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石室中学高 2026 届高三下期第一次数学专项练习试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2.“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在复数范围内,方程 的两个根为 和 ,则 ( )
A. B. C. D.
4.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,以下说法正确的是( )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
5.已知向量 , 满足 , , ,则向量 在向量 方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中,含有 的项的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数 ,其中 ,3为 的极大值点.若 在 内有最小值,则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆 与椭圆 交于四点,且 , 的焦点与
这四点在同一个圆上,则 ( )
A.4 B.5 C. D.
学科网（北京）股份有限公司二、选择题:本题共3小题,每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求,全部选对的得6分、部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知两个变量y与x对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5
y 5 m 8 9 10.5
若y与x满足一元线性回归模型,且经验回归方程为 ,则( )
A.y与x正相关 B.
C.样本数据y的第60百分位数为8 D.各组数据的残差和为0
10. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 , 为坐标原点,过点 的直线与抛物线 交于 两点,
分别过点 作 的垂线,垂足分别为 ,若 为等边三角形,则( )
A.直线 的斜率为 B.
C. 的周长为12 D. 三点共线
11.在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积最大值为6
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水,能放入一个半径为1cm的实心铁球,沉入水底后,水
未溢出容器,则水面升高了 cm.
13.已知圆 ,圆 ,则圆 和圆 的公共弦长为 .
14.采购员要购买某种电器元件一包(一包中有12个元器件).他的采购方法是:从一包中随机抽查4个,如这4
个元件都是好的,他才买下这一包.假定含有6个次品的包数占20%,而其余包中各含2个次品,则采购员随机
挑选一包拒绝购买的概率是 .
学科网（北京）股份有限公司四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数 .
(1)求 的对称中心;
(2)将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 .设
为角 终边上的一点,求 .
16.已知数列 满足 , .
(1)证明:数列 是等差数列;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
17. 在三棱锥 中, , ,D为CA中点,点E在DB上, .
学科网（北京）股份有限公司(1)若二面角 的余弦值为 , ,求证: 平面 ;
(2)若 , 平面 .设点B到 的距离为a,到平面 的距离为b,求 的取值范围.
18. 中心在原点,焦点在 轴上的等轴双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1.过 轴正半轴上一
点 且斜率存在的直线 交双曲线 的右支于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若 为双曲线 的右焦点,且 ,且 ,求直线 的斜率的取值范围;
(3)直线 分别和双曲线的两条渐近线交于 两点,且 在直线 上从上到下顺次排列.设 为坐
标原点,若 ,求直线 的斜率.
19. 已知函数 .
(1)若函数 过原点 的切线为 ,求实数 的值;
(2)若函数 的图象与 相交于两个不同点 , ,记直线 的斜率为 .
(i)当 时,求实数 取值范围;
(ii)当 时,证明: .
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