德阳市2026届高三年级适应性练习数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260425四川省德阳市2026届高三年级适应性练习（德阳三诊）（全科）

高三年级适应性练习 数学参考答案及评分标准 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C B B C D 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是 符合题目要求的.） 题号 9 10 11 答案 ACD ABD ACD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 3 12. 13. -2 14. 45 5 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.解：（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成 列联表如下： 2 × 2 是否喜欢人工智能应用 性别 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为H ：该校学生的性别与是否喜欢AI应用没有关联， 0 200(75 × 45 55 × 25)2 因为χ2 = − 8.791 > 6.635 = x ， 100 × 100 × 130 × 70 ≈ 0.010 所以依据小概率值α = 0.010的独立性检验，我们推断H 不成立，即能认为该校学生的 0 性别与喜欢人工智能应用有关联 ………………………………………………7分 高三年级适应性练习数学答案 第 页（共 页） 1 5（2）设事件A为“抽取的学生为女生”，事件B为“抽取的学生喜欢AI应用”. 5 4 由题意有P(A) = ，P(A) = 9 ˉ 9 样本中男生喜欢AI应用的频率为0.75，女生喜欢AI应用的频率为0.55，以此作为概率： 则P(B|A) = 0.55，P(B|A) = 0.75 9分 ˉ …………………………………………… 由全概率公式： 5 4 23 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) = × 0.55 + × 0.75 = 11分 ˉ ˉ 9 9 36 ………… 5 P(A)P(B|A) 9 × 0.55 11 由贝叶斯公式有P(A|B) = = = . P(B) 23 23 36 11 所以该生为女生的概率为 13分 23 …………………………………………………… 4 2 6 10 16.解：（1）由a = ，a = 得：a = ，a = 3分 1 3 n+1 3 a 2 5 3 9 ………………………… − n 2 a 1 2 4 2a （2）a 1= 1 = n − ，2 a = 2 = − n， n+1 − 3 a − 3 a − n+1 − 3 a 3 a − n − n − n − n 2 a 2 a b 2 a 所以 − n+1 = 2 × − n，即 n+1 = 2，且b = − 1 = 2 0. a 1 a 1 b 1 a 1 ≠ n+1 − n − n 1 − 故数列{b }是以2为首项，2为公比的等比数列 ………………………………9分 n 2 a 1 （3）由（2）知： − n = 2n，所以a = + 1. a 1 n 2n + 1 n − ( ) 1 1 2n 1 1 所以c =(a 1)(2 a )= × 1 = = . n n+1− − n 2n+1+1 − 2n+1 (2n+1+1)(2n+1) 2n+1 − 2n+1+1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 所以S = + + + = n 2 + 1 − 22 + 1 22 + 1 − 23 + 1 ⋯ 2n + 1 − 2n+1 + 1 3 − 2n+1 + 1 ……………………………………………………………………………………………15分 17.解：（1）由题意P O 平面ABCD P O 平面ABCD 1 1 ⊥ 、2 2 ⊥ 所以P O P O 且P O = P O ，故四边形P O O P 是平行四边形. 1 1 ∥ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 故P P O O 且P P = O O ，O ，O 分别为AB，CD的中点， 1 2 ∥ 1 2 1 2 1 2 1 2 所以P P AD且P P = AD即四边形P ADP 是平行四边形. 1 2 ∥ 1 2 1 2 所以E为P A的中点，同理F为P B的中点，故EF AB， 2 2 ∥ 且EF 平面ABCD，AB 平面ABCD ⊈ ⊆ 所以EF 平面ABCD 5分 ∥ ……………………………………………………………… 高三年级适应性练习数学答案 第 页（共 页） 2 5   （2）由题意可知：O D，O O ，O P 两两垂直，以O 为原点，以O D，O O ，O P 的方向为 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz，如图所示， 2 − ( ) ( ) 则D(1，0，0)，C( 1，0，0)，P 0，2， 3 ，A(1，2，0)，B( 1，2，0)，P 0，0， 3 7分 − 1 − 2 …… 设平面P CD的法向量m = (x，y，z)， 1   ( ) ì ïïïïm  ⋅ P 1 C = (x，y，z) ⋅ − 1， − 2， − 3 = − x − 2y − 3 z = 0 则í  ( ) ï ïï ïm P D = (x，y，z) 1， 2， 3 = x 2y 3 z = 0 î  ⋅ 1 ⋅ − − − − ( ) 取m = 0， 3， 2 .  − 设平面P AB的法向量n = (a，b，c)， 2   ( ) ì ïïïïn  ⋅ P 2 A = (a，b，c) ⋅ 1，2， − 3 = a + 2b − 3c = 0 则í  ( ) ï ïï ïn P B = (a，b，c) 1，2， 3 = a + 2b 3c = 0 î ⋅ 2 ⋅ − − − − ( ) 取n = 0， 3，2 . 9分  ……………………………………………………………… m n 1 所以cos m，n =  ⋅  = .   |m||n| − 7   4 3 故二面角A EF C的平面角的正弦值为 11分 − − 7 ……………………………… （3）设多面体ABCDEF外接球的球心为G，因为G到A B C D四点距离相等 、、、 故G的坐标可设为(0，1，t)，所以只要|GA|=|GE|即可. ( ) ( ) 2 1 3 3 1 由（2）知E ，1， ，所以外接球半径r = t2 + 2 = t + 2 2 − 2 4 3 7 解得t = ，故r2 = . − 3 3 28π 所以多面体ABCDEF外接球的面积为 15分 3 …………………………………… 高三年级适应性练习数学答案 第 页（共 页） 3 51 18.解：（1）当a = 1时， f (x) = ex+1 lnx + 1，所以f '(x) = ex+1 − − x 故f '(1) = e2 1，函数f (x)在x = 1处的切线方程为y e2 1 = (e2 1)(x 1). − − − − − 整理得：y = (e2 1)x + 2 4分 − ………………………………………………………… （2）若a < 0，当x 时，f (x) ∞，所以f x 不恒成立 ………………5分 - → 0 →− ( ) ≥ 0 a 若a > 0，f '(x) = ex+1 (x > 0)，易知f '(x)在(0，+ ∞)上单增 − x 且f '(a) = ea+1 1 > 0，当x 0+时，f '(x) ∞ − → →− a 所以 x (0，+ ∞)使得f '(x ) = ex 0 +1 = 0即a = x ex 0 +1 ∃ 0 ∈ 0 − x 0 0 且f (x)在(0，x )上单减，在(x ，+ ∞)上单增， 0 0 所以f (x) f (x )，要使f (x) 0恒成立，只要f (x ) 0即可 …………………7分 ≥ 0 ≥ 0 ≥ 由f (x ) = ex 0 +1 aln(ax ) + a = ex 0 +1 alna alnx + a且a = x ex 0 +1 0 − 0 − − 0 0 a 1 所以f (x ) = alna alnx + a 0，即 lna lnx + 1 0， 0 x − − 0 ≥ x − − 0 ≥ 0 0 1 由a = x ex 0 +1有lna = lnx + x + 1带入上式有：2lnx + x 0 9分 0 0 0 0 0 − x ≤ …………… 0 1 2 1 (x + 1)2 令g(x ) = 2lnx + x ，则g'(x ) = + 1 + = 0 > 0 0 0 0 − x 0 x x2 x2 0 0 0 0 所以g(x )在(0，+ ∞)单增且g(1) = 0，故要使g(x ) 0 = g(1)，必有x (0，1]. 0 0 ≤ 0 ∈ 又a = x ex 0 +1在(0，1]单增，所以a的取值范围为(0，e2] 13分 0 ……………………… （3）由（2）知当a = e2时，f (x) 0恒成立，即ex+1 e2ln(e2x) + e2 0 ≥ − ≥ 化简得：ex 1 lnx + 1，令x = k(k = 1，2，3， ，n) − ≥ ⋯ 有ek 1 lnk + 1(k = 1，2，3， ，n) − ≥ ⋯ 将这n个同向不等式相加得：e0 + e1 + + en 1 ln1 + 1 + ln2 + 1 + + lnn + 1 − ⋯ ≥ ⋯ 1 en 整理得： − ln（n！）+ n，即所证不等式成立 ………………………………17分 1 e ≥ − ìc 3 ïïïï = 19.解：（1）由题意得：ía 2 ，解得：a = 2，b = 1. ïïïï îab = 2 x2 所求椭圆为 + y2 = 1 4分 4 …………………………………………………………… x 2 （2）设P(x ，y )，则 0 + y 2 = 1， 0 0 4 0 则以P为圆心PO为半径的圆的方程为(x x )2 + (y y )2 = x2 + y2， − 0 − 0 0 0 高三年级适应性练习数学答案 第 页（共 页） 4 5即x2 + y2 2x x 2y y = 0 − 0 − 0 ( ) ( ) 2 以F 3，0 为圆心半径为r的圆的方程为 x + 3 + y2 = r2. − ( ) 所以公共弦为MN的方程为：2x + 2 3 x + 2y y + 3 r2 = 0 8分 0 0 − ………………… ( ) ||||| 3 2x + 2 3 + 3 r2 ||||| | 2 3 x 3 r2 | 那么 F 到 MN 的距离 d = | − 0 − | = | − 0 − − | = ( ) ( ) 2x + 2 3 2 + (2y )2 2x + 2 3 2 + 4 x2 0 0 0 − 0 | | | | 2 3 x 3 r2 2 3 x + 3 + r2 | − 0 − − | = | 0 | 10分 3x2 0 + 8 3 x 0 + 16 | | 3 x 0 + 4 | | …………………………………………… | | 2 3 x + 3 + r2 | 0 | 要使得 FMN的面积为定值（与点P无关），只需d = 与x 无关， ∆ | 3 x + 4 | 0 | 0 | 所以3 + r2 = 8，即r = 5. 此时d = 2，所以MN = 2 r2 d2 = 2，故 FMN的面积为 13分 − ∆ 2 …………………… x2 y2 （3）以椭圆 + = 1(a > b > 0)上任意点P为圆心，PO为半径的圆与以椭圆焦点F a2 b2 为圆心半径为 a b 的圆的公共弦为MN，则 FMN的面积为定值ab 17分 2 2 + ∆ …………… 高三年级适应性练习数学答案 第 页（共 页） 5 5