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石室中学高 2026 届高三下期第一次数学专项练习试题答案
一、选择题
DACD ADBD
二、选择题
9. ABD 10.BCD 11.ABD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.
16.
学科网（北京）股份有限公司17.(1)因为 ,D为AC的中点,则 ,
又因为 ,则 ,可知二面角 的平面角为 ,即 , ……2分
且 ,由余弦定理得: ,
由勾股定理可得 ,则 , ……4分
且 , 平面 ,
则 平面 ,
又因 为平面 ,则 ,
且 , 平面 ,所以 平面 . ……6分
(2)设 , ,
以S为原点, 为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则 , , , , , ……7分
可得 , , ,
所以 ,
整理可得 ; ……9分
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 , ……11分
则 ,可得 , ……13分
因为 ,则 ,可得 , ,所以 的取值范围为 . ……15分
18.(1)设等轴双曲线C的标准方程为 ,
顶点为 ,渐近线方程为 ,顶点到一条渐近线的距离 ,解得 ,
故所求双曲线的标准方程为 . ……3分
(2)设直线 ,
学科网（北京）股份有限公司又 ,所以 , ,且 , ……5分
由题意知 ,解得 , ……6分
, , ……7分
由 ,则 ,故 ,即 ,又 ,解得
,又直线l的斜率 ,则 ,
故 . ……10分
(3)依题意作图如下:
由 ,
知 .又 ,所以 . ……12分
设直线 , ,
,联立得 ,
即 ,再将直线 与直线 及直线 分别联立,
得 , .所以 ,
因此线段 有相同的中点,故 . ……14分
因为 ,故由射影定理,有 ,
所以 .于是直线 的斜率 .……17分
19.(1)设切点为 , ,所以 ,所以 ,
所以函数 在 处的切线为 ,
将 代入得 ,解得 , . ……2分
(2)(ⅰ)当 时,原问题 有两个不等实根. ……3分
设 ,则 ……4分
∴当 时, ,当 时,
在 递减, 递增,
学科网（北京）股份有限公司, , , . ……7分
(ⅱ)设 , ,不妨设 ,则 ,即 ,
令 ,
则 , 是方程 两个根. ……8分
又
欲证 ,只需证
……9分
设
则
∴当 时, ;当 时, ;
在 递减, 递增, ……12分
设 ……13分
下面证明
,
设 , ,则
学科网（北京）股份有限公司故 . 在 递增, , ……15分
, ,
又 在 递减, ,故 . ……17分
石室中学高 2026 届高三下期第一次数学周考试题
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
是符合题目要求的.
1. 已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合 ,根据对数函数的单调性及定义域求出集合 ,再根据交集
的概念求解即可.
【详解】 ,
,
所以 .
2.“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
3.在复数范围内,方程 的两个根为 和 ,则 ( )
A. B. C. D.
【参考答案】C
学科网（北京）股份有限公司【命题立意】本题设计课程学习情景,设计复数的运算问题,考察数学运算核心素养.
【考点分析】本题考查了复数的运算等基础知识.
【答案详解】由题知, ,解得 ,所以两根为 ,化简为 ,所以 ,解
得 ,故选C.
4.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,以下说法正确的是
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
5.已知向量 , 满足 , , ,则向量 在向量 方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ,结合已知条件求出 ,根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】设向量 ,则 ,
, ,
联立解得 , 或 , ,所以 或 .
当 时, ,
当 时, ,
学科网（北京）股份有限公司,
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .
6. 的展开式中,含有 的项的系数为( )
A. B. C. D.
【参考答案】D
【命题立意】本题设计课程学习情景,设计二项式定理问题,考察数学运算和逻辑推理的核心素养.
【考点分析】本题考查了二项式定理的通项公式的基础知识.
【 答 案 详 解 】 的 展 开 式 为 , 所 以 含 有 的 项 的 系 数 为
,故选D.
7.已知函数 ,其中 ,3为 的极大值点.若 在 内有最小值,则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导,根据 可得函数的单调区间,再根据3为 的极大值点可确定 的值,然后由极小值点
在区间 内,可求 的取值范围.
【详解】 ,由于 ,则 ,
所以由 或 ;由 .
所以函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
故 是 的极大值点,故 ,
学科网（北京）股份有限公司是 的极小值点.
若 在 内有最小值,
只需 即可,解得 ,因此选B.
8. 已知椭圆 与椭圆 交于四点,且 , 的焦点与
这四点在同一个圆上,则 ( )
A. 4 B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上,
所以根据椭圆 和 的对称性可知,该圆的圆心为原点,
因此有 ,
所以椭圆 的半焦距为 ,椭圆 的半焦距为 ,
因此该圆的方程为 ,即 ,
又两椭圆的交点与 和 的四个焦点在同一个圆上,
所以由椭圆和圆的对称性可知,这四个点也在圆 上,
由 ,
代入椭圆 : 中,
得 化简可得: ,解得: ,
学科网（北京）股份有限公司又 ,故 .
二、选择题:本题共3小题,每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求,全部选对的得6分、部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知两个变量y与x对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5
y 5 m 8 9 10.5
若y与x满足一元线性回归模型,且经验回归方程为 ,则( )
A. y与x正相关 B.
C. 样本数据y的第60百分位数为8 D. 各组数据的残差和为0
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定 A,根据样本中心点在回归方程上可判定B,利用百分位
数的计算可判定C,利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.
【详解】由回归直线方程知: ,所以y与x正相关,即A正确;
由表格数据及回归方程易知 ,即B正确;
易知 ,所以样本数据y的第60百分位数为 ,即C错误;
由回归直线方程知 时对应的预测值分别为 ,
对应残差分别为 ,显然残差之和为0,即D正确.
故选:ABD
10. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 , 为坐标原点,过点 的直线与抛物线 交于 两点,
分别过点 作 的垂线,垂足分别为 ,若 为等边三角形,则( )
A. 直线 的斜率为 B.
C. 的周长为12 D. 三点共线
【答案】BCD
【解析】
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A项,抛物线 的焦点为 ,准线为 ,
设 , ,则
由抛物线的定义得到 ,
因为 为等边三角形,则 ,
即 ,即
化简得到 ,
解得 或 (舍去),所以 ,
所以直线 的斜率为 ,故A错误;
对于B,根据对称性,取直线 的斜率为 ,则直线 方程为 ,
联立方程 ,得到 ,
解得 (点 )或 (点 )
由抛物线定义, ,故B正确;
对于C项,由抛物线定义 ,所以等边 的周长为 ,故C正确;
对于D项,根据对称性,取 ,则 ,
学科网（北京）股份有限公司因为 , ,
所以 且过原点O,故 , , 三点共线,
同理可得当 时 , , 三点也共线,故D正确.
11.在 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积最大值为6
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水,能放入一个半径为1cm的实心铁球,沉入水底后,水
未溢出容器,则水面升高了________cm.
【答案】
【解析】
【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得.
【详解】设水面升高了 cm,由题意知 ,解得: .
13.已知圆 ,圆 ,则圆 和圆 的公共弦长为
14.采购员要购买某种电器元件一包(一包中有12个元器件).他的采购方法是:从一包中随机抽查4个,如这4
个元件都是好的,他才买下这一包.假定含有6个次品的包数占20%,而其余包中各含2个次品,则采购员随机
挑选一包拒绝购买的概率是______.
【答案】
【解析】
【详解】设事件 为“包含6个次品”, 为“包含2个次品”, 为“采购员拒绝购买”,
则 ,
则 , ,
学科网（北京）股份有限公司故
故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知函数 .
(1)求 的对称中心;
(2)将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 .设
为角 终边上的一点,求 .
学科网（北京）股份有限公司16.已知数列 满足 , .
(1)证明:数列 是等差数列;
(2)设 ,求数列 的前 项和 .
学科网（北京）股份有限公司17. 在三棱锥 中, , ,D为CA中点,点E在DB上, .
(1)若二面角 的余弦值为 , ,求证: 平面 ;
学科网（北京）股份有限公司(2)若 , 平面 .设点B到 的距离为a,到平面 的距离为b,求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)分析可知二面角 的平面角为 ,利用余弦定理整理可得 ,进而可证
平面 ,可得 ,进而可证 平面 ;
(2)设 , ,建系并交点,利用空间向量求 ,进而可得 ,结合不等式
性质运算求解即可.
【小问1详解】
因为 ,D为AC的中点,则 ,
又因为 ,则 ,可知二面角 的平面角为 ,
即 ,且 ,
由余弦定理得: ,
由勾股定理可得 ,则 ,
且 , 平面 ,则 平面 ,
为
又因 平面 ,则 ,
且 , 平面 ,所以 平面 .
【小问2详解】
设 , ,
以S为原点, 为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
学科网（北京）股份有限公司则 , , , , ,
可得 , ,
所以 ,
整理可得 ;
又因为 , ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
令 ,则 ,可得 ,
则 可得 ,
因为 ,则 ,可得 , ,
所以 的取值范围为 .
18. 中心在原点,焦点在 轴上的等轴双曲线 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1.过 轴正半轴上一
点 且斜率存在的直线 交双曲线 的右支于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程;
学科网（北京）股份有限公司(2)若 为双曲线 的右焦点,且 ,且 ,求直线 的斜率的取值范围;
(3)直线 分别和双曲线的两条渐近线交于 两点,且 在直线 上从上到下顺次排列.设 为坐
标原点,若 ,求直线 的斜率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)利用点到直线的距离公式列方程求解 ,进而得到双曲线标准方程;
(2)设直线 的方程为 ,将直线方程与双曲线方程联立,因为直线交双曲线右支于 两点,所
以利用韦达定理得到两根之和与两根之积,同时结合判别式大于0、两根都大于0的条件列出不等式组,由
,结合线段长度的坐标表示,得到 与 的关系,再根据 求解直线l的斜率的取值
范围;
(3)由 及三角形内角关系推出 ,由 及垂直得 ,
设直线 ,联立双曲线与渐近线,得 与 中点相同,从而 ,在直角 中,
由 及渐近线垂直,得 ,结合长度关系得 ,直线 的倾斜角为
,故得答案.
【小问1详解】
设等轴双曲线C的标准方程为 ,
顶点为 ,渐近线方程为 ,顶点到一条渐近线的距离 ,
解得 ,故所求双曲线的标准方程为 .
【小问2详解】
设直线 ,
学科网（北京）股份有限公司又 ,所以 , ,且 ,
由题意知 ,解得 ,
, ,
由 ,则 ,故 ,
即 ,又 ,解得 ,
又直线l的斜率 ,则 ,故 .
【小问3详解】
依题意作图如下:
由 ,
知 .又 ,所以 .
设直线 , ,
,联立得 ,
即 ,再将直线 与直线 及直线 分别联立,
学科网（北京）股份有限公司得 , .所以 ,
因此线段 有相同的中点,故 .
因为 ,故由射影定理,有 ,
所以 .于是直线 的斜率 .
19. 已知函数 .
(1)若函数 过原点 的切线为 ,求实数 的值;
(2)若函数 的图象与 相交于两个不同点 , ,记直线 的斜率为 .
(i)当 时,求实数 取值范围;
(ii)当 时,证明: .
(参考公式: , )
【答案】(1)
(2)(i) ;(ii)证明见解析;
【解析】
【分析】(1)根据导数的几何意义求解;
(2)(ⅰ)法一:设 ,分析 的单调性,求出 的范围;
法 二 : , 通 过 分 析 的 单 调 性 与 零 点 , 结 合
的取值范围,求出 的范围;
(ⅱ)将 参数化为圆上的点 ,代入 得 ,利用三角恒等式
学科网（北京）股份有限公司得 ,构造 分析单调性,证得 ,从而推
出 的取值范围.
【小问1详解】
设切点为 , ,所以 ,所以 ,
所以函数 在 处的切线为 ,
将 代入得 ,解得 ,
【小问2详解】
(ⅰ)当 时,原问题 有两个不等实根.
法一:设 ,
则
∴当 时, ,当 时,
在 递减, 递增,
, , ,
法二:
,令 ,
则 , 在 上递增,
,使得 , 当 时, ,当 时,
在 上单调递减,在 上单调递增,
,
又 ,
设 ,则
学科网（北京）股份有限公司当 时, ,当 时, ,
, .
(ⅱ)设 , ,不妨设
则 ,即 ,
令 ,
则 , 是方程 两个根.
又
欲证 ,只需证
设
则
∴当 时, ;当 时, ;
在 递减, 递增,
设
学科网（北京）股份有限公司下面证明
,
设 , ,则
故 .
在 递增, ,
, ,
又 在 递减, ,故 .
学科网（北京）股份有限公司
