+e/2,……………………………………………………………….…………..….. 1分
所以切线斜率k=f´(1)=1－e/2....................................................................................................1分(3分)
所求切线方程为y－(1+e/2)=(1－e/2)(x－1),即(1－e/2)x－y+e=0........................................2分(5分)
(2)方程f(x)=ex/x可化为a=(2ex－e)/(2x2)................................................................................1分
设g(x)=(2ex－e)/(2x2),则g´(x)=[(x－2)ex+e]/x3......................................................................2分(8分)
令h(x)=(x－2)ex+e,则h´(x)=(x－1)ex.....................................................................................1分(9分)
当1/2≤x<1时h´(x)<0,则h(x)在[1/2,1)上单调递减..............................................................1分
当x>1时h´(x)>0,则h(x)在(1,+∞)上单调递增.....................................................................1分
所以h(x) =h(1)=0,所以h(x)≥0............................................................................................1分(12分)
min
1 1
则g´(x) 在[ ,+)内g´(x)≥0成立,所以g(x)在[ ,+)上单调递增,.............................1分
2 2
所以g(x) =g(1/2)=4 e−2e................................................................................................1分
min因为f(x)=ex/x在x∈
5
[
1
2
, + ) 上有解,所以a取值范围是 [ 4 e − 2 e , + ) ........................1分(15分)
18. (本题17分)已知双曲线C:x2/a2－y2/b2=1的左顶点为A(-1,0),斜率不为0的直线l过点(4,0).
(1)当直线l的斜率为2时,直线l与双曲线C恰好有一个交点,求双曲线C的标准方程.
(2)设直线l与双曲线C交于P,Q两点,且直线AP与AQ的斜率之积不小于-3.
e e
①求双曲线C的离心率 的取值范围；②当离心率 最大时,记双曲线C的右顶点为B,直线AP与
BQ的交点为M,判断点M是否在定直线上.
解：(1)因为双曲线C的左顶点为A(-1,0),所以a=1…………………………………...…1分
因为l与C恰好有一个交点,所以l与C渐近线平行,所以b/a=2…………………..……1分
所以双曲线C的标准方程为x2－y2/4=1. ………..………………………………………..2分(4分)
(2)①法一：设直线l的方程为x=my+4,P(x ,y ), Q(x ,y )……………………………….…1分
1 1 2 2
由联立x=my+4与x2－y2/b2=1得(b2m2－1)y2+8b2my+15b2=0. ………………………....…1分(6分)
所以y + y =－8b2m/( b2m2－1), y y =15b2/ (b2m2－1)
1 2 1 2
由k k = y /(x +1)×y /(x +1) …………..………………………………………………......…1分
AP AQ 1 1 2 2
= y /( my +5)×y /( my +5)= (y y )/[m2 y y +5m(y + y )+25]=－3 b2/5≥－3 得b2≤5…………1分(8分)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
所以e= 1+b2 6.所以双曲线C离心率e 取值范围为(1, 6]…………………….…2分(10分)
①法二：若直线存在斜率,设直线l方程为y=k(x－4),P(x ,y ), Q(x ,y )………………….…1分
1 1 2 2
由联立y=k(x－4)与x2－y2/b2=1得(b2－k2)x2+8k2x－(16k2+b2)=0. ………………………....…1分(6分)
所以x + x =－8k2/(b2－k2), x x =－(16k2+b2)/(b2－k2)
1 2 1 2
由k k = y /(x +1)×y /(x +1) …………………………………………………………..…….…1分
AP AQ 1 1 2 2
= [k(x －4)]/( x +1)×[k(x －4)]/( x +1) =[k2(x x －4(x + x )+16)]/[ x + x x x +1]=－3 b2/5≥－3
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2+ 1 2
得b2≤5………………………………………………………………………………………….…1分(8分)
当直线斜率不存在时，联立联立x=4与x2－y2/b2=1，得y=± 1 5 b ,可得取P(4, 1 5 b ),Q(4,− 15b),
因为k k ≥－3 故得b2≤5…………………………………………………………..……….…1分
AP AQ ，
所以 e = 1 + b 2 6 ,所以双曲线C离心率e 取值范围为 ( 1 , 6 ] …………………..……1分(10分)
②由①知离心率e 最大时b= 5,双曲线C的方程为x2－y2/5=1…………………….……1分
y + y =－40m/(5m2－1),y y =75/(5m2－1),则－15(y + y )/8=my y . ……………………..….…1分(12分)
1 2 1 2 1 2 1 2
因AP方程为y= y /(x +1)×(x+1),BQ方程为y= y /(x －1)×(x－1) ………………………….…1分
1 1 2 2
由y /(x +1)×(x+1)= y /(x －1)×(x－1) ……………………………………………………………1分
1 1 2 2得[y /(x －1)－y /(x +1)]x= y /(x +1)+ y /(x －1)
2 2 1 1 1 1 2 2
所以[y /(my +3)－y /(my +5)]x= y /(my +5)+ y /(my +3)………………………………..……1分(15分)
2 2 1 1 1 1 2 2
整理得(5y －3y )x=2my y +3y +5y =－15(y + y )/4+3y +5y =5y /4－3y /4
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
所以x=1/4.所以点M在定直线x=1/4上 ………………………………………………………2分(17分)
19. (本题17分)已知数列{a }满足a =2, a =2－1/ a ,n∈N*,函数f(x)=lnx.
n 1 n+1 n
1
(1)证明:数列 是等差数列;(2)求使不等式
a −1
n
6
n
i=
1
f ( a
i
) a
n
成立的最小正整数n的值;
(3)若f(a )>
n
t s i n ( a
a
n
n
− 1 )
恒成立,求实数t的取值范围.
解：(1)因为a =2－1/a ,所以a －1=1－1/ a =(a －1)/a
n+1 n n+1 n n n
所以1/ (a －1)= a /(a －1)=1+1/(a －1) 即1/ (a －1)－1/(a －1)=1…………….….2分
n+1 n n n . n+1 n
因为1/(a －1)=1,故数列
1
a
n
1
− 1
是首项为1,公差为1的等差数列. ……………..…1分(3分)
因为数列{a }满足a =2, a =2－1/ a ,n∈N*，所以a =3/2, a =4/3, a =5/4,
n 1 n+1 n 2 3 4
所以1/( a －1)=1, 1/( a －1)=2, 1/( a －1)=3.所以数列
1 2 3
a
n
1
− 1
是等差数列.
(2) 由(1)得1/(a －1)=n, a =(n+1)/n……………………………………………..………1分
n n
所以f(a )=
n
l n
n +
n
1
= l n ( n + 1 ) − l n n
所以
n
i=
1
f ( a
i
) = ln2－ln1+ln3－ln2+…+ln(n+1)－lnn=ln(n+1) ………………………...…1分(5分)
令g(x)= ln(x+1)－(x+1)/x= ln(x+1)－1/x－1, x>0. 易知g(x)在(0,+∞)上单调递增. …….…2分(7分)
因为g(2)=ln3－3/2=ln3－lne32= l n 9 − l n e 3 <0 ………………………………………1分
g(3)=ln4－4/3=ln 3 64−ln 3 e4 0(因为2 2 e,所以8>e2,进而82>e4) ……….………1分
所以使不等式
n
i=
1
f ( a
i
) a
n
成立的最小正整数n的值为3. ………………………………1分(10分)
1
tsin
tsin(a −1) n+1 n
(3)由f(a )> n 得ln .………………………………………….….…1分
n a n n+1
n
n令1/n=x,则
7
l n ( x + 1 )
t s
x
i n
+
x
1
,且x∈(0,1],整理得(x+1)ln(x+1)－tsinx>0 …………..……1分
令h(x)=(x+1)ln(x+1)－tsinx, x∈(0,1],则h´(x)= ln(x+1)+1－tcosx…………………….……1分(13分)
(i)当t≤1时,而x∈(0,1],则ln(x+1)>0, 1－tcosx>0,得h´(x)>0
所以h(x)在(0,1]上单调递增,所以h(x)> h(0)=0,则h(x)>0恒成立. ………….………….…1分(14分)
(ii)当t>1时,令m(x)= h´(x),则m´(x)=1/(x+1)+tsinx.
因为x∈(0,1],所以m´(x) =1/(x+1)+tsinx >0,所以h´(x)在(0,1]上单调递增.
因为h(0)=0, m(0)= h´(0)=1－t<0, x∈(0,1],
所以存在x ,使x∈(0,x ),h´(x)<0.则h(x)在(0,x )上单调递减…………………………....…1分
0 0 0
所以x∈(0,x )时,h(x)< h(0)=0,不满足题意. ………………………………………...…….…1分(16分)
0
综上所述,实数t的取值范围是(－∞,1] …………………………………………….…….…1分(17分)
